2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练）（题组版）（解析版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

.3函数的对称性、周期性、图像（精练题组版）题组一函数的对称性1.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，函数，，则有，故函数的图象的对称中心的坐标为故选：D.2．（24-25山东）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以当函数图象向左平移2个单位，再向下平移一个单位，可得函数的图象，由反比例函数图象知，关于原点对称.故选：C3.（23-24湖南长沙）函数与函数图象关于直线对称，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】设，因为函数与函数图象关于直线对称，所以.故选：A4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点对称.故选：C5.（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】C【解析】函数为奇函数，图象关于对称，将函数向左平移一个单位可得函数，则函数关于对称，所以函数的图象关于对称.故选：C.6．（2025高三·全国·专题练习）函数的对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意：，可由偶函数的图像向右平移1个单位得到，所以函数的对称轴为,故选：A.7．（24-25高三下·河南·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为的图象关于直线对称，将向右平移1个单位长度，所得图象关于y轴对称，即为偶函数，B选项错误；因为的图象关于直线对称，将向左平移1个单位长度，关于直线对称，不能得出的奇偶性，A，C选项错误；对于D：，可得函数为奇函数，D选项正确；故选：D.8．（2024·甘肃张掖·模拟预测）（多选）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确；B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，而函数是偶函数，关于轴对称，其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确；C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确；D：，显然，故此函数不是关于直线对称的，故D错误.故选：ABC.9（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，其图象关于直线对称，则，所以，所以，解得，所以，此时，满足题意；因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故选：B．10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（

）A．图象的对称中心是B．图象的对称中心是C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数【答案】AC【解析】是奇函数，其图象的对称中心为，将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得的图象，因此图象的对称中心是，A正确，B错误；若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将其图象向左平移个单位长度得的图象，的图象关于直线，即轴对称，则为偶函数，反之也成立，C正确，D错误．故选：AC11．（24-25高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（

）A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称B．函数的图象关于某直线对称C．函数的图象关于某点对称D．函数的图象关于某点对称【答案】BCD【解析】对A，令，则，所以函数的图象关于点对称，故A不正确；对B，令，所以，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；对C，因为，所以的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，而函数是奇函数，图象关于原点对称，因此函数的图象关于点对称，故C正确；对D，因为，所以函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位再向上平移3个单位得到，设，则，即是奇函数，图象关于原点对称，因此函数的图象关于点对称，故D正确．故选：BCD．12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则．【答案】【解析】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为，可得，解得，将其代入函数，可得，所以，即.故答案为：.题组二函数的周期性1．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（

）A． B．1 C．0 D．3【答案】B【解析】的图象关于直线对称，，又为奇函数，，，，是以4为一个周期的周期函数，．故选：B.2.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，由函数的图象关于直线对称，可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，又由，得，则，所以是周期为8的偶函数，则．故选：B.3．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（

）A． B．1 C．0 D．3【答案】B【解析】的函数图象向左平移个单位得到的图象，因函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，则因为奇函数，则，则，则，得，所以是周期为4的周期函数，则．故选：B4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（

）A． B． C． D．0【答案】D【解析】因为函数的图象关于直线对称，可得，又因为函数的图象关于点对称，可得，所以，可得，所以函数的周期为4，因为当时，，所以．故选：D.5．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由题故．又，，故．结合周期性可知，故．故选：C6．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（

）A．2024 B． C．2025 D．【答案】D【解析】因为对任意，都有，令，得，解得，则，即，所以函数的图象关于直线对称．又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以，所以，所以8是函数的一个周期，所以．故选：D7．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，且，，，，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】由可得：，所以函数的周期为，由可得函数关于对称，所以，又，，所以，又，，，，所以故选：B.8．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【解析】因为，可得，可知函数的一个周期为4，又因为是定义在的奇函数，则，则，即，令，可得；令，可得，即，则，所以.故选：C.9．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由，所以，所以，所以，由有，所以，即，所以函数的周期为6，所以，由，，，令有，，所以，所以，令有，，即，令有，即，，所以，所以，故选：D.10．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（

）A． B．0 C．2 D．2025【答案】A【解析】因为为偶函数，所以①，因为，所以，，结合①有②，因为为奇函数，所以，所以，结合②有，所以，所以，所以的周期为8，所以，同理，由，得，因为，所以，即，因为，所以，则，则，所以，所以，所以的周期为8，所以，由．得，所以．即，所以．故选：A．题组三函数性质的综合应用解不等式1．（2025广西）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：且关于成中心对称．当时，，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，由中心对称可得：在R上单调递增．由得：或，解得.故选：A．2．（24-25安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，所以在上单调递减，因为，所以不等式可变为，即，所以，即，所以不等式的解集为．故选：D．3．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即函数关于对称，当时，单调递增，所以函数在上单调递减，在单调递增，因为，所以，解得，即的取值范围是，故选：B.4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，又因为定义域为关于原点对称，所以是奇函数，由于，可知函数在定义域上单调递减，所以即，即，则，该不等式组无解，所以解集为.故选：D.5．（2025·江苏南京·一模）已知函数，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，则，由，则函数在上单调递增，易知函数在上单调递减，由，则，即，可得，分解因式可得，解得.故选：A.6．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，因为，所以函数为增函数，所以不等式可化为，则，，所以，所以，所以的取值范围是.故选：C.7．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令函数，其定义域为R，，函数是奇函数，求导得，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增，不等式，则，解得，所以所求取值范围是.故选：A8．（2025·山东·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知在上单调递增，的导函数，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增，因此在上单调递增，又，所以的图象关于点中心对称，若，则，即，解得，故选：C9．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取时，代入，有，可得，即，所以.设，因为，又已知时，，那么，所以函数在上单调递增.对不等式进行转化求解：已知，由可得，所以.因为函数单调递增，所以，移项得，解得.考虑定义域限制条件：由，解得；解得.综合以上结果，不等式的解集为.故选：B.10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，由于，故为偶函数，当时，则在单调递增，因此在单调递增，因此在单调递减，由可得，解得，故选：A11．（2025·江西·一模）若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，即的图象关于点对称，所以，而，即，则，又在上为增函数，故，即，，因在上单调递增，且，由，可得，即不等式的解集为.故选：C.12．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，令，由于为偶函数，故只需为奇函数，由，得，因为，定义域关于原点对称，，由此可以验证为奇函数．所以满足题意，又由为偶函数，得，故的图象关于直线对称．，当时，，可知，当时，单调递增，则时，单调递减．原不等式即为，等价于，即，解得．故选：C.13．（2025山东济宁·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，函数，设（），由，得从而：，又因为，所以是上的奇函数，即，又有，因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数；则可得：，即，整理得：，解得：或，所以实数的取值范围为，故选：C.题组四函数性质的综合应用比较大小1.．（2025·广西桂林·二模）函数.若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，关于对称.当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数，关于对称在为减函数，，，.故选：A.2．（2025河北邢台·阶段练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，恒成立，当时，，即，函数在上为增函数，函数是偶函数，即，函数的图象关于直线对称，，又函数在上为增函数，，即，.故选：B.3．（2025·天津）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数，又，，，又，所以，由函数的图象关于直线对称，知，又，所以，故，故选：A．4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为定义在上的函数满足，所以即图象关于直线对称，所以，，又在上单调递增，所以.故选：A5．（23-24宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为定义在上的函数满足条件，所以函数是偶函数，对任意，当时都有，所以不妨设，则有，因此时，函数是增函数，因为函数是偶函数，所以，，因为时，函数是增函数，所以，即，故选：A6．（2025吉林松原·阶段练习）设定义域为，对任意的都有，且当时，，则有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由定义域为，对任意的都有，知对称轴是，当时，，即函数在上单调递增，由对称性知其在上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，故选：．7．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题，，设，，则，，，，，所以函数的周期为6，故，，，．由，则，即，由，则，即，所以，可得无法确定．所以，无法判断．综上所述，．故选：B.8．（2025湖南）已知函数．若为偶函数，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称，函数关于直线对称，所以，即，，函数和在区间单调递减，在区间单调递增，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，因为，所以，即.故选：A题组五函数4大性质的综合应用1．（24-25河南）（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．C．无零点 D．在上单调递增【答案】AB【解析】由，且定义域为，所以的图象关于直线对称，A对；当时，在上单调递减，D错；当时，在上单调递增，又，B对；显然，C错；故选：AB2．（2025高三·全国·专题练习）（）哦度设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（

）A． B．函数的图象关于直线对称C． D．【答案】ACD【解析】对于A，因为为奇函数，所以，取可得，A正确．对于B，因为，所以，所以．又，故，所以函数的图象关于点对称，B错误．对于D，因为，所以，所以为常数．因为，所以，所以，取可得，所以．又，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数．因为，所以，所以，所以，D正确．对于C，因为，所以，所以，故函数为周期为4的函数，，所以函数为周期为4的函数，又，所以，所以，C正确．故选：ACD3．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由题得，所以即，所以是奇函数，故，又由得函数关于点对称，，所以，故，所以，即函数是周期为6的函数，所以也是周期为6的函数，即，由求导得即，所以，对于A，，故A正确；对于B，由无法确定的值，故B错误；对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；对于D，由得，且即，且即，且即，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD4．（2025·江西）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由为奇函数，得关于对称，且满足；由为偶函数，得关于直线对称，且满足.故，所以是周期函数，且周期.对选项A，由，令，解得，故A错误；对选项B，已知当时，，则，故当时，.则，故B错误；对选项C，，，，，且周期.则，故C正确．对选项D，，故D正确．故选：CD．5．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称【答案】AC【解析】由为奇函数，得，即，则，由为偶函数，得，则，于是，函数是周期函数，一个周期为4，由，得，由，得，由，得，于是，解得，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，由，得，为偶函数，C正确；对于D，，的图象关于点对称，D错误.故选：AC6．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（

）A． B．的图象关于直线对称C．是周期函数，且其中一个周期为8 D．【答案】BC【解析】由题意，函数与的定义域均为.由求导可得，即，所以的图象关于直线对称，故B正确；由求导可得，，，则（为常数），令，则有，所以，即，所以，即函数的图象关于直线对称.又由可得，则有，，，即，所以函数的图象关于点对称.所以函数是周期函数，周期.证明如下：由可得，由上述结论可知，所以.则，即，又由可得，所以.所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确；对于A，因为，，若，则，与矛盾.故A错误；对于D，由求导可得，则有，因为，所以则（是常数），令，可得，所以，即函数的图象关于直线对称.所以，函数也是周期函数，周期.，令，可得，根据对称性可知，，所以.所以，不确定是否为0，故D错误.故选：BC.题组六函数图像1．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，且定义域为R，所以为奇函数，排除A、B；，排除D.故选：C2．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；，排除C项；当时，，排除A项.故选：D.3．（24-25甘肃）函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】记，函数的定义域是，，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误；当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误．故选：B.4．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】恒成立，故的定义域为R，，故为奇函数，BD错误；当趋向于时，的增长速度远大于的速度，故趋向于0，C错误，A正确.故选：A5．（2025·青海海南·模拟预测）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由，排除C，D选项．由，排除B选项．故选：A.6．（2025·安徽合肥·一模）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由知，，即，所以函数定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数，故排除A；当时，，时，，所以当，时，，排除C；当时，符号可正可负，所以可正可负，故可排除D；故选：B7．（2025·江西新余·模拟预测）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】，，可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令

，，令，则，解得(负数根舍去)，则

在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.

（注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B）故选：B8．（2025·江西·一模）函数的部分图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】函数是定义域为函数，是奇函数，所以排除B，C，又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，如0.1，得，所以排除D．故选：A.9．（2025江西抚州·阶段练习）函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为，因为，即函数为偶函数，排除AB选项，当时，，，则，排除C选项.故选：D.10（23-24河南）函数的部分图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数定义域为，定义域关于原点对称，因为，，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，当时，，，故，选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征，故函数的部分图象大致为选项C的图象.故选：C.题组七抽象函数1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（

）A． B．是偶函数C．是奇函数 D．【答案】ABD【解析】令，得，所以或，若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确；令，得即，所以，所以B正确；令，得，所以，所以，当时，，所以C错误；因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确．故选：ABD．2．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】B【解析】因为，令，可得，则；令，则，故的图象关于点对称，则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；对于C，令，可得，则，当时，，此时不可能是奇函数，由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；对于AD，取，满足题意，但易知D错误；故选：B.3．（2025黑龙江）已知函数的定义域为，且，，，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【解析】由题意知函数的定义域为，且，，令，则，即，故为偶函数；又，令，则，又由，得，即的图象关于点成中心对称，则；，即，又结合为偶函数，则，故，即4为的周期，故，故，故选：D4．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（

）A． B．函数关于直线对称C． D．的周期为3【答案】D【解析】解法一：令，，则，解得，A正确；令，则，所以，即是偶函数，所以，所以函数关于直线对称，B正确；令，则，令，则，所以，C正确；令，则①，所以②，①②联立得，所以，，即的周期为，D错误；解法二：构造函数，满足，且，，A正确；，因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称，所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确；的周期，D错误；故选：D5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（

）A． B．C．是奇函数 D．【答案】ABD【解析】函数，对任意，，对于A，令，得，而，则，A正确；对于B，令，得，则，两边求导得，，即，因此关于对称，，B正确；对于C，由，得，令，得，两边求导得，即，因此，函数是偶函数，C错误；对于D，由，得，则，因此函数的周期为4，，D正确.故选：ABD6.（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（

）A． B．为偶函数C．的图象关于点对称 D．【答案】BCD【解析】对于A，令，则，因为，所以，则，故A错误；对于B，令，则，则，故B正确；对于C，令得，，所以，令得，，则的图象关于点对称，故C正确；对于D，由得，又，所以，则，，所以，则函数的周期为，又，，则，，则，所以，故D正确，故选：BCD.题组八函数新定义1