1.1 集合（精讲）（解析版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

集合（精讲）考向一元素的互异性【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【解析】因为所以或，当时，，此时，，故舍去：当时，解得或（舍去），综上．故选：B【例1-2】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（

）A．1或2 B．或0 C．1 D．【答案】C【解析】由题设，可得或，当时，，满足题设；当时，，不符合集合元素的互异性；所以.故选：C【一隅三反】1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（

）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【答案】C【解析】由元素和集合关系可知：或或，解的或或，由集合的性质可知，当时，不满足互异性，所以的取值为或.故选：C.2.（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则.【答案】【解析】在中，，则且，而，，显然，因此，解得，所以.故答案为：3.（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则．【答案】1【解析】由已知得，则，所以，于是，即或，又由集合中元素的互异性知应舍去，故，所以．故答案为：1.考向二无参集合间的关系【例2-1】（2024·福建福州）已知集合，则下列关系中，正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，对于A，因为，故选项A错误；对于B，是一个集合，且，故选项B错误；对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，故选：D.【例2-2】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合，则（

）A． B．C．⫋ D．⫋【答案】C【解析】由，显然为奇数，而，所以⫋.故选：C【一隅三反】1.（2024·广东·一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由集合，，得.故选：D2（浙江省金华市十校2025届高三下学期4月模拟考试数学试题）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.3.（23-24黑龙江大庆·开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由解得，由解得，所以，，所以，，，又，所以，故选：B考向三无参集合间的运算【例3-1】（2025·天津南开·一模）若集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题设，，则.故选：A【例3-2】（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于选项A：由，得4，所以，则，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：由于，故，故C正确；对于选项D：由于，故，故D错误故选：BC【一隅三反】1.（2024·辽宁·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，故选：B2（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知集合，且，则集合B可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，显然A中集合不合题意；B中集合为或，也不合题意，C中集合为，满足题意，D中集合为，不合题意.故选：C3.（24-25高三上·甘肃白银·期末）（多选）已知集合，，则（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由题易知，，所以，，所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确.故选：BCD.4.（2025海南）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因为，所以，故A错误；，故B正确；因为，所以，故C错误；，故D正确.故选：BD.考向四（真）子集的个数【例4-1】（2025·湖北武汉·一模）已知集合，，则的子集个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，则，则子集的个数为个，故选：B.【例4-2】（2025·河北沧州·一模）集合的真子集个数为（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】A【解析】不等式的解为，因为，所以，所以集合的真子集个数为.故选：A.【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）满足的集合A的个数为（

）A．3 B．7 C．8 D．15【答案】B【解析】由，整理可得，解得或，则，设，所以，可得.故选：B.【一隅三反】1.（24-25贵州黔西·阶段练习）已知集合，集合，则集合子集个数是（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】∵集合，集合，∴.∴集合子集个数是.故选：B.2（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知集合，则集合A的子集个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】由，得或，解得或空集，又，所以，则集合A的子集个数为.故选：C3.（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有个.【答案】7【解析】由⫋，则集合中一定有元素，且至少含有其中一个元素，则这样的集合共有个.故答案为：7.考向五集合中求参数【例5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】C【解析】因为集合，，，所以，所以或，若，则，此时，满足题意；若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去．综上，．故选：C．【例5-2】（2025·河南·三模）设集合，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，又，所以当时，可得.故选：C.【例5-3】（2025·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】有或，所以，，由有，所以，即.故选：A.【例5-4】（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又，所以，得.故选：C.【一隅三反】1．（2024·四川绵阳·一模）集合，，且，实数的值为（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【解析】由集合，且，又由，可得，当时，此时集合，满足；当时，可得，要使得，则满足或，解得或，综上可得，实数的值为或或.故选：D.2.（2025·江西赣州·一模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解集合，解集合，因为，所以，故选：B.3（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，且满足，，所以当时满足，此时，解得，当时，则有，解得,综上，，即实数的取值范围为．故选：A．4．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以是方程的根，则，解得，故，合乎题意，故.故选：C5（2025·河北衡水·三模）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若，则【答案】ABC【解析】由已知得：，令A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；B：若，则，解得，正确；C：当时，，解得或，正确；D：当时，有，所以，错误；故选：ABC.考向六韦恩图及其应用【例6-1】（2025·吉林·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，，而阴影部分表示的集合是，则图中阴影部分表示的集合是，故B正确.故选：B【例6-2】（24-25重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为.故选：C【例6-3】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（

）A．700 B．800 C．900 D．1000【答案】C【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为，则楼下食堂用午餐的学生数大约为，原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即，从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即，所以，解得.所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为.故选：C【一隅三反】1.（2025北京）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（

）A． B．或C． D．【答案】A【解析】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，所以集合表示为.故选：A.2.（2025·湖南）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项BC不正确.故选：AD.3.（2025辽宁）（多选）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（

）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22【答案】BCD【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.故选：BCD．考向七函数集合【例7】（2025·陕西咸阳·二模）已知集合，，则下列关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数，可得，解得，所以，又由，解得或，所以或，则，，且，，故选：D.【一隅三反】1（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】有意义，即有，解得，故，则或}.∵，∴.故选：B2.（2025高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，，得，，所以．故选：C．3.．（24-25重庆）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由可得得，故,A错误，,B正确，，C正确，，D正确，故选：BCD考向八点集合【例8-1】（2025甘肃兰州·开学考试）已知集合，则集合的元素个数为.【答案】1【解析】集合，把代入，得，，集合中元素的个数为1.故答案为：1【例8-2】（2024·河南新乡·二模）（多选）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合，表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合，表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，对于A，集合中的直线平行，故，故A正确，对于B，由于，故在圆内，故经过点的直线与圆相交，，故B正确，对于C，由于，故在圆外，故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误，对于D，由于，故两圆相交，，D错误，故选：AB【一隅三反】1.（23-24海南·阶段练习）已知集合，且，则中元素的个数为个.【答案】【解析】因为，且，所以，则中元素的个数为个.故答案为：2.（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知集合，，则中有个元素.【答案】2【解析】由且知，为偶函数，故函数图象关于y轴对称，当时，作出与圆的图象，如图，由图象知，当时，有一个交点，再由偶函数图象的对称性可知，当时，也有一个交点．综上，图象与圆有两个交点，所以中的元素个数为2个．故答案为：.3.（24-25高三下·上海·开学考试）若集合，若集合恰有两个元素，则所有满足要求的实数组成的集合为.【答案】【解析】联立，得，由，可知直线过点，则有一个公共点，由，得，当时，有，即，则有唯一解，对的情况进行讨论：①，此时有，，符合题意；②，，符合题意；③当是方程的一个解时，有，此时，此时另外一个解为，符合题意，综上，所有满足要求的实数组成的集合为.故答案为：考向九新定义【例9】（2025高三·全国·专题练习）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．①若，则是3阶聚合点集②存在对任意正数，使不是阶聚合点集③若，则不是阶聚合点集④“”是“是阶聚合点集”的充要条件其中所有正确结论的序号是.【答案】①③④【解析】对于①，由可得，故是3阶聚合点集，即①正确；对于②，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故②错误；对于③，因，而，故不是阶聚合点集，即③正确；对于④，因是阶聚合点集等价于，因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即④正确.故答案为：①③④【一隅三反】1.（2025海南·阶段练习）（多选）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】，A错误；，，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC.2.（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（

）A．B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为【答案】ABD【解析】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大