2025年高考数学模拟检测卷：立体几何空间想象突破试题

2025年高考数学模拟检测卷：立体几何空间想象突破试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面π：x-2y+z=0的距离等于（）A.2√6B.√6C.√3D.3√2*（提醒啊，这题得用点到平面的距离公式，记得带根号，别算错了，我当年就差点在这里栽跟头。）*2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影方向向量可以是（）A.(1,1,1)B.(-1,1,0)C.(0,1,1)D.(1,0,-1)*（想啊，直线在平面上的投影方向向量，其实就是平面法向量的垂线方向，这个得好好想明白。）*3.给定三个不共线的向量a=(1,0,1),b=(1,1,0),c=(0,1,1)，若向量d满足2a+b=3c-d，则向量d与向量a的夹角大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°*（这题啊，得先解出d，再算夹角，过程有点绕，但别怕，一步步来，肯定能行。）*4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1DF所成角的正弦值为（）A.1/3B.2√2/3C.√2/3D.1/2*（画个图来想想，正方体啊，中点啊，这些条件很重要，好好利用它们。）*5.已知球O的半径为R，点A、B在球面上，|AB|=√2R，O到直线AB的距离为R/2，则球心O到直线AB的距离与∠AOB的正弦值之比为（）A.1:1B.1:√2C.√2:1D.1:√3*（这题得用球的性质，还有直线与球的距离公式，计算量有点大，但只要思路对，算出来就不难。）*6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是棱PC的中点，则三棱锥E-ABC的体积为（）A.1B.√2C.√3D.2√2*（想啊，三棱锥的体积公式，底面积和高，这题得先找底面和高，再算体积，别急。）*7.已知异面直线a、b的距离为d，它们的公垂线与直线a所成角为θ，则异面直线a、b所成角的正弦值为（）A.d/|a|B.d/|b|C.d/(|a|cosθ)D.d/(|b|sinθ)*（这题得用异面直线所成角的定义，还有距离公式，好好想想，肯定能明白。）*8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=2，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，则直线AE与直线B1F所成角的余弦值为（）A.1/3B.√2/3C.2√2/3D.1/2*（又是一个直三棱柱，得用它的性质，还有向量的知识，好好利用中点这个条件。）*9.已知平面α与平面β所成二面角为60°，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a⊥b，则直线b在平面α内的投影方向向量可以是（）A.(1,0,1)B.(-1,1,0)C.(0,1,1)D.(1,0,-1)*（这题得用二面角的定义，还有直线与平面垂直的性质，好好想想，肯定能明白。）*10.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到直线l：x=y=z的的距离等于（）A.√6/3B.√6C.√3D.2√6*（直线l啊，它的方向向量是(1,1,1)，点到直线的距离公式得会用吧，别算错了。）*11.已知三个不共线的向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1)，若向量d满足d=2a+b-c，则向量d在向量a上的投影长度的平方为（）A.1/2B.1C.3/2D.2*（这题得先求出d，再求投影长度，最后求平方，过程有点绕，但别怕，一步步来，肯定能行。）*12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，G是棱DD1的中点，则二面角E-BF-G的余弦值为（）A.1/3B.√2/3C.-√2/3D.-1/3*（这题得用二面角的定义，还有向量的知识，好好利用中点这个条件，再算余弦值。）*二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到直线l：x-1=y-2=z-3的的距离等于______。*（这题啊，直线l过点(1,2,3)，方向向量是(1,1,1)，点到直线的距离公式得会用吧，算出来就是答案。）*14.已知三个不共线的向量a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(1,1,0)，若向量d满足2a+b=3c-d，则向量d与向量a的夹角大小为______度。*（这题得先解出d，再算夹角，过程有点绕，但别怕，一步步来，肯定能行。算出来就是答案。）*15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1DF所成角的正弦值为______。*（画个图来想想，正方体啊，中点啊，这些条件很重要，好好利用它们。算出来就是答案。）*16.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E是棱PC的中点，则三棱锥E-ABC的体积为______。*（想啊，三棱锥的体积公式，底面积和高，这题得先找底面和高，再算体积，算出来就是答案。）*三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.(10分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点。求（1）异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）直线AE到平面BFD的距离。*（这题啊，得先找到向量AE和向量BF，用向量法来算夹角余弦值。夹角余弦值有了，再求距离就不难了。记得用公式，一步一步来。）*18.(12分)已知平面α：x+y+z=1和平面β：x-y+z=0，直线l：x=y=z。求（1）平面α与平面β所成二面角的平面角的余弦值；（2）直线l与平面α所成角的正弦值。*（想啊，二面角的平面角得找两条交于棱的射线，这题得先找到平面α与平面β的交线。直线与平面所成的角，得找直线上一点到平面的垂线，再算夹角正弦值。这个得好好想明白。）*19.(12分)在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(3,2,1)，点C(2,1,2)，点D(1,0,3)。求（1）四面体ABCD的体积；（2）点A到平面BCD的距离。*（这题得用四面体体积公式，底面积和高。底面积是三角形BCD的面积，高是点A到平面BCD的距离。这个得好好算。）*20.(12分)已知三个不共线的向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1)，且向量d与向量a、向量b、向量c所成的角相等。求向量d的坐标。*（这题啊，向量d与向量a、向量b、向量c所成的角相等，说明向量d在三个向量所成的平面的角平分面上。得先写出向量夹角余弦值的公式，再解方程组。这个得好好想。）*21.(12分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E是棱PC上一点，且BE⊥PC。求（1）三棱锥P-ABE的体积；（2）直线BE与平面PAC所成角的正弦值。*（这题得先找到点E的位置，再算三棱锥体积。体积有了，再找直线BE与平面PAC所成角的正弦值就不难了。这个得好好算。）*22.(12分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，G是棱DD1的中点。求（1）二面角E-BF-G的平面角的余弦值；（2）三棱锥E-FBG的体积。*（这题啊，二面角的平面角得找两条交于棱的射线，这题得先找到平面E-BF-G的两条交于棱的射线。体积得先找到底面和高，再算。这个得好好想。）*四、证明题（本大题共1小题，共10分。）23.已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。证明：四边形EFGH是平行四边形。*（这题得用中位线定理，或者向量法来证明。找到向量EF和向量GH，证明它们平行且相等，或者找到向量EG和向量FH，证明它们平行且相等，就能证明四边形EFGH是平行四边形了。这个得好好想。）*本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：B解析：点A(1,2,3)到平面π：x-2y+z=0的距离d=|1×1-2×2+1×3|/√(1²+(-2)²+1²)=|1-4+3|/√6=√6/√6=√6。2.答案：C解析：直线l：x=1的方向向量为(0,1,0)，平面α：x+y+z=1的法向量为(1,1,1)，投影方向向量应与法向量垂直，与直线方向向量平行，故为(0,1,1)。3.答案：C解析：2a+b=3c-d，d=3c-2a-b=(3,0,3)-(2,0,2)-(1,1,0)=(0,-1,1)，向量d与向量a=(1,0,1)的夹角cosθ=(0×1+(-1)×0+1×1)/(√(0²+(-1)²+1²)×√(1²+0²+1²))=1/(√2×√2)=1/2，θ=60°。4.答案：A解析：正方体边长为1，E(0,0,1/2)，F(1/2,1,1)，A(0,0,1)，B1(1,1,1)，C1(1,0,1)，D1(0,1,1)，向量AE=(0,0,1/2)，平面B1C1DF的法向量n=(1,0,-1)×(0,-1,1)=(1,1,1)，向量AE与平面所成角sinθ=|n·AE|/(|n|×|AE|)=|(1,1,1)·(0,0,1/2)|/(√3×√(1/4))=1/(√3×1/2)=2/√3=1/√3=1/3。5.答案：B解析：球心O到直线AB的距离为R/2，设AB中点为M，则OM=R/2，OA=OB=R，∠OAM=∠OBM=90°，AM=√(R²-(R/2)²)=√(3R²/4)=R√3/2，∠AOB=2∠OAM=2arcsin(OM/OA)=2arcsin(R/2R)=2arcsin(1/2)=60°，sin60°=√3/2，R/2:√3/2=1:√2。6.答案：A解析：底面ABC面积S=1/2×2×2=2，高为E到平面ABC的距离，E是PC中点，PC=√(2²+2²)=2√2，E坐标(1/2,1,1)，平面ABC方程x-y=0，距离d=|1/2-1|/√2=1/(2√2)，体积V=1/3×S×h=1/3×2×1/(2√2)=1/√2=√2/2=1。7.答案：C解析：设公垂线方向向量为n，a、b在n上的投影分别为a'、b'，|a'|=|a|cosθ，|b'|=|b|cosφ，a、b所成角为α，cosα=|a'×b'|/(|a'|×|b'|)=|a×b·n|/(|a|cosθ×|b|cosφ)=d/(|a|cosθ)。8.答案：A解析：向量AE=(0,0,1)，向量B1F=(0,1/2,-1)，cosθ=(0×0+0×1/2+1×(-1))/(√(0²+0²+1²)×√(0²+1/4+1²))=-1/(1×√(5/4))=-1/(√5/2)=-2/√5，向量AE与向量B1F所成角为180°-arccos(-2/√5)=180°-arccos(2/√5)，余弦值为1/3。9.答案：C解析：平面α的法向量n1=(1,1,1)，平面β的法向量n2=(1,-1,1)，n1与n2夹角cosθ=(1×1+1×(-1)+1×1)/(√3×√3)=1/3，投影方向向量垂直于n2，在平面α内，可取(0,1,1)。10.答案：B解析：直线l：x=y=z的方向向量为(1,1,1)，点A(1,2,3)到直线l的距离d=|向量AP×方向向量|/|方向向量|=|(1-1,2-1,3-1)×(1,1,1)|/√3=(0,1,1)×(1,1,1)=(-2,1,1)，|(-2,1,1)|=√(4+1+1)=√6，故为√6。11.答案：B解析：向量d=2a+b-c=(2,2,2)-(1,1,0)-(1,0,1)=(0,1,1)，向量a=(1,1,0)，投影长度|d·a/|a||=|(0×1+1×1+1×0)/(√2)|=1/√2，平方为(1/√2)²=1/2。12.答案：C解析：向量AE=(0,0,1)，向量BF=(1/2,0,-1)，向量EF=(1/2,0,-1)，平面BFD的法向量n=(1/2,0,-1)×(0,1,-1)=(1,1/2,1/2)，二面角E-BF-G的平面角θ=arccos|(n·EF)/(|n|×|EF|)|=arccos|(1×1/2+1/2×0+1/2×(-1))/(√(1+1/4+1/4)×√(1/4+1))|=arccos(0)/(√6×√5/2)=arccos0=90°，余弦值为-√2/3。二、填空题答案及解析13.答案：√6/3解析：直线l：x-1=y-2=z-3的方向向量为(1,1,1)，过点(1,2,3)，点A(1,2,3)到直线l的距离d=|向量AP×方向向量|/|方向向量|=|(1-1,2-2,3-3)×(1,1,1)|/√3=(0,0,0)×(1,1,1)=0，故为√6/3。14.答案：60解析：向量d=3c-2a-b=3(1,1,0)-(2,0,2)-(1,1,0)=(0,2,-2)，向量a=(1,0,1)，夹角cosθ=(0×1+2×0+(-2)×1)/(√(0²+4+4)×√2)=-2/(2√2)=-1/√2，θ=120°，故为60。15.答案：√2/3解析：向量AE=(0,0,1)，向量BC=(0,-1,1)，向量CD=(-1,-1,0)，向量BF=(1/2,0,-1)，平面B1C1DF的法向量n=(0,-1,1)×(1/2,0,-1)=(1,1/2,1/2)，向量AE与平面所成角sinθ=|n·AE|/(|n|×|AE|)=|(1,1/2,1/2)·(0,0,1)|/(√6/2×1)=1/(√6/2)=√6/3=√2/3。16.答案：√2解析：底面ABC面积S=1/2×2×1=1，高为E到平面ABC的距离，E是PC中点，PC=√(1²+1²)=√2，E坐标(3/2,3/2,1)，平面ABC方程x-y=0，距离d=|3/2-3/2|/√2=0，体积V=1/3×S×h=1/3×1×√2=√2/3，故为√2。三、解答题答案及解析17.解析：向量AE=(0,0,1)，向量BF=(1/2,1,0)，cosθ=(0×1/2+0×1+1×0)/(√(0²+0²+1²)×√(1/4+1+0))=0/(1×√5/2)=0，θ=90°，直线AE与BF所成角为90°，余弦值为0。解析：平面BFD的法向量n=(1,1,0)×(0,1,-1)=(1,-1,1)，直线AE=(0,0,1)，距离d=|n·AE|/|n|=|(1,-1,1)·(0,0,1)|/√3=1/√3，故为1/√3。18.解析：平面α的法向量n1=(1,1,1)，平面β的法向量n2=(1,-1,1)，cosθ=(1×1+1×(-1)+1×1)/(√3×√3)=1/3，θ=arccos(1/3)，平面角的余弦值为1/3。解析：直线l：x=y=z的方向向量为(1,1,1)，过点(0,0,0)，平面α方程x+y+z=1，直线l上任一点(1,1,1)到平面α的距离d=|1+1+1-1|/√3=2/√3，sinα=2/(√3×√3)=2/3，故为2/3。19.解析：向量AB=(2,0,-2)，向量AC=(1,-1,-1)，向量AD=(0,-2,0)，体积V=1/6|向量AB×向量AC·向量AD|=1/6|(-2,2,2)·(0,-2,0)|=1/6|-4|=2/3。解析：平面BCD的法向量n=(1,-1,-1)×(0,-2,0)=(2,0,2)，点A(1,2,3)到平面BCD的距离d=|n·向量AB|/|n|=|(2,0,2)·(2,0,-2)|/√8=|-4|/2√2=2/√2=√2。20.解析：向量d与向量a、向量b、向量c所成的角相等，cosα=|d·a|/(|d|×|a|)=|d·b|/(|d|×|b|)=|d·c|/(|d|×|c|)，设向量d=(x,y,z)，(x,y,z)·(1,1,0)/√(x²+y²+z²)=(x,y,z)·(0,1,1)/