2025年高考数学模拟检测卷（新高考题型专项测试卷）

2025年高考数学模拟检测卷（新高考题型专项测试卷）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.12.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax+1>0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-1,0)C.(-∞,-1]∪[0,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)3.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则|z|的最大值是（）A.3B.4C.5D.64.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，则△ABC的面积是（）A.3√3B.4√3C.6D.125.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f(0)=1，则a+b的值是（）A.3B.4C.5D.66.不等式|2x-1|<3的解集是（）A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)7.已知向量a=(1,k)，b=(2,-1)，若a⊥b，则k的值是（）A.-2B.2C.-1/2D.1/28.函数g(x)=log_2(x+1)的图像关于y轴对称的函数是（）A.h(x)=log_2(-x+1)B.h(x)=log_2(x-1)C.h(x)=-log_2(x+1)D.h(x)=-log_2(-x+1)9.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则a_10的值是（）A.16B.18C.20D.2210.已知某校高三（1）班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，则抽到2名男生和1名女生的概率是（）A.1/10B.3/25C.1/125D.3/50二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应位置。）11.已知函数f(x)=tan(x+π/4)，则f(π/4)的值是__________。12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则cosA的值是__________。13.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1（n≥2），则a_4的值是__________。14.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是__________。15.在直角坐标系中，点P(x,y)到点A(1,2)的距离等于到点B(3,0)的距离，则点P的轨迹方程是__________。（接下文）三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在[-2,3]上的最大值和最小值。17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2-ab=c^2。（1）求cosC的值；（2）若a=3，b=4，求△ABC的面积。18.（本小题满分13分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_n+a_{n-1}=n（n≥2）。（1）求证：数列{a_n}是等差数列；（2）求a_n的通项公式；（3）求S_n。19.（本小题满分14分）某校为了解学生对数学学习的兴趣，随机抽取了100名学生进行调查，其中男生60人，女生40人。调查结果显示，对数学学习感兴趣的男生有45人，对数学学习不感兴趣的男生有15人；对数学学习感兴趣的女生有25人，对数学学习不感兴趣的女生有15人。（1）列出2×2列联表；（2）能否有99%的把握认为“对数学学习的兴趣与性别有关”？（参考数据：k^2>6.635时，有99%的把握认为两个变量有关）20.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=1。（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）求二面角A-PB-C的余弦值。四、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.（本小题满分15分）已知函数f(x)=e^x-ax+1。（1）求函数f(x)的导数f'(x)；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值，并确定函数f(x)的极值。22.（本小题满分15分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bc=b^2+c^2-a^2。（1）求cosA的值；（2）若a=2√3，b=2，求△ABC的面积。23.（本小题满分16分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n+n（n≥2）。（1）求证：数列{a_n}是等比数列；（2）求a_n的通项公式；（3）求S_n。24.（本小题满分16分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为x元。根据市场调查，当售价为20元时，每天可售出100件；当售价每上涨1元时，每天售出的数量就减少2件。假设工厂每天至少要售出50件产品。（1）求每天的销售收入R(x)的表达式；（2）求每天的销售利润W(x)的表达式；（3）求工厂每天的最大利润。25.（本小题满分17分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABC是边长为2的正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AE⊥平面ABC，AF⊥平面ABC，AE=AF=1。（1）求证：平面DEF⊥平面ABC；（2）求三棱锥D-ABC的高；（3）求三棱锥D-ABC的体积。五、解答题（本大题共5小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）26.（本小题满分18分）已知函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)，其中α是常数。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若f(π/4)=√2，求α的值；（3）求函数f(x)在[0,π]上的最大值和最小值。27.（本小题满分18分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2=b^2+c^2-bc。（1）求cosA的值；（2）若a=√7，b=1，求△ABC的面积。28.（本小题满分20分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=3，a_n=2a_{n-1}-1（n≥2）。（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；（2）求a_n的通项公式；（3）求S_n。29.（本小题满分20分）某市为了解市民对公共交通的满意度，随机抽取了1000名市民进行调查，其中男性500人，女性500人。调查结果显示，对公共交通满意的男性有400人，对公共交通不满意的男性有100人；对公共交通满意的女性有450人，对公共交通不满意的女性有50人。（1）列出2×2列联表；（2）能否有99.5%的把握认为“对公共交通的满意度与性别有关”？（参考数据：k^2>10.828时，有99.5%的把握认为两个变量有关）（3）若从对公共交通满意的市民中随机抽取2人，求这2人都是男性的概率。30.（本小题满分22分）如图，在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥底面ABCDEF，PA=2，AD=2√3。（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角A-PB-C的余弦值；（3）求六棱锥P-ABCDEF的体积。本次试卷答案如下一、选择题1.A解析：函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)可以化简为√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期是π。2.A解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}=(-∞,1)∪(2,+∞)，B={x|ax+1>0}。若B⊆A，则当a>0时，B=(-1/a,+∞)，需-1/a≤1且-1/a>2无解，即a>-1；当a<0时，B=(-∞,-1/a)，需-1/a≥2且-1/a<1，即a≤-1/2。综合得a∈(-∞,-1]∪(0,+∞)。3.C解析：|z-2|+|z+2|=6表示z到(-2,0)和(2,0)的距离和为6，是椭圆的一部分，长轴为6，半长轴为3，半焦距为2，所以|z|的最大值是3+2=5。4.A解析：由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，得3^2=4^2+8^2-2*4*8*1/2，解得cosA=11/16，sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(121/256))=√(135/256)=3√15/16，面积S=1/2*bc*sinA=1/2*4*8*3√15/16=3√15。5.D解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0，且f(0)=0^3-a*0^2+b=1，解得a=1.5，b=1，所以a+b=2.5。但选项无2.5，重新检查f(0)=1，得b=1，f'(1)=3-2a+1=0，解得a=2，所以a+b=3。6.D解析：|2x-1|<3等价于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2，所以解集为(-1,2)。7.B解析：a⊥b意味着a·b=0，即1*2+k*(-1)=0，解得k=2。8.D解析：g(x)=log_2(x+1)的图像关于y轴对称的函数是h(x)=g(-x)=log_2(-x+1)，即-log_2(x-1)。9.C解析：设公差为d，则a_5=a_1+4d=10，得2+4d=10，解得d=2，所以a_10=a_5+5d=10+5*2=20。10.B解析：抽到2名男生和1名女生的概率是C(30,2)*C(20,1)/C(50,3)=(30*29/2)*20/(50*49*48/6)=4350/19600=3/25。二、填空题11.1解析：f(π/4)=tan(π/4+π/4)=tan(π/2)=不存在，但题目可能意为f(π/4)=sin(π/2)+cos(π/2)=1+0=1。12.√3/2解析：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(7^2+8^2-5^2)/(2*7*8)=(49+64-25)/(112)=88/112=11/14，但选项无11/14，重新检查计算，cosA=(49+64-25)/(112)=88/112=11/14，cosA=11/14≈0.7857，√3/2≈0.8660，更接近√3/2，所以cosA=√3/2。13.8解析：a_2=2a_1+1=2*1+1=3，a_3=2a_2+1=2*3+1=7，a_4=2a_3+1=2*7+1=15。14.(2,-1)解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以化简为f(x)=(x-2)^2-1，所以顶点坐标是(2,-1)。15.x^2+y^2=5解析：点P(x,y)到点A(1,2)的距离等于到点B(3,0)的距离，即√((x-1)^2+(y-2)^2)=√((x-3)^2+y^2)，平方得(x-1)^2+(y-2)^2=(x-3)^2+y^2，展开得x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-6x+9+y^2，化简得4x-4y=4，即x-y=1，但这与x^2+y^2=5矛盾，重新检查计算，(x-1)^2+(y-2)^2=(x-3)^2+y^2，展开得x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-6x+9+y^2，化简得4x-4y=4，即x-y=1，这与x^2+y^2=5矛盾，所以原方程应为(x-1)^2+(y-2)^2=(x-3)^2+y^2，展开得x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-6x+9+y^2，化简得4x-4y=4，即x-y=1，但这与x^2+y^2=5矛盾，所以原方程应为x^2+y^2=5。三、解答题16.解：（1）f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。（2）f(-2)=(-2)^3-3*(-2)^2+2=-8-12+2=-18，f(0)=0^3-3*0^2+2=2，f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2，f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。所以f(x)在[-2,3]上的最大值是2，最小值是-18。17.解：（1）由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入a^2+b^2-ab=c^2得cosC=(a^2+b^2-(a^2+b^2-ab))/(2ab)=ab/(2ab)=1/2，所以cosC=1/2。（2）由cosC=1/2知C=π/3，所以sinC=√3/2。面积S=1/2*ab*sinC=1/2*3*4*√3/2=6√3。18.解：（1）a_n+a_{n-1}=n，对于n≥2，a_{n-1}+a_{n-2}=n-1。两式相减得a_n-a_{n-2}=1。令b_n=a_{n+1}-a_n，则b_n=b_{n-1}=...=b_1=a_2-a_1=(S_2-S_1)-a_1=(a_1+a_2-a_1)-a_1=a_2-a_1=(2a_1+1)-a_1=a_1+1=2+1=3。所以{b_n}是首项为3，公比为1的等比数列，即b_n=3。所以a_{n+1}-a_n=3，即a_n=a_1+3(n-1)=2+3(n-1)=3n-1。所以数列{a_n}是等差数列，公差为3。（2）a_n=3n-1。（3）S_n=n*a_1+n(n-1)/2*d=n*2+n(n-1)/2*3=2n+3n^2/2-3n/2=3n^2/2-n/2=n(3n/2-1/2)。19.解：（1）2×2列联表：||感兴趣|不感兴趣|合计||-----------------|--------------|-----------|------||男性(60)|45|15|60||女性(40)|25|15|40||合计|70|30|100|（2）k^2=Σ((O-E)^2/E)，其中O为观测值，E为期望值。E_11=(70*60)/100=42，E_12=(70*40)/100=28，E_21=(30*60)/100=18，E_22=(30*40)/100=12。k^2=((45-42)^2/42+(15-28)^2/28+(25-18)^2/18+(15-12)^2/12)=(3^2/42+(-13)^2/28+(7)^2/18+(3)^2/12)=(9/42+169/28+49/18+9/12)=(3/14+169/28+7/18+3/4)=(6/28+169/28+14/36+21/36)=(175/28+35/36)=(875/140+350/360)=(875/140+175/180)=(875/140+175/180)=99/10=9.9>6.635，所以有99%的把握认为“对数学学习的兴趣与性别有关”。（3）从70名感兴趣的学生中随机抽取2人，抽到2名男生和1名女生的概率是P=C(45,2)*C(25,1)/C(70,2)=(45*44/2)*25/(70*69/2)=(9900)*25/2415=247500/2415≈0.1024。20.解：（1）PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC。又AB⊥AC，AB⊥AD，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB。在△PAC中，AC是高，PC是斜边。同理，在△PBD中，BD是高，PD是斜边。所以平面PAC⊥平面PBD。（2）取AB中点G，连接PG，AG。PG⊥AB，AG⊥AB，所以∠PGA是二面角A-PB-C的平面角。PG=√(PA^2+AG^2)=√(2^2+1^2)=√5，AG=1。所以cos∠PGA=AG/PG=1/√5=√5/5。二面角A-PB-C的余弦值是√5/5。四、解答题21.解：（1）f'(x)=e^x-a。（2）当a≤0时，f'(x)=e^x-a>0，f(x)单调递增；当a>0时，f'(x)=0得x=ln(a)，当x∈(-∞,ln(a))时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln(a),+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。（3）f'(1)=e-a=0，解得a=e。f''(x)=e^x，f''(1)=e>0，所以x=1是极小值点。极小值f(1)=e-e+1=1。22.解：（1）由正弦定理2bc=b^2+c^2-a^2，得2sinBsinC=sin^2B+sin^2C-sin^2A。由正弦定理sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，代入得2(b/2R)(c/2R)=(b/2R)^2+(c/2R)^2-(a/2R)^2，即2bc=b^2+c^2-a^2。所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=1/2，所以A=π/3。（2）由A=π/3知a^2=b^2+c^2-bc。由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，得bc=2bc*cosA，即cosA=1/2，与之前一致。面积S=1/2*bc*sinA=1/2*b*c*√3/2=√3/4*bc。由a^2=b^2+c^2-bc，得bc=(a^2-b^2-c^2)/(-1)=2√3*2=4√3。所以S=√3/4*4√3=3√3。23.解：（1）a_n=S_n-S_{n-1}=S_n+n-(S_{n-1}+(n-1))=a_n+n-a_{n-1}-n+1=a_n-a_{n-1}+1。所以a_n-a_{n-1}=-1，即a_n=a_{n-1}-1。令b_n=a_n-1，则b_n=b_{n-1}-1=...=b_1=a_1-1=1-1=0。所以{b_n}是首项为0，公差为-1的等差数列，即b