2025年高考数学立体几何经典题型解析模拟试卷（掌握核心）

2025年高考数学立体几何经典题型解析模拟试卷（掌握核心）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2），那么△ABC的形状是（）。A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定2.已知直线l1：x+y-1=0和直线l2：2x-y+3=0，那么直线l1和直线l2的位置关系是（）。A.平行B.相交C.重合D.无法确定3.平面α和平面β相交于直线l，如果点A在平面α上，点B在平面β上，且点A和点B到直线l的距离都是1，那么线段AB的最短长度是（）。A.1B.√2C.√3D.24.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是一个等边三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=2，BC=2，那么三棱柱ABC-A1B1C1的体积是（）。A.2√3B.4√3C.8√3D.16√35.已知点P（1，2，3），点Q（3，2，1），那么向量PQ的模长是（）。A.1B.√2C.√3D.26.在空间直角坐标系中，平面α的方程是x+y+z=1，那么点A（1，1，1）到平面α的距离是（）。A.0B.1C.√2D.√37.已知直线l：x+y-1=0和直线m：2x-y+3=0，那么直线l和直线m的夹角是（）。A.30°B.45°C.60°D.90°8.在四面体ABCD中，点A、B、C、D的坐标分别是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1），那么四面体ABCD的体积是（）。A.1/6B.1/4C.1/3D.1/29.已知直线l：x+y-1=0和直线m：2x-y+3=0，那么直线l和直线m的交点坐标是（）。A.（1，0）B.（0，1）C.（-1，2）D.（2，-1）10.在空间直角坐标系中，平面α的方程是x-y+2z=0，那么点A（1，2，3）到平面α的距离是（）。A.1B.2C.3D.411.已知直线l：x+y-1=0和直线m：2x-y+3=0，那么直线l和直线m的斜率分别是（）。A.-1，2B.1，-2C.-1/2，2D.1/2，-212.在四面体ABCD中，点A、B、C、D的坐标分别是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1），那么四面体ABCD的表面积是（）。A.√2B.√3C.2√2D.3√2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填写在答题卡上对应位置。）13.已知点A（1，2，3），点B（2，1，3），那么向量AB的坐标是__________。14.在空间直角坐标系中，平面α的方程是x+y+z=1，那么点A（1，1，1）到平面α的距离是__________。15.已知直线l：x+y-1=0和直线m：2x-y+3=0，那么直线l和直线m的夹角是__________。16.在四面体ABCD中，点A、B、C、D的坐标分别是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1），那么四面体ABCD的体积是__________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），点B（2，1，3），点C（3，1，2）。求△ABC的面积。18.已知直线l1：x+y-1=0和直线l2：2x-y+3=0。求直线l1和直线l2的夹角。19.在四面体ABCD中，点A、B、C、D的坐标分别是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1）。求四面体ABCD的体积。20.在空间直角坐标系中，平面α的方程是x-y+2z=0。求点A（1，2，3）到平面α的距离。21.已知直线l：x+y-1=0和直线m：2x-y+3=0。求直线l和直线m的交点坐标。22.在空间直角坐标系中，平面α的方程是x+y+z=1。求点A（1，1，1）到平面α的距离。四、证明题（本大题共2小题，共30分。证明过程应写出详细的推理步骤。）23.在四面体ABCD中，点A、B、C、D的坐标分别是（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，1）。证明：四面体ABCD是一个正四面体。24.在空间直角坐标系中，平面α的方程是x-y+2z=0。证明：点A（1，2，3）在平面α上。五、应用题（本大题共2小题，共30分。应用题应结合实际情境，解决相关问题。）25.在一个长方体容器中，长、宽、高分别为3米、2米、1米。容器内有一块立方体冰块，冰块的边长为1米。如果冰块完全融化，水面会上升多少米？26.在一个三棱锥中，底面是一个等边三角形，边长为2米。三棱锥的高为3米。求三棱锥的体积。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：首先计算向量AB和向量AC的坐标，分别为（1，-1，0）和（2，-1，-1）。然后计算向量AB和向量AC的点积，得到1×2+(-1)×(-1)+0×(-1)=3。接着计算向量AB和向量AC的模长，分别为√2和√6。最后，根据向量的夹角公式cosθ=(AB·AC)/(|AB|×|AC|)，得到cosθ=3/(√2×√6)=√3/2。因为cosθ=√3/2对应的角度是60°，所以△ABC是一个锐角三角形。2.B解析：直线l1的斜率为-1，直线l2的斜率为2。因为两个直线的斜率不相等，所以它们相交。3.√2解析：过点A作直线l的垂线，垂足为H。过点B作直线l的垂线，垂足为M。因为AH和BM都是1，所以AH=BM=1。根据勾股定理，AH的长度为√(1^2+1^2)=√2。所以线段AB的最短长度是√2。4.4√3解析：底面ABC是一个等边三角形，边长为2，所以底面面积为(√3/4)×2^2=√3。侧棱AA1垂直于底面ABC，且AA1=2，所以三棱柱的高为2。三棱柱的体积为底面面积×高=√3×2=2√3。但是题目中说的是三棱柱ABC-A1B1C1，所以需要将体积乘以2，得到4√3。5.√5解析：向量PQ的坐标为（3-1，2-2，1-3）=（2，0，-2）。向量PQ的模长为√(2^2+0^2+(-2)^2)=√8=2√2。所以向量PQ的模长是2√2。6.√11/3解析：点A（1，1，1）到平面α的距离公式为d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是点的坐标，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入点A（1，1，1）和平面α的方程x+y+z=1，得到d=|1×1+1×1+1×1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3/3。所以点A到平面α的距离是√3/3。7.45°解析：直线l的斜率为-1，直线m的斜率为2。两个直线的斜率之积为(-1)×2=-2。根据两条直线的夹角公式tanθ=|k1-k2|/(1+k1k2)，得到tanθ=|-1-2|/(1+(-1)×2)=3/1=3。因为tan45°=1，所以θ=45°。所以直线l和直线m的夹角是45°。8.1/6解析：四面体ABCD的体积公式为V=1/3×底面面积×高。底面ABC是一个等边三角形，边长为1，所以底面面积为(√3/4)×1^2=√3/4。四面体的高为1，所以体积为1/3×√3/4×1=√3/12。所以四面体ABCD的体积是√3/12。9.（4/3，-1/3）解析：联立直线l和直线m的方程x+y-1=0和2x-y+3=0，解得x=4/3，y=-1/3。所以直线l和直线m的交点坐标是（4/3，-1/3）。10.√6/3解析：点A（1，2，3）到平面α的距离公式为d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是点的坐标，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入点A（1，2，3）和平面α的方程x-y+2z=0，得到d=|1×1+(-1)×2+2×3|/√(1^2+(-1)^2+2^2)=√6/3。所以点A到平面α的距离是√6/3。11.-1/2，2解析：直线l的斜率为-1，直线m的斜率为2。所以直线l和直线m的斜率分别是-1/2和2。12.3√2解析：四面体ABCD的表面积等于四个面的面积之和。每个面的面积都是(√3/4)×2^2=√3。所以表面积为4×√3=4√3。但是题目中说的是四面体ABCD的表面积，所以需要将表面积乘以√2，得到4√3×√2=4√6。所以四面体ABCD的表面积是4√6。二、填空题答案及解析13.（1，-1，0）解析：向量AB的坐标为（2-1，1-2，3-3）=（1，-1，0）。14.√6/3解析：点A（1，1，1）到平面α的距离公式为d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是点的坐标，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入点A（1，1，1）和平面α的方程x+y+z=1，得到d=|1×1+1×1+1×1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3/3。所以点A到平面α的距离是√3/3。15.60°解析：直线l的斜率为-1，直线m的斜率为2。两个直线的斜率之积为(-1)×2=-2。根据两条直线的夹角公式tanθ=|k1-k2|/(1+k1k2)，得到tanθ=|-1-2|/(1+(-1)×2)=3/1=3。因为tan60°=√3，所以θ=60°。所以直线l和直线m的夹角是60°。16.1/6解析：四面体ABCD的体积公式为V=1/3×底面面积×高。底面ABC是一个等边三角形，边长为1，所以底面面积为(√3/4)×1^2=√3/4。四面体的高为1，所以体积为1/3×√3/4×1=√3/12。所以四面体ABCD的体积是√3/12。三、解答题答案及解析17.√3/4解析：首先计算向量AB和向量AC的坐标，分别为（1，-1，0）和（2，-1，-1）。然后计算向量AB和向量AC的叉积，得到（1，-1，0）×（2，-1，-1）=（1，-2，-1）。接着计算向量AB和向量AC的模长，分别为√2和√6。最后，根据向量的叉积的模长公式|AB×AC|=|AB|×|AC|×sinθ，得到|（1，-1，0）×（2，-1，-1）|=√2×√6×sinθ。因为sinθ=|（1，-1，0）×（2，-1，-1）|/(√2×√6)=√3/3，所以sinθ=√3/3。所以△ABC的面积为(1/2)×√2×√6×√3/3=√3/4。18.90°解析：直线l1的斜率为-1，直线l2的斜率为2。两个直线的斜率之积为(-1)×2=-2。根据两条直线的夹角公式tanθ=|k1-k2|/(1+k1k2)，得到tanθ=|-1-2|/(1+(-1)×2)=3/1=3。因为tan90°=无穷大，所以θ=90°。所以直线l1和直线l2的夹角是90°。19.1/6解析：四面体ABCD的体积公式为V=1/3×底面面积×高。底面ABC是一个等边三角形，边长为1，所以底面面积为(√3/4)×1^2=√3/4。四面体的高为1，所以体积为1/3×√3/4×1=√3/12。所以四面体ABCD的体积是√3/12。20.√6/3解析：点A（1，2，3）到平面α的距离公式为d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是点的坐标，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入点A（1，2，3）和平面α的方程x-y+2z=0，得到d=|1×1+(-1)×2+2×3|/√(1^2+(-1)^2+2^2)=√6/3。所以点A到平面α的距离是√6/3。21.（4/3，-1/3）解析：联立直线l和直线m的方程x+y-1=0和2x-y+3=0，解得x=4/3，y=-1/3。所以直线l和直线m的交点坐标是（4/3，-1/3）。22.√11/3解析：点A（1，1，1）到平面α的距离公式为d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，其中（x1，y1，z1）是点的坐标，ax+by+cz+d=0是平面的方程。代入点A（1，1，1）和平面α的方程x+y+z=1，得到d=|1×1+1×1+1×1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√3/3。所以点A到平面α的距离是√3/3。四、证明题答案及解析23.证明：首先计算向量AB、向量AC和向量AD的坐标，分别为（-1，1，0）、（-1，0，1）和（0，-1，1）。然后计算向量AB和向量AC的叉积，得到（-1，1，0）×（-1，0，1）=（1，1，1）。接着计算向量AB和向量AC的模长，分别为√2和√2。最后，根据向量的叉积的模长公式|AB×AC|=|AB|×|AC|×sinθ，得到|（-1，1，0）×（-1，0，1）|=√2×√2×sinθ。因为sinθ=|（-1，1，0）×（-1，0，1）|/(√2×√2)=1，所以sinθ=1。所以四面体