人教版九年级上册数学全册教案

第第页PAGE人教版九年级上册数学全册教案第二十一章一元二次方程主题一元二次方程课型新授课上课时间教学内容21.1一元二次方程；21.2解一元二次方程：21.2.1配方法；21.2.2公式法；21.2.3因式分解法；*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系；21.3实际问题与一元二次方程。教材分析一元二次方程是在一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是本册书的重点内容。教学目标1.知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；熟练掌握应用以上知识解决问题。2.过程与方法（1）通过实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型，给出一元二次方程的概念。（2）结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。（3）通过掌握直接开平方法，导入配方法解一元二次方程，又通过练习巩固配方法。(4）通过配方法导出解一元二次方程的求根公式，讨论求根公式的条件：b2-4ac>0,=0,<0.（5）通过复习因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它。（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题。3.情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效数学模型；经历解一元二次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣。教学重难点重点：1.一元二次方程及其他有关的概念。2.用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法“降次”——解一元二次方程。3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题。难点：1.一元二次方程配方法解题。2.用公式法解一元二次方程时的讨论。3.建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别。知识结构课题21.1一元二次方程课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的。（2）掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式。（3）理解一元二次方程的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根。2.过程与方法（1）通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活。（2）通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式。（3）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念。3.情感、态度与价值观通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。教学重难点重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。教学活动设计二次设计课堂导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？探索新知合作探究探究课本问题2分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？整理所列方程后观察：（1）方程中未知数的个数和次数各是多少？（2）下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0;x2+2x-4=0;x2+y-4=0;x2-75x+350=0;+2x-6=0概念归纳：1.一元二次方程定义：分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式：分析：（1）为什么规定a≠0?（2）方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程ax2-bx-c=0(a≠0）的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：ax2+bx=0(a≠0);ax2+c=0(a≠0);ax2=0(a≠0).续表探索新知合作探究课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程化为一般形式后，其中的“－”是性质符号负号，不是运算符号减号。一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念。2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)x2-64=0;(2)x2+1=0;(3)x2-3x=0;(4)x2+2x+1=0.4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程x2-x=56的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？归纳：1.一元二次方程根的情况。2.一元二次方程的解要满足实际问题。当堂训练1.课本练习2.补充：（1）在下列方程中，一元二次方程的个数是（）①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2-=0(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个(2）关于x的方程（a-1)x2+3x=0是一元二次方程，则a范围为.(3）已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为.归纳小结1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数。2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根。板书设计21.1一元二次方程教学反思课题21.2.1配方法课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1）使学生知道形如x2=a(a≥0）的一元二次方程可以用直接开平方法求解。（2）使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方。（3）使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。2.过程与方法在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法。3.情感、态度与价值观使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值。教学重难点重点：使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。难点：探究（x-m)2=a的解的情况，培养分类讨论的意识。教学活动设计二次设计课堂导入一个正方形花坛的面积为8，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？探索新知合作探究上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1)2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2,即2t+1=2,2t+1=-2，方程的两根为t1=-,t2=--.【例1】解方程x2+4x+4=1.【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率。当堂训练1.方程3x2+9=0的根为（)(A)3 (B)-3 (C)±3 (D）无实数根2.若8x2-16=0，则x的值是.3.如果a,b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是.归纳小结本节课应掌握：应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)，那么x=±，应用直接开平方法解形如（mx+n)2=p(p≥0)，那么mx+n=±，达到降次转化之目的。板书设计第1课时直接开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程：(1）一元二次方程x2=p(p≥0)(2)(mx+n)2=p(p≥0)教学反思课题21.2.1配方法课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能理解配方法，会对一元二次方程进行配方。2.过程与方法（1）通过自主学习，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程。（2）发现不同方程的转化方式，用已有的知识来解决问题。3.情感、态度与价值观通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习习惯，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。教学重难点重点：用配方法解数字系数的一般一元二次方程。难点：配方的过程。教学活动设计二次设计课堂导入1.比一比，谁做的快？用直接开平方法解下列一元二次方程。(1)2x2=8;(2)(x+3)2-25=0;(3)9x2+6x+1=4.2.你能解这个方程吗？x2+6x+4=0探索新知合作探究自学指导1.完全平方公式你还记得吗？2.试一试，将下列各式进行配方。3.试比较上面式子，二次项的系数有什么共同点？等号左边，一次项的系数和常数项，发现它们有什么关系？4.x2+6x+4=0①(x+3)2=5②方程①能转化为方程②吗？如何转化？每一步的依据是什么？5.自学课本P7，框图表示解方程的过程。学生看书，教师巡视，老师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。合作探究1.讨论：小组讨论自学指导中出现疑问的地方。2.组织学生探究用配方法解一元二次方程的步骤。3.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n)2=p的形式，当p>0时，方程有几个根？分别是什么？当p<0时呢？当p=0时呢？续表当堂训练1.用配方法解x2-4x=5的过程中，配方正确的是（)(A)(x+2)2=1 (B)(x-2)2=1(C)(x+2)2=9 (D)(x-2)2=92.4x2-20x+m2是一个完全平方式，则m=.3.用配方法解方程：(1)x2-8x-9=0;(2)5x2+2x-5=0.归纳小结1.易错点（1）移项不变号。（2）只在方程的一边加上一次项系数一半的平方，而另一边漏加。（3）二次项系数没有化成1，直接加一次项系数一半的平方。2.归纳小结（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程。（2）配方法的关键步骤：当一元二次方程的二次项的系数为1时，方程两边同时加一次项的系数的一半的平方。（3）配方法的步骤：二次项系数化为1、移项、配方、开方，定解。3.方法规律(1）对于系数是1的一元二次方程，直接把方程转化为（x+n)2=p的形式，当p≥0时，两边开平方便可达到降次求解的目的。（2）对于系数不是1的一元二次方程，先把它转化为二次项系数为1的类型，然后配成完全平方的形式，再开方。板书设计第2课时配方法1.配方法的概念2.配方法的关键3.配方法的步骤教学反思课题21.2.2公式法课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程。（2）会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。（3）理解一元二次方程根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。2.过程与方法（1）经历探索求根公式的过程提升学生合情合理的推理能力。（2）提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯。3.情感、态度与价值观（1）通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。（2）学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。教学重难点重点：求根公式的推导和公式法的应用。难点：求根公式的推导和判别式的运用。教学活动设计二次设计课堂导入（学生活动）用配方法解下列方程.(1)6x2-7x+1=0;(2)4x2-3x=52.（老师点评）总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）.（1）移项；（2）化二次项系数为1;（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；(4）原方程变形为（x+m)2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解。探索新知合作探究对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学们独立完成下面这个问题。问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0）且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1=,x2=.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此：(1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子x=就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。（2）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。续表探索新知合作探究(3）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等实数根即x1=,x2=;当b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根即x1=x2=;当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）没有实数根。当堂训练用公式法解下列方程.(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2;(3)(x-2)(3x-5)=0;(4)4x2-3x+1=0.归纳小结1.易错点（1）注意化简方程为一般形式；（2）确定a,b,c的值时，应包括它的符号；（3）注意：一元二次方程若有根则必有两个；（4）求出的根应适当化简。2.用公式法解一元二次方程的步骤（1）整理：化为一般形式；（2）确定系数：准确写出各式系数；（3）计算：求出b2-4ac的值，确定方程根的情况；（4）代入：把有关数字代入求根公式；（5）定根：写出原方程的根。板书设计21.2.2公式法1.一元二次方程根的判别式2.求根公式3.例题教学反思课题21.2.3因式分解法课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能掌握用因式分解法解一元二次方程。2.过程与方法通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。3.情感、态度与价值观体会解决问题方法的多样性，体会数学逻辑推理的严密性。教学重难点重点：用因式分解法解一元二次方程。难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。教学活动设计二次设计课堂导入（学生活动）解下列方程.(1)2x2+x=0（用配方法）;(2)3x2+6x=0（用公式法）.老师点评：(1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为,的一半应为，因此，应加上2，同时减去2.（2）直接用公式求解。探索新知合作探究（老师提问）(1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解：2x2+x=x(2x+1),3x2+6x=3x(x+2).因此，上面两个方程可以写成：(1)x(2x+1)=0;(2)3x(x+2)=0.因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1)x=0或2x+1=0，所以x1=0,x2=-.(2)3x=0或x+2=0，所以x1=0,x2=-2.因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。【例1】解方程：(1)4x2=11x;(2)(x-2)2=2x-4.【例2】已知9a2-4b2=0，求代数式--的值。续表当堂训练用因式分解法解下列方程(1)(x-3)2-2x+6=0;(2)4(x-3)2-25x2=0;(3)(x+1)2-8(x+1)+16=0.归纳小结本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用。（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次。②公式法是由配方法推导而得到。③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程。区别：①配方法要先配方，再开方求根。②公式法直接利用公式求根。③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.板书设计21.2.3因式分解法教学反思课题21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。2.过程与方法通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3.情感、态度与价值观通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系。难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述。教学活动设计二次设计课堂导入一般地，对于关于x的方程x2+px+q=0(p,q为已知常数，p2-4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1,x2，算一算x1+x2,x1·x2的值，你能得出什么结果？探索新知合作探究问题1：在方程ax2+bx+c=0(a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a,b,c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有没有其他关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。问题2：解下列方程并填写下表：(1)x2-5x+6=0;(2)2x2+5x+3=0;(3)3x2-2x-8=0.填写下表一元二次方程x1x2x1+x2x1x2x2-5x+6=02x2+5x+3=03x2-2x-8=0请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题3：请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根x1,x2与a,b,c之间的关系：、.问题4：你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根为x1=,x2=，则x1+x2=;x1x2=.续表当堂训练1.试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1,x2,k是常数）(1)2x2-3x+1=0,x1+x2=;x1x2=;(2)3x2+5x=0,x1+x2=;x1x2=;(3)-4x2+x+2=0,x1+x2=;x1x2=;(4)5x2+kx-6=0,x1+x2=;x1x2=.2.已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。3.利用根与系数的关系，求一元二次方程3x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和；(2）倒数和。归纳小结1.易错点（1）代入公式前，先确定a,b,c的符号；（2）代入公式时，注意系数前的符号；（3）应用根与系数的关系前，确保一元二次方程有实根。2.常见的与两根有关的代数式变形(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(3)+=.板书设计*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学反思课题21.3实际问题与一元二次方程课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；（2）以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用。2.过程与方法通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确建立一元二次方程。3.情感、态度与价值观在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值。教学重难点重点：建立数学模型，找等量关系，列方程。难点：找等量关系，列方程。教学活动设计二次设计课堂导入某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？探索新知合作探究一、课本19页探究1分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人。这里的一轮指一个传染周期。②第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？③第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？④本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考。四轮呢？归纳：本题以流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，特别需要注意的是，在实际生活中，类似问题很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循。二、课本20页探究3分析：①正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？②上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？③若设正中央的长方形的长和宽分别为9acm,7acm，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？续表探索新知合作探究④“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比，设上下边衬宽与左右边衬宽。还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9∶7，设正中央的长方形的长为9xcm，宽为7xcm.尝试列出方程.⑤方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义。当堂训练1.从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）(A)8cm (B)64cm(C)8cm2 (D)64cm22.如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为.3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少？归纳小结1.在实际生活中有许多类似几何图形的问题，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决。2.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程。板书设计第1课时传播类、面积类问题1.传播问题2.面积类问题教学反思课题21.3实际问题与一元二次方程课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。2.过程与方法（1）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能用一元二次方程对之进行描述。（2）体验解决问题的多样性，发展实践应用意识。3.情感、态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。教学重难点重点：列一元二次方程解实际问题。难点：发现问题中的等量关系。教学活动设计二次设计课堂导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？探索新知合作探究（学生活动）请同学们独立完成下面的题目。问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？老师点评：总利润=每件平均利润×总件数。设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是500+×100经分析一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100张，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元？如果本题中有两种贺年卡或者两种其他东西，量与量之间又有怎样的关系呢？即绝对量与相对量之间的关系。【例1】某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张。如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大。续表探索新知合作探究（学生活动）【例2】两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000)÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600)÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大。相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题。当堂训练新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少？归纳小结1.平均变化率：若增长（或降低）前的数量为a，以后每次的平均增长（或降低）率为x，则第二次增长（或降低）后的数量为a(1+x)2（或a(1-x)2).2.销售问题：总利润=每个利润×销售量。板书设计第2课时平均增长率、销售类问题教学反思第二十二章二次函数主题二次函数课型新授课上课时间教学内容22.1二次函数的图象和性质：22.1.1二次函数；22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质；22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质；22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质；22.2二次函数与一元二次方程；22.3实际问题与二次函数。教材分析二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的。教学目标1.知识与技能（1）正确理解二次函数的概念，了解函数产生的背景，在原有的函数知识的基础上学习和掌握二次函数的概念和性质，能利用二次函数刻画事物的变化规律。（2）理解二次函数的意义，掌握二次函数的概念、图象和性质，知道二次函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。（3）理解一元二次方程与二次函数之间的关系，会利用函数图象求一些简单二次方程的近似解，了解二次函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会用二次函数知识分析问题，解决问题，使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具。2.过程与方法（1）培养学生的理性思维能力，辩证思维能力，分析问题和解决问题的能力，创新意识与探究能力，数学建模能力以及数学交流能力。（2）通过现代信息技术的合理应用，教师在教学中适度地使用信息技术描绘函数图象，动态地变换函数图象，让学生体会到信息技术是认识世界的有效手段和工具。3.情感、态度与价值观要使学生体验数学的文化价值，使学生感受数学美，培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观。教学重难点重点：1.理解和掌握二次函数的图象与性质。2.会画二次函数图象，会观察函数图象。3.借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。难点：体会二次函数学习过程中所蕴涵的数学思想方法，函数图象的特征和变换以及二次函数性质的灵活应用。知识结构课题22.1.1二次函数课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题。2.过程与方法经历探索具体问题中变量间的关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界有效的数学模型。3.情感、态度与价值观体会数学与生活的联系，锻炼学生的理性思维，体会通过探究学习新知识的乐趣。教学重难点重点：理解二次函数的有关概念，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题。难点：将简单的实际问题转化为二次函数的模型。教学活动设计二次设计课堂导入正方体的六个面是全等的正方形，设棱长为x，表面积为y。如果改变棱长x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间有什么关系？教师引导学生思考问题，列出方程.导入新课的教学。探索新知合作探究显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为y=6x2.问题1:n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什么关系？问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？思考：函数y=6x2,m=n2-n,y=20x2+40x+40有什么共同特点？在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的。一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。当堂训练1.（口答）下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=5x+1(2)y=4x2-1(3)y=2x3-3x2(4)y=5x4-3x+12.课本P29练习第1,2题。归纳小结1.叙述二次函数的定义。2.联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。板书设计22.1.1二次函数教学反思课题22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质。2.过程与方法使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。3.情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感。教学重难点重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。教学活动设计二次设计课堂导入1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？（先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质）2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？（可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象）3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？探索新知合作探究一、举例【例题】画二次函数y=ax2的图象。提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？让学生观察、思考、讨论、交流，归结为它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点。抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。二、探究规律1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？2.在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？3.将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是（0,0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是（0,0）.续表探索新知合作探究三、归纳、概括函数y=x2,y=-x2,y=2x2,y=-2x2是函数y=ax2的特例，由它们图象的共同特点，可猜想：函数y=ax2的图象是一条，它关于对称，它的顶点坐标是.如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么？先让学生观察图，回答以下问题；(1)xA,xB大小关系如何？是否都小于0?(2)yA,yB大小关系如何？(3)xC,xD大小关系如何？是否都大于0?(4)yC,yD大小关系如何？(xA<xB，且xA<0,xB<0;yA>yB;xC<xD，且xC>0,xD>0,yC<yD)其次，让学生填空。当x<0时，函数值y随着x的增大而，当x>0时，函数值y随x的增大而；当x=时，函数值y=ax2(a>0）取得最小值，最小值y=以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。思考以下问题：观察函数y=-x2,y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<0时，抛物线y=ax2有些什么特点？它反映了当a<0时，函数y=ax2具有哪些性质？让学生讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线y=ax2开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<0时，函数y=ax2的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；当x>0时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y=ax2取得最大值，最大值是y=0.当堂训练P32练习归纳小结1.画函数y=ax2的图象的步骤。2.函数y=ax2的性质。板书设计22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质教学反思课题22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1）会用描点法画出y=ax2+k的图象。(2）掌握形如y=ax2+k的二次函数图象的性质，并会应用。(3）理解二次函数y=ax2+k与y=ax2之间的联系。2.过程与方法通过画二次函数y=ax2+k的图象，探索二次函数y=ax2+k图象的性质，培养观察能力，体会用数形结合的方式思考问题。3.情感、态度与价值观在学习中学会主动参与、积极思维，并获得成功的体验，锻炼克服困难的意志。教学重难点重点：正确理解二次函数y=ax2+k的图象及其性质。难点：通过对二次函数y=ax2+k图象的观察，发现二次函数y=ax2+k图象的性质。教学活动设计二次设计课堂导入1.二次函数y=2x2的图象是，它的开口向，顶点坐标是；对称轴是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，函数y=ax2当x=时，取最值，其最值是.2.二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？探索新知合作探究问题1：对于上面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？（画出函数y=2x2和函数y=2x2+1的图象，并加以比较）问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗？探究要点1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y=2x2的图象。2.教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y=2x2+1的对应值表，并让学生画出函数y=2x2+1的图象。3.教师写出解题过程，同学们画图象进行比较。问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？教师引导学生，当x依次取-3,-2,-1,0,1,2,3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y=2x2+1的函数值都比函数y=2x2的函数值大1.续表探索新知合作探究教师引导学生观察函数y=2x2+1和y=2x2的图象，先研究点（-1,2）和点（-1,3)点（0,0）和点（0,1)点（1,2）和点（1,3）位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y=2x2+1的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。问题4：函数y=2x2+1和y=2x2的图象有什么联系？由问题3的探索，可以得到结论：函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的。问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y=2x2的图象的顶点坐标是（0,0)，而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是（0,1).问题6：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2x2+1的一些性质吗？当堂训练1.先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？2.在同一直角坐标系中，函数y=-x2+2图象与函数y=-x2的图象有什么关系？3.你能说出函数y=-x2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数图象有哪些性质？归纳小结1.在同一直角坐标系中，函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象的关系。2.函数y=ax2+k的性质。板书设计第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质教学反思课题22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1）会用描点法画出y=a(x-h)2的图象。(2）掌握形如y=a(x-h)2的二次函数图象的性质，并会应用。(3）理解二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的联系。2.过程与方法让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用的学习过程，让学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。3.情感、态度与价值观在教学中渗透美的教育（对称美），渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中体验成功的喜悦。教学重难点重点：会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象，理解二次函数y=a(x-h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。难点：理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系。教学活动设计二次设计课堂导入1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=-x2,y=-x2-1的图象，并回答：（1）两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。（2）说出它们所具有的公共性质。2.你能说出二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标吗？这两个函数的图象之间有什么关系？3.引出课题：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质。探索新知合作探究画出二次函数y=-(x+1)2,y=-(x-1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性。先列表：x…-4-3-2-101234…y=-(x+1)2……y=-(x-1)2……描点并画图。续表探索新知合作探究1.观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y=-(x+1)2y=-(x-1)22.请在图上把抛物线y=-x2也画上去（草图）.①抛物线y=-(x+1)2,y=-x2,y=-(x-1)2的形状大小.②把抛物线y=-x2向左平移个单位，就得到抛物线y=;把抛物线y=-x2向右平移个单位，就得到抛物线y=-(x-1)2.当堂训练1.抛物线y=2(x+3)2的开口；顶点坐标为；对称轴是；当x>-3时，y；当x=-3时，y有值是.2.抛物线y=m(x+n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y=-4(x-4)2，则m=,n=.3.若将抛物线y=2x2+1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为.归纳小结1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x-h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区别？2.你能说出函数y=a(x-h)2图象的性质吗？板书设计第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质教学反思课题22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能(1）会用描点法画出y=a(x-h)2+k的图象。(2）掌握形如y=a(x-h)2+k的二次函数图象的性质，并会应用。(3）理解二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的联系。2.过程与方法通过自主探索、观察、讨论、分析的过程，探究函数y=a(x-h)2+k的图象和性质。3.情感、态度与价值观向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点；通过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，渗透二次函数的图象可互相转化的和谐的数学美。教学重难点重点：掌握二次函数y=a(x-h)2+k(h≠0,k≠0）图象的作法和性质。难点：二次函数y=ax2的图象向二次函数y=a(x-h)2+k(h≠0,k≠0）的图象的转化过程。教学活动设计二次设计课堂导入1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？（函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的）2.函数y=2(x-1)2的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？（函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的）3.函数y=2(x-1)2+1的图象与函数y=2(x-1)2的图象有什么关系？函数y=2(x-1)2+1有哪些性质？探索新知合作探究一、试一试你能填写下表吗？y=2x2向右平移1个单位的图象y=2(x-1)2向上平移1个单位的图象y=2(x-1)2+1的图象开口方向对称轴顶点问题1：从上表中，你能分别找到函数y=2(x-1)2+1与函数y=2(x-1)2,y=2x2图象的关系吗？问题2：你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质？对于问题1和问题2，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平移1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。当x<1时，函数值y随x的增大而减小，当x>1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1.续表探索新知合作探究二、做一做问题3：在坐标系中，你能再画出函数y=2(x-1)2-2的图象，并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较吗？教学要点1.在学生画函数图象时，教师巡视指导；2.对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。问题4：你能说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？（函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移1个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是（1,2))当堂训练1.已知函数y=6x2,y=6(x-3)2+3和y=6(x+3)2-3.（1）在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；（2）分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3）试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=6x2得到抛物线y=6(x-3)2+3和抛物线y=6(x+3)2-3;(4）试讨论函数y=6(x+3)2-3的性质。2.不画图象，直接说出函数y=-2x2-5x+7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。3.函数y=2(x-h)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？归纳小结1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？2.谈谈你的学习体会。板书设计第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质教学反思课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1）会画二次函数y=ax2+bx+c的图象。(2）熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴公式。(3）用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴。2.过程与方法对二次函数的研究，是从简单到复杂的过程，发展学生的推理能力，会用二次函数的对称轴，顶点坐标，解决一些简单的问题。3.情感、态度与价值观学习过程中，既训练了学生的抽象能力，语言表达能力，又培养了学生的合作意识，运用数学知识解决问题的能力。教学重难点重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。难点：理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的性质以及它的对称轴。教学活动设计二次设计课堂导入1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系？3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质？4.不画出图象，你能直接说出函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？5.你能画出函数y=x2-6x+21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？探索新知合作探究一、由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象，进而观察得到这个函数的性质。让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数的性质。当x<6时，函数值y随x的增大而减小；当x>6时，函数值y随x的增大而增大；当x=6时，函数取得最小值，最小值y=3.续表探索新知合作探究二、做一做1.请你按照上面的方法，画出函数y=2x2+20x的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗？教学要点：（1）在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；（2）请一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。2.通过配方变形，说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？教学要点：（1）在学生做题时，教师巡视、指导；(2）让学生总结配方的方法；（3）让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识。当堂训练1.(1）抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是;(2）抛物线y=2x2-2x-1的开口，对称轴是;(3）抛物线y=-2x2-4x+8的开口，顶点坐标是;(4）抛物线y=-x2+2x+4的对称轴是;(5）二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=.2.画出函数y=2x2-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y=3x2+2x;(2)y=-x2-2x;(3)y=x2-4x+3.4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0）的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。归纳小结通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？板书设计第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学反思课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；（2）能灵活地根据条件恰当地选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化。2.过程与方法通过观察、讨论等手段，在活动中自主探究用待定系数法求二次函数解析式。3.情感、态度与价值观通过小组协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。教学重难点重点：用待定系数法求二次函数解析式。难点：根据不同的条件选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数解析式。教学活动设计二次设计课堂导入用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：（1）确定一次函数的解析式；(2）列方程组求待定系数；(3）将所求系数值代回原函数解析式。学生活动：学生总结用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤。探索新知合作探究二次函数解析式有三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c;（其中a≠0,a,b,c为常数）②顶点式：y=a(x-h)2+k;（其中a≠0,a,h,k为常数）③交点式：y=a(x-x1)(x-x2);（其中a≠0,a,x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）学生活动：教师通过多媒体展示问题，学生思考后回答。【例题】已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).（1）求抛物线的表达式；（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为-2，求△AOD的面积。当堂训练根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。（1）已知抛物线的顶点是（-1,-2），且过点（1,10）;（2）已知抛物线过三点：(0,-2),(1,0),(2,3).归纳小结用待定系数法求二次函数解析式的一般方法：1.已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式；2.已知图象的顶点坐标或对称轴和最值，通常选择顶点式；3.已知抛物线与x轴的交点，通常选用交点式。板书设计第2课时用待定系数法求二次函数的解析式1.一般式3.交点式2.顶点式4.当堂训练教学反思课题22.2二次函数与一元二次方程课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系。（2）能运用二次函数及其图象确定方程（或不等式）的解（或解集）.2.过程与方法使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。3.情感、态度与价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。教学重难点重点：使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法求一元二次方程的解。难点：探究（x-m)2=a的解的情况，培养分类讨论的意识。教学活动设计二次设计课堂导入在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下问题。探索新知合作探究问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t—5t2.考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3。求自变量x的值。可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0)。反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0.问题的讨论二次函数①y=x2+x-2;②y=x2-6x+9;③y=x2-x+1以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？续表探索新知合作探究先画出以上二次函数的图象（如图所示），由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可以看出：(1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.(2）抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x=3时，函数的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.(3）抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。当堂训练利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（精确到0.1).归纳小结一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，(1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。板书设计22.2二次函数与一元二次方程教学反思课题22.3实际问题与二次函数课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。2.过程与方法通过对生活中实际问题的研究，体会数学建模的思想。通过对“矩形面积”和“销售利润”的学习和探究，渗透转化及分类的数学思想方法。3.情感、态度与价值观通过“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣。教学重难点重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题。教学活动设计二次设计课堂导入1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y=6x2+12x;(2)y=-4x2+8x-10.2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？3.在实际问题中你是否会解决最值问题？探索新知合作探究活动1：教材第49页“问题”从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教学活动：1.画出二次函数h=30t-5t2(0≤t≤6）的草图，完成相应的问题。2.通过图象实际看的是函数的顶点坐标。3.不用画图，用计算的方法如何求出顶点坐标。4.学生交流探讨，写出演算过程，教师巡视指导。利用我们得出的结论解决下面实际生活中的面积和利润问题。活动2：教材第49页“探究1”面积问题：探究1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化。当l为多少米时，场地的面积S最大？教学活动：教师引导学生分析与矩形面积有关的量，教师深入小组参与讨论。在活动中，教师应重点关注：(1）学生是否能用l的代数式表示出另一条边长，准确地建立函数关系；(2）学生是否能探究出自变量的取值范围。续表探索新知合作探究活动3：教材第50页，“探究2”利润问题探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大。教师展示问题：(1）该如何定价呢？（2）问题中的变量是什么？提示：(1）学生分组讨论如何利用函数模型解决问题；(2）利润随价格的变化而变化。师生共同分析下面的问题：(1）销售额为多少？（2）进货额为多少？（3）利润y与每件涨价x元的函数关系是什么？（4）利润y与每件降价x元的函数关系是什么？当堂训练某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售。市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件。已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？归纳小结1.面积类问题如图所示的矩形ABCD长为a，宽为b，四周一样宽为x，则阴影部分的面积可表示为（a-2x）(b-2x).2.利润类问题(1）利润=售价-进价；(2）总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出。板书设计第1课时实际问题与二次函数（1）最值问题（1）面积最值问题（2）利润最值问题教学反思课题22.3实际问题与二次函数课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）通过图形之间的关系列出函数解析式。（2）用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题。2.过程与方法通过创设合理情景，引导学生恰当建立平面直角坐标系，灵活地将实际问题转化为二次函数问题解答。3.情感、态度与价值观通过本节课的教学，使学生能够正确面对困难，迎接挑战。教学重难点重点：建立平面直角坐标系解决有关抛物线型的实际问题。难点：实际问题中相关各量转化为找点坐标或求点坐标问题模型的建立。教学活动设计二次设计课堂导入喷出的水柱，投篮时篮球的运动路线，桥拱等，这些图形有什么共同特点？探索新知合作探究活动1：多媒体展示教材第51页探究3:探究3：抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？师生活动：学生自主探究，合作交流，经历构建平面直角坐标系解决抛物线型实际问题的过程。问题1：从题目本身的哪些条件，你能联想到用二次函数解决问题？（形状）问题2：求水面宽度增加多少，就是求解什么数学问题？（线段长的的关系）在明确上述两个问题后，让学生尝试着建立平面直角坐标系，并求出这条抛物线表示的函数关系式。师生活动：学生先独立思考，再在小组内交流，教师巡视，适时点拨，最后以小组汇报形式班内交流。有三种建立直角坐标系的常用方法：1.以水面所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。2.以最下端水面所在直线为x轴，以CD的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。3.以拱桥顶端水平线所在直线为x轴，以垂直该线的直线为y轴建立直角坐标系。学生建立不同的坐标系，得到不同的解析式，类比总结：三个解析式间的关系，指出恰当的建立坐标系可以使解答简便。续表探索新知合作探究4.总结解有关抛物线型实际问题的一般思路：（1）根据题意建立适当的直角坐标系。（2）把已知条件转化为坐标系中点的坐标。（3）用待定系数法求抛物线的解析式。（4）利用二次函数解析式结合图象解决问题。活动2：变式练习要修建一个圆形水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离地中心3m.（1）求抛物线解析式；（2）水管应多长？当堂训练如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案。按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0）表示。已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m,m.（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案？归纳小结通过本节的学习，你有哪些收获？在解决问题的过程中，我们应该注意什么问题？板书设计第2课时实际问题与二次函数（2）1.拱桥问题例题讲解2.解决抛物线型问题的解题思路（1）根据题意建立适当的直角坐标系（2）把已知条件转化为坐标系中点的坐标（3）用待定系数法求抛物线的解析式（4）利用二次函数解析式结合图象解决问题教学反思第二十三章旋转主题旋转课型新授课上课时间教学内容23.1图形的旋转；23.2中心对称：23.2.1中心对称；23.2.2中心对称图形；23.2.3关于原点对称的点的坐标。教材分析本章学习第三种图形变换——旋转。此前，学生已经学习了平移与轴对称两种图形变换。第一节引出旋转的概念，然后按要求做出简单平面图形旋转后的图形的例题，最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容。第二节有三部分内容，中心对称的概念、性质和有关作图；首先通过具体例子给出中心对称的概念，然后探究中心对称的性质，最后说明作已知图形中心对称的图形的方法。第三节是课题学习的内容，要求学生探索图形之间的变换关系，灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。了解图形中的变换关系有助于学生自己进行图案的设计。在设计图案的过程中，应关注学生构思、实施、合作交流等环节。教学目标1.知识与技能（1）了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质。（2）了解中心对称的概念并理解它的基本性质。（3）了解中心对称图形的概念。（4）掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。2.过程与方法让学生感受生活中的几何，通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题。3.情感、态度与价值观让学生经历观察、操作等过程培养运动几何的观点，增强审美意识。让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣。让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情。教学重难点重点：1.图形旋转的基本性质。2.中心对称的基本性质。3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系。难点：1.图形旋转的基本性质的归纳与运用。2.中心对称的基本性质的归纳与运用。知识结构课题23.1图形的旋转课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能（1）掌握旋转的概念，了解旋转中心、旋转角、旋转方向、对应点的概念及其应用。（2）掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题。2.过程与方法通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力。3.情感、态度与价值观经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感。教学重难点重点：图形的旋转的基本性质及其应用。难点：运用操作实验得出图形的旋转的三条基本性质。教学活动设计二次设计课堂导入出示问题：1.手工制作：制作一个小风车。2.欣赏日常生活中部分物体的旋转现象。学生制作后，结合日常生活中物体的旋转现象图片，思考：在这些运动中有哪些共同特征？本次活动中，教师应重点关注：（1）学生参与的全面性；（2）学生观察实例的角度；（3）学生活动后，试着描述出旋转的定义。3.观察：时钟上分针的运动。（动画演示）问题：时钟上分针的转动是绕哪一个点转动？沿着什么方向转动？从5分到15分转动了多少角度。学生在观察后，回答问题，然后教师讲解：把一个图形绕着某一个点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫旋转中心，转动的角叫旋转角。探索新知合作探究动手做一做：在一张半透明的薄纸与另一张纸片之间垫上一张复写纸，在薄纸上画△ABC，并在△ABC外面找一点O，再用一枚图钉在O处穿过。将薄纸绕点O旋转一个角度，再次把△ABC复印在纸片上，并记为△A'B'C'。在纸片上分别连接OA,OB,OC,OA',OB',OC'.问题：(1）根据所画的图形，用直尺量出OA与OA',OB与OB',OC与OC'的大小；用量角器量出∠AOA',∠BOB',∠COC'的度数，观察这三个角的大小，并指出旋转中心、旋转角。（2）说出其中的对应点、对应角和对应线段。（3）旋转后图形的形状和大小是否发生变化。学生在老师的指导下，动手操作，并动手完成老师交给的任务。学生交流讨论并归纳出旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连成的线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。续表探索新知合作探究举例应用【例题】如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。学生动手练习，教师及时展示学生练习结果，并给予点评。学生思考后，展示结果。本次活动中，教师应重点关注：（1）学生画出图形后，能否准确地运用旋转的基本性质表达出作图的理论依据。（2）学生作图的不同方法。当堂训练1.P61页练习2.图形：线段、角、圆、梯形、正方形、菱形中绕一定点转动一定角度（小于360°）能与原图形重合的图形有（）(A)2个 (B)3个(C)4个 (D)5个3.P62页练习归纳小结本节课你有什么收获？学生交流获得的知识和感受，教师聆听，并与学生交流。本次活动中，教师应重点关注：（1）学生概括的是否全