小学数学-分数的产生和意义教学设计学情分析教材分析课后反思

学情分析：

1本节课老师设计的知识主线有四个。紧密联系，过度自然，流程清晰。

2.本节课，学生能主动参与课堂学习，学生在动手操作的过程中体验知识的形成过程，学习

效果良好。

3.学生在老师的引导下逐步获得新的知识，体现教师的引导者和学生是主体的新课程理念。

但是，学生对找分数单位有一定的障碍，有待课后加强。

教学目标：

知识目标：

1.通过操作活动“做数学”，引导学生经历探究分数意义的过程，掌握分数的概念，理解

单位“1”的含义。

2.认识分数各部分名称及分子、分母表示的意义。

能力目标：通过动手操作，便学牛在充分感知的某础上,培养学牛分析、综合、比较、抽象、

概括等初步的逻辑思维能力.

情感目标：体验学习数学的成功和愉悦，培养学生.学习数学的积极情感，渗透事物是发展变

化的辩证。

教学重点：分数意义的归纳与单位“1”的抽象。

教学难点：把多个物体组成的一个整体看作单位“1”。

教学过程：

一、激趣引入，了解产生。

1、了解分数的产生

我们全班共有（）位同学。如果把（）位同学平均分成七个小组时，每个小组的人数是

整数吗？

在古代，人们就已经遇到了这样的问题。（课件出示插图一，师生一起观察。）

2、了解分数。

在我们日常生活中，为了平均分配一些东西，也常常会遇到不能用整数表示的情况。（课

件出示插图二）两个小朋友平均分一个橘子、一块月饼、一包饼干，每人分到的能用整数表

示吗？

在这时就需要一种新的数产生一一分数的产生（板书）。

小结：（课件出示）像刚才在进行测量（拿出绳子）、分物（拿出苹果）或计算时，往往不能

正好得到整数的结果，这时常用分数表示。日常生活中分数的应用非常广泛，怎样的情况下

用分数来表示呢？那就要理解分数的意义。今天我们就来学习分数的意义。（板书课题：分

数的产生）

二、教学分数的意义。

（一）、把“一个物体”看做单位“1”平均分

请生举例说明1/4一平均分（板书：平均分）

（二）、把一些物体组成的“一个整体”看作单位“1”平均分

1.平均分4个爱心，表示出1/4。

2.总结方法：

1.把4个爱心看成一个整体：

2.把这个整体平均分成4份

3.取出一份，用分数表示。

3.小组活动:利用刚才的方法把8根小棒、12个小正方体分一分,表示出1/4。

4.汇报：并张贴出来。

5.小结：课件展示分的过程，比较异同，相同点：每份都可以用1/4来表示，都是把他们看

成一个整体，不同点：每份的个数不同，整体的个数也不同。

也就是说，不管要分的整体有多少个，只要把它平均分成4份，其中的任何一份都可以用

1/4这个分数来表示。

6.小组活动：脱离实物，再次在把12个小正方体分一分，得出不同的分数，在自主探究纸

上完成。

7.汇报展示：课件演示。

8.请生试说分数的意义。

9.小结：在数学上我们把刚才平均分的整体叫做单位“1”。数学家是这样定义分数的：把

单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数可以用分数来表示。

（三）、再次认识分数线、分母、分子。

借助3/5,先说出其表示的意义，然后依次认识各部分表示的意义，进一步理解分式

的意义。、

（四）、教学分数单位

1.自然数有自己的计数单位，小数也有计数单位，那分数的计数单位会是？

2.课件出示分数单位定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单

位。如2/3的分数单位是1/3.

3.做一做：课件出示

三、巩固练习：

1.练习十一，第一题，直接开火车口答，并说明理由。

2.练习H第二、三题，口答。

四、拓展延伸

走进分数，了解分数走过的历史，以及我国对分数，及在数学方面的研究，进行思想教育。

五、总结收获，加深理解

学到这儿，你对分数有了哪幽新的认识？

分数的意义和性质知识点

1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样

的一份或几份都可以用分数来表示。

2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（把一群羊平均分成若

干份，一群羊就是单位“1*）

4

3,分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位.如£的分数单位

0

玛

4、分数与除法

A4

A4-B-（BHO,除数不能为0,分母也不能够为0）例如：4^-5-

D0

5、真分数和假分数、带分波

1、直分数：分子比分母小的分数叫直分数.直分数＜1。

2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数21

3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.

4、真分数V1W假分数真分数V1V带分数

6、假分数与整数、带分数的互化

（1）假分数化为整数或带分数，用分子+分母，商作为整数，余数作为分子，如：

V=104-5=2v=214-5=47

□00

（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子如：

2=—^2X4=8（8作分子）

（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如

（26）

=~--5X5+1=26

0

（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：

2345100

［二一:z-Z2-：="=•••=二•••

2345100

7、分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

8、公因数、最大公因数

几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数.

用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）

几个数的公因数只有1,就说这几个数互质。

如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。

如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。

9、公倍数、最小公倍数

几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。

用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。

如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。

10、求最大公因数和最小公倍数方法

用12和16来举例

（1）、求法一：（列举求同法）

最大公因数的求法：

12的因数有：1、12、2、6、3、4

16的因数有：1、16、2、8、4

最大公因数是4

最小公倍数的求法；

12的倍数有：12、24、36、48、…

16的倍数有：16、32、48、…

最小公倍数是48

（2）、求法二：（分解质因数法）

12=2X2X3

16-2X2X2X2

最大公因数是：2X2=4（相同乘）

最小公倍数是：2义2X3X2X2=48（相同乘X不同乘）

（3）、求法三：（短除法）

例1：用短除法求下列各组数的最大公因数。

①12和18②34和102③15和50④12、24和36

想：用短除法求两个数的最大公因数，•般用这两个数除以它们的公因数，•直除到所得的两个

商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。茯个数的

最大公因数用（）表示。《最大公因数就是左边•边所有的数连乘》

解：2112182I341025I15502I122436

3|6917|17513102L61218

2313（15、50）=53|369

（12、18）=2X3=6（34、102）=2X17=34123

（15、24、36）=2X2X3=12

同时除以公因数2

同时除以公用数2

同时除以公因数3

除到三个商只有公

因数I为止

例2：用短除法求下列各组数的最小公倍数。

①12和18②30和75③6、12和30④28、42和84

想；用短除法求几个数的最小公倍数，一般用这几个数的公因数去除这几个数（从最小的公因数

开始），一直除到任意两个商的公因数只有1为止。再把所有的除数和商连乘起来，所得的积就

是这几个数的最小公倍数。几个数的最小公倍数用［］表示。

《最小公倍数就是外面一圈所有的数连乘》

解：2|12183|307521612302L284284

3|695|10253361571142142

23251252I236

口2、18]=2X3X2X3=36[6、12、30]=2X3X1X2X5=603L33

111

[30^75]=3X5X2X5=150[28、42、84]=2X7X2X3X1X1X1=84

11、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。

•个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则

不可以。

12、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

如：而W

13、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：

21

和

5-4-可以化成77和记

乙U乙1J

14、分数和小数的互化

(1)小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10;两位小数，分母是100

333

O3=

如：0.3获o.75O003-1000

(2)分数化为小数:

方法一：把分数化为分母是10、100、1000……

人336125

如：m=635=70=0-67而二0.25

方法二：用分子♦分母

▲3

如I：-=34-4=0.75

(3)带分数化为小数：

先把整数后的分数化为小数，再加上整数

如：2元=2+0.3=2.3

12、比分数的大小：分母相同，分子大，分数就大；

分子相同，分母小，分数才大。

分数比较大小的一般方法：同分母比较；同分子比较；通分后比较；

化成小数L匕较；仿通分比较

13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。

1131234

-=0.5-=0.25-=0.757=0.2=0.4T=0.67=0.8

乙44□50D

3571=0.06255=0.05

=0.125-=0.375-=0.625-=0.875――=004-"

OOOO16乙U25u350

14、两个数互质的特殊判断方法：

①1和任何大于1的自然数互质。

②2和任何奇数都是互质数。

③相邻的两个自然数是互质数。

④相邻的两个奇数互质。

⑤不相同的两个质数互质。

⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数

也都是互质数。

15、求最大公因数的方法：

①倍数关系：最大公因数就是较小数。

②互质关系：最大公因数就是1

③・般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。

16、分数知识图解：

分数的产牛”

Y

r分数的意义出数与意义：把单位1平均分成几份，表示其中的一份或几份。

分数与除法：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。

真分数真分数小f1

真分数与假分数J假分数假分数大于1或等于1

带分数（整数部d和真分数）

假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子）

分数的基本性质：限的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，

Y

分数的基本性质I分数的大小不变。

通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分数（通分）

最大公用数

约分j求最大公因数（短除法）

最简分索分子分母互质的分数（最筒真分数、最简假分数）

约分及其方法

I最小公q数

通分1求最小公倍数（短除法）

分数比及小（通分、同分子、化成小数、仿通分）

通分及其方法

小数化分数小数化格分母是10、100、1000的分数再化简

分数和小数的互化与数化小数分子除以分母，除不尽的取近似值

自主学习卡

一、发挥想象，把12个小正方体继续分下去，可以得到哪些分数?

00000①00

OO0SO00O

000000O0

00900000

S00000O0

00000000

0000

0000

O0①①

二、发挥想象：

1、如果把这个整体（12个小正方体），平均分成100份，其中的1份用分数

（）表示。

2、如果把这个整体（12个小正方体）平均分成（）份，其中的58份用

58

分数1200表示。

3、如果把一个整体，平均分成（）份，其中的（）份，用分数（）

作用，它向我们展示了人类的智慧和数学内在的魅力，让他们很好地领略到了现代数学地简约与

流畅，符号化的思想也蕴藏其中，很好的体现了数学文化的价值。

三、整体感知：分层递进，直达目标

这节课紧紧围绕单位“1”以及部分与整体的关系来设计，许多物体也能用1米表示，1

的内涵在逐步地扩充，学生对1地认识发生了质的飞跃，学生试着用辨证的眼光去看世界，不仅

仅是用微观的思想，也学着用宏观的思想来观察事物。比如说单位“1”的举例，学生理解了单

位“1”表示的数目可大可小，具有相对性，通过让学生读几遍分数的意义，然后用分数告诉老

师自己读的情况，渗透了“一个任务”也可以用单位“1”来表示，为学生以后学习分数应用题

打下了一定的基础，利用下课的机会让学生悟到单位“1”的相对性和主观性，加深了数学问题

与生活问题的联系。

四、学习方式：以活动为主线，合作探究

整节课的设计都是以活动为主线，都是在活动中体验、理解分数的意义，学牛通过自己动

手、动脑，摆一摆、折一折、画一画创造出一个分数，并且可以看着自己的学习材料，解释这个

分数所表示的意义，学生经历了一个完整的研究与发现的可程。学生能够通过探究得到的结论,

老师没有直接告诉，如：几分之一不一定只表示一个物体，单位“1”不同，同一个分数如1/4

所表示的具体数量也不相同，这些结论都是学生通过练习以后自己悟到的，体现了在“做中学”

的教学思想，而教师引在核心处，拨在关键处，教师成了真正意义上的组织者、引导者、合作者。

教学反思：

学生在三年级时，已借助操作、直观、初步认识了分数，会读、写简单的分数。本节课《分

数的产生和意义》是在学生对分数有了初步的认识的基础上，进一步对分数的深入学习和探究。

它不仅是前面所学知识的归纳、总结，更是对分数认识上的一次飞跃。学生虽然在前面的学习中

对分数有了初步的认识，但对于单位“1”还是第一次真正意义上的接触，因此，如何引导学生

较好、较全面的理解单位“1”是非常的重要。

一、激发学生的学习兴趣，根据已有的知识经验说出有关分数的知识，通过自己的了解

和思考，让学生体会分数的产生。

（1）我们全班共有（）位同学。如果把（）位同学平均分成10份时，每份分的数是整数吗？体

验此时分得的结果不能用整数表示，怎么办？用分数。

（2）.出示课本插图一、二，不能用整数表示？再次体验量得的结果不能用整数表示，要用分数。

教师引导，在日常生产生活中，经常遇到计算、分物体、测量等，具结果常常不能正好得到整数

结果时，这样就产生了分数。在自然而然中体会出分数产生的重要性和必要性，从而有学好分数

知识的迫切愿望。因为分数在今后的生产生活中用途极广，本节进一步研究分数的有关知识，即

分数的意义。

二、利用多媒体课件由浅入深，由简到难、由个体到整体引导学生认识“单位1”，理解分数的

意义。

分两个阶段进行，目的是循序渐进，让学生轻松理解并掌握“单位1”。

第一阶段：把“一个物体”看做单位“1”平均分

（1）.把一条线段、1个正方形平均分成4份，表示其中一份或几份的数。总结出把一个物体看

作一个整体，平均分成若干份，这样的一份或几份就可以用分数分数。这一环节在已有知识经验

的基础上轻轻松松让学生总结出了分数的意义。但教师引导，一定强调平均分等。

第二阶段：把一些物体组成的“一个整体”看作单位“1”平均分

1.出示4个爱心，怎样表示出1/4?这里把一些物体看作一个整体。接着请同学利用刚才的方法

自己分8根小棒，12个小正方体，表示出1/4。然后请生脱离实物，在自主探究纸上表示出不同

的分数，最后总结出把一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，

这样的一份或几份都可以用分数来表示。一个整体可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单

位“1”。又启发学生举生活中的例子：还可以把什么看作一个整体（单位"1”）。如：一堆苹果、

全班同学、一车货物、一批玩具等等，接着出示了练习，在一次的强调了单位“1”。

这个教学环节让学生通过教师的引领，自主探究表示分数可次清楚的认识到，任何由许多物体组

成的一个整体都可以看作单位“1”来平均分，从而产生分数。这样一步步体会出分数的意义，

比枯燥灌输要有趣的多，印象也深刻的多。同时.，教师的适当引导、点拨，学生的细致观察、分

析，最后总结出了分数意义。

在知识的探究中，回忆分数的写法，各部分名称，尤其解释并理解了分数各部分的意义（分

数线——表示平均分，分母一一表示把单位“1”平均分成的份数，分子一一取出的份数），分数

单位，对丁后续学习打卜坚实的基础。

三、精选练习，巩固所学新知识

练习主要体现层次性，多样性。

1、在练习中渗透“分数单位”的教学，并反复练，反复问，达到对“分数单位”相关知识十分

熟练的程度。

2、在练习中让学生反复体会：分数的产生最关键的是“把谁看作单位1”，“平均分”…

3、游戏设计迎合了学生的好胜心埋，在思考、辩论中，既掌握分数的意义，又培养了学生的逆

向思维。在练习中让学生再次体会单位“I”不同，具体数量也不同。

反思整节课的教学过程，本课的教学重在充分应用学生已有的知识经验和生活经验，使

新旧知识相互融合，对单位“1”及分数的意义形成了系统的理解与掌握。在本课的教学设计上，

突出了新旧知识间的连贯与生长点，以问题为导向，在不断的解决问题中不断内化分数的意义，

达到了《课程标准》中：数学教育应该“在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”，

“帮助他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”

的要求。但还是存有一些遗憾，学生自己动手画一画、分一分方面设计的较少。今后要多留给让

学生想一想，看一看，画一画，议一议的时间，真正关注学生在知识，情感，思想，精神等方面

的需要，把课堂交给学生，让学生做课堂的主人。

教材分析：

1.学生在三年级上学期的学习中，已借助操作、直观，初步认识了分数（基本是真分数），知

道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1的分数，以及同分母分数的大小。

这些，都是本节课学习的重要基础。

2.通过本节课的学习，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，概括出分数

的意义，比较完整地从分数的产生，从分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学

习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分以及分数与小数互化的技能。

三、综合运用，巩固分数的意义

1.川分数&示口曲各图中涂色冰J部分。

三、综合运用，巩固分数的意义

每个茶杯是运分每块力拼是这食

月忧啕■

r：T-

2,­

三、综合运用，巩固分数的意义

都表示单位“1”的子，

3.猜猜谁的萝卜多。哪堆萝卜多呀？3

(2)提问：比较这3个工都表示把单位1平均分成3份，取其中的

3

1份，怎么萝卜的个数不同呢？

课标分析

在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如把一个月饼

平均分为两份,其中的一份是半把一张纸平均分为为四份其中的一份是.这仅仅是从“面积模型''

的角度来理解分数，学生理蟀分数可以借助于多种“模型”。

(I)分数的面积模型：用面积的“部分一整体”表示分数

儿童最早是通过“部分一整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个

“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份(涂上“阴影”)认识分数的，这些直观模型即为分数的“面

积模型

(2)分数的集合模型：用集合的“子集一全集”来表示分数

这是“部分一整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解I二难度更大，关

键是“单位I”不再真正是“I个整体”了，而是把几个物体看作“I个整体”，作为一个“单位”,

所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把4个桃子看作“单位“I”平

均分成2份，每份2个占整体的。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核

心是把“多个'看作“整体1

（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数

3.把握好每一阶段完成的任务

在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：第一学段分数的初步认识

和第二阶段分数的意义。但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到，对

于分数意义的学习，决不是一两次教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、

多维度建立，将教材中的“显性”和“隐性”结合起来。我们应该如何把握每•阶段的教学呢？

第一阶段：认识平均分。

第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。

第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的

维度。

第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对•于分数理解的运作、商的，

第五阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解

的多个维度。

必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶

段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这四个阶段在完成对分数意义丰

富认识方面各有侧重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整

体建构。

总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运

用。

如何建立“数”的概念

一、《课标》中“数的认识”有何变化

数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义伴随着学生学习数学的整个过程，从自然

数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。在小学阶段数的认识包括整数

的认识、分数、小数和百分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数的简单应用等。

在教材的安排中，整数的认识中分为10以内认识、20以内的认识、100以内的认识、万以

内的认识、大数的认识等；分数和小数的认识都为两个阶段、一个是初步的认识，另一个分数和

小数的意义。整体来说新课标中对数的认识的要求变化和调整不大，主要有以下几点，在教学中

我们要加以注意。

内容学段《标准》要求的调整和变化

第“知道用算盘可以表示多位数”。

一“能结合具体情境比较两个一位小数的

学大小，能比较两个同分母分数的大小。”

段

数的认

识第

八_不再要求“比较百分数的大小”和

“探索小数、分数和百分数之间的关

学

系”

段

在数的认识中要关注数的意义、数的表示、数与数的关系、数的应用。其中我们要特别关注数的

意义，也就是数的概念的建立。在教学中如何建立数的概念是教学的重点，面对数的认识这一重

要内容，我们又该怎样帮助学生建立清晰的数概念，理解数的意义呢？

二、在建立数概念中要注意的问题

(一)在整数的认识中要注意的问题

建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点。理解数的意义一般有两个

角度，一是从数的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。二是联系生活

实际来体会，通过在具体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有

机的结合，进一步理解数的意义。在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来，这样更

有利「学生体会数的意义，建立数的概念。在整数数概念的建立过程中要注意以下几点：

1.依托多种形式建立整数数概念

(1)在具体情境中理解数的意义

学生对数并不陌生，在入学之前，学生一对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会与，会

说一些具体的数。我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的2匹马，2

棵树，2头牛，2个人，抽象为2这个数。这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，

已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，2可以表示任何具

有2这样数量特征的事物，例如2只铅笔，2个人、2只小动物……，随着教学的深入，还

要引导学生认识到数的丰富含义，比如计数的数、数量的数、度量的数和计算的数。

(2)用操作帮助学生具体感知

自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽象到数，抽象离不开直观的支撑和操作，例如：计

数器、小棒、图形等等，让学生亲自的数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过程也是一

一对应的过程，同时感受具体的数最。

(3)多种模型的表征

在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计

数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起油象的数和现实中的数量之间的关系，

并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。例如，一位

老师在教学《万以内的数的认识》时，就运用方块模型帮助学生建立•万的概念，理解数的意义。

通过方格模型的演示，让学生体会10个一是十，10个一是一百，10个一百是一千，10个

一千是一万……，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的

映像，同时建立十个干就是一个万，在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一”，对于学

生理解基数单位和位值制是有很大好处的。

2.把握核心概念，重视数位和位置值的理解

为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含意是不同位置上的数字表示不同大

小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。认识个、十、百、千、万等不同的数位，理

解不同数位上的数字表示不同大小的数，是理解整数概念所必须的。学生必须清楚地了解，同样

一个数字“3”，在个位上表示3个一；在|位上表示30,即3个|；在百位上表示300,

即3个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。

我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的

每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。我国计数单位是四位一级,

在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。在历史上，曾经出现过以2、3、

4为原始的数基，比较多的是以5、20、60为数基，即五进制、二十进制、六十进制。当

然，最多的是以10为数基，即现在世界各国通用的十进制，即重要的,'满十进•”的方法。

在古代文明中，世界各国大多数都是采用十进制，例如中国、古罗马。但十进位记数法，离十进

位值制还有关键的一步“位置值制要走。所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所处的位置

不同可以表示大小不同的数目。有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是记

数历史上的一个创造，一个奇迹。因此马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制记数法为

“最妙的发明之一”。

(1)重视1()的概念的建立

一个十和几个一是十几，这就是位值制的基础，这样10个数字就可以表示出生活中无

限多的物。教学中建立好概念非常重要。在教学10的认发时要让学生亲自感受到由9再加1

变成10的过程，可以通过数、摆、捆、拨、说等活动，让学生感受10个一是1个十。在11-20

各数的认识中仍然要关注10的概念的建立，让学生体会满十进一的过程。

(2)重视数计数单位：

为帮助学牛了解卜进制计数决和位值制°要重视物计数单位逐步建立新的计数单位,10个一

是1个十，10个十是一百，10个百是一千，10个千是一万，10个万是十万，10个十万是一

百万，10个百万是一千万，从而引出新的计数单位十万，在一个单位、一个单位地数的活动中，

学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是

十。

(3)重视数位顺序表的便用

随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表，从认识20以内的数起就让学生了解个

位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位顺序表，在

认识整数的最后一个单元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两

次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。数位顺序表有助于学生了解十进制计数法，理解数的意

义并掌握读、写数的方法。

3.关注对大数的感受

在第一、二学段都提出感受大数意义和对人数进行估计的要求。笫一学段是要求在生活情境中感

受大数的意义，第二学段情境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受人数的意义。其本质是相

同，都是希望通过具体的情境对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有

关，1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要

多大的场地？这些具体的情境学生可以通过实际操作和观察感受。有时还要加入想象的成份，

1200名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解自己的学校有多少人，

占多大地方，再想象1200人会占多大地方。

这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就强调，宜.到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表

示，逐步建立数概念。

(-)在建立分数概念中要注意的问题

教师在数的认识的教学中普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。分数起源于分，当平

均分出现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。后夹，在土地测量、产品分配等过程中，

常常得到不是整数的结果，便产生了分数。分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源

在于自然数除法的推广。

1.加强对分数丰富意义的理解

教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。对分数意义的理解应

关注以卜.两个主线和四个层面：

两个主线

即“比的线索”和“数的线索”c“比”指的是一部分与另一部分之间的关系：“数”指的是以

有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。

分数意义理解的四个层面

“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。其中部分与整体的关系更多地体现在真

1

分数的含义中。例如一个圆平均分成4份，每一份是整体的*。又例如，长方形中的一部分是

1

整个长方形的3,整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是这样的三份。这

11

里的工和3所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。而部分与部分之间的关系更多地表

5

现为是一种“记号”。例如小红有5个苹果，小丽有3个苹果，小红的苹果是小丽的9倍。

对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。

311

“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。例如彳里面有3个就是用分数*作

为单位度量3次的结果。著名数学家华罗庚曾经说过：'•数起源于数，量起源于量。”对度量

维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。度量维度的体验也可以直接作用于分数加(减)

法的学习中。

2

“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如，求6张纸的？是多少张

22

纸，学生将？理解为整体6张纸的？，即将6张纸这个整体平均分成3份，取其中的2份，

2

列出算式就是64-3X2,也就是6X3,

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研.

田，⑥“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过

...........程”凝聚到“对象”，即分数也是i个数，也可以和其他数一样进行运算。

以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。

它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。

2.利用多种模型帮助学生理解分数的意义

在小学阶段教材中往往以学生.熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。例如把一个月饼

11

平均分为两份，其中的一份是5个，把一张纸平均分为为四份其中的一份是这仅仅是从“面

积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。

（1）分数的面积模型：用面积的“部分一整体”表示分数

儿童最早是通过“部分一整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”

某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即

为分数的“面积模型”。

（2）分数的集合模型：用集合的“子集一全集”来表示分数

这是“部分一整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大,

关键是“单位1”不再真正是“1个整体”了，而是把几个物体看作“1个整体”，作为一

个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，把4个

1

桃子看作“单位1”平均分成2份，每份2个占整体的2O分数的集合模型需要学生有更

高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。

（3）分数的“数线模型”：数线上的点表示分数

13516713

3336666

把上题中的分数卅自线上的点表示出来.

111111tliIII11.

J\'2

6

3.把握好每一阶段完成的任务

在小学阶段，对于分数意义的学习，教材一般“显性”地分为两个阶段：第一学段分数的初步认

识和第二阶段分数的意义。但实际上，基于对于分数意义内涵丰富性的理解，我们逐步认识到,

对于分数意义的学习，决不是一两次教学所能全部承载和实现的，需要通过系列设计，逐步渗透、

多维度建立，将教材中的“显性”和“隐性”结合起来。我们应该如何把握每•阶段的教学呢？

第一阶段：认识平均分。

第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生初步建立部分与整体关系的认识，感受分数。

第三阶段：在分数意义和分数基本性质的教学中，重点使学生发展对于分数理解的比率、度量的

维度。

第四阶段：在分数与除法关系的教学中，重点使学生发展对于分数理解的运作、商的，第五阶段：

在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解

的多个维度。

必须指出的是，这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶

段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这四个阶段在完成对分数意义丰

富认识方而各有侧重.相互渗透,相互补充,共同都助学生实现对分数意义理解的不断发展和整

体建构。

总之分数的认识是一个循序渐进的过程，需要系统的进行教学设计，才能使学生真正理解熟练运

用。

（三）在建立小数数概念中要注意的问题

在分数初步认识学习的基础上，教材安排了小数的初步认识。小数的出现标志着十进制记数法从

整数（自然数）扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。由此可见小数和整数、分数

有着密切的联系。

I.利用知识迁移建立小数概念

分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接显著的影响，后者的学习对前者也有促

进作用，例如8分米是十分之八米是学生已有的知识，只要通过提问，引起学生的回忆

和思考，还可以写成0.8米，也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接

的联系，使学生进一步体会到：I分之几和一位小数，百分之几和两位小数之间的关系。

再如把正方形平均分表示其中的若干份，以及用数轴表示数，这是认识整数、分数时常用的模型，

可以将其拓展到小数。例如：把一个正方形平均分成10吩100份，其中的若干份既可以用

分数表示，也可以用小数表示，这样能够帮助学生理解的小数意义，建立小数的模型，培养学

生的数感。

2.沟通整数、小数、分数之间的关系

（1）沟通整数和小数的关系。整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的

进率都是10，小数的计数方法是整数计数方法的扩展，教学中要设计相应的教学环节将整数

的计数方法迁移到小数，为学生在计数的经验和方法上建立联系，不仅如此，还要利用这些

活动帮助学生整理认数系统，把原来认识的整数数位表才充到小数。

（2）沟通分数和小数的关系：小数和分数上的沟通，主要是意义上的沟通，使学生理解小数

是十进分数。

（3）沟通分数、整数、小数之间的关系。

关于小数和整数、分数有着密切的联系，在整数学习的基础上，学习了小数，小数的表征形式

与整数相似，数位顺序表得到补充，都是十进制。如果以个位为基础，向右扩展就是十位、百位、

千位；如果向左扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。换句话说：以个位

为对称轴，两边的数位呈现了对称的关系，只是小数部分在位前增加了“分”；这样“每相邻的

两个计数单位之间的进率都是10”得到了全面的概括；小数是十进分数。从这个意义上说，

对小数的理解比对分数的理解更容易一些°

整数可以数，一个一个地，一十一十地数，一百一百地数，小数可以数：0.1、0.2、0.3、

12345678

0.4、0.5、0.6、0,7……分数可以数：8s葭T目'葭豆、8……

以此类推。这列数是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数它们都是计数单位的累

加。

3.把握好小数认识的两个阶段的教学

我们知道关于小数的初步认识可以从学生熟悉的计量单位：元、角、分和米制系统（米、分米、

厘米）来帮助学生学习。并不涉及到小数的计数单位和数，立；到了第二学段学习小数的意义时,

才抽象出小数的计数单位和数位，以及完善数位顺序表……两个学段的重点不同，呈现的方式

和学习的方式也应当有区别。要根据学生的实际选择合适的学习方法，帮助学生理解小数的意义。

三、建立数概念教学的具体建议

（-）在数认识中体现数感。数感的建立非常重要，教师要设计多种活动培养学生的数感。

（二）整体把握内容之间的联系：两个学段相关内容的整体把握和递进与衔接。

（三）鼓励学生进行数学交流，关注数的应用。关于数的认识包括从数的意义、数的表示、数

和数之间的关系、数的应用；其中数的应用不仅仅是一条主线，而且渗透在整个学习中。教学中

要提供机会鼓励学生运用数来表示日常生活中的一些事物，并进行交流。

“数与代数”内容变化及教学建议

【编者按】《义务教育数学课程标准（2011年版）》充数学教育基本理念、数学课程目标和

各学段课程内容等进行了完善和修订。为了帮助教师学习和研究修订后的数学课程标准，我们对

数学课程四个内容领域的具体变化进行了对比分析，并提出相应的教学建议。

育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新标准”）关于“数与代数”领域的内容结构

没有变化，但“数的认识”“数的运算”“式与方程”的内容发生了一定的变化。

一、“数的认识”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有三个方面的变化：一是内容有所增加.第一学段增加了“知道用算盘可以表示多位

数”，“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小二第二学段增

加了“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。二是要求适当调整，并使用新标

准规定的课程目标术语，使得要求更加明确。例如，第一学段将“认识符号V,=,＞的含义”

调整为“理解符号V,=,＞的含义”；将“识别各数位上的数字表示的意义”调整为“理解各

数位上的数字表示的意义”。三是要求表述进一步准确、完整。例如，在第一学段中，将“能认、

读、写万以内的数”修改为“在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数”；

在第二学段中，将“能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流”修改为“会运用数描述

事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用”：将“进一步认识小数和分数，认识百分

数”修改为“结合具体情境，理解小数和分数的意义,理解百分数的意义二

“数的认识”内容变化表现出三方面特点：一是突用数概念在小学数学中的核心地位。自

然数、整数、小数、分数、百分数等，都是小学数学中最基本的概念，这些概念都是学生今后构

建“概念网络图”、学习数的运算、研究数量关系的重要基础，是小学数学中的核心内容。新标

准的修改有利于增强内容标准的可操作件,计课程目标切实得以落实c二是突出理解数的意义是

认数教学的重点。新标准在继承从数的含义、计数技能、数的相对大小关系、用数进行交流等方

面理解数的意义的基础上，进一步丰富学习的途径与内容。例如，引入认数工具算盘，有利于学

生了解十进制计数法，了解祖国的传统文化；把比较两个一位小数的大小、比较两个同分母分数

的大小单列出来，有利于学生在比较活动中进一步加深对一位小数和同分母分数意义的理解.；