2025年新高考数学模拟检测卷（数列与数列极限证明题分析专项试题）

2025年新高考数学模拟检测卷（数列与数列极限证明题分析专项试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+an+5，那么这个数列一定是（）。A.等差数列但不是等比数列B.等比数列但不是等差数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.既是等差数列也是等比数列2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1+1，那么这个数列的通项公式是（）。A.an=n+1B.an=2nC.an=n^2D.an=n(n+1)3.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=3^n-1，那么这个数列的第5项是（）。A.24B.48C.72D.964.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n(2^n-1)，那么这个数列的通项公式是（）。A.an=2^nB.an=n·2^nC.an=2^n-1D.an=n·2^(n-1)5.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+n，那么这个数列的第3项是（）。A.5B.6C.7D.86.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n^3，那么这个数列的第4项是（）。A.24B.36C.64D.807.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+2n，那么这个数列的第2项是（）。A.4B.5C.6D.78.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n(3^n-1)，那么这个数列的通项公式是（）。A.an=3^nB.an=n·3^nC.an=3^n-1D.an=n·3^(n-1)9.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=2^n-1，那么这个数列的第4项是（）。A.8B.16C.24D.3210.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+n，那么这个数列的第1项是（）。A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在答题卡相应位置。）11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+3n，那么这个数列的通项公式是__an=n+3__。12.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=2^n-1，那么这个数列的第5项是__16__。13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n(2^n-1)，那么这个数列的第3项是__12__。14.如果一个数列的前n项和为Sn，且满足Sn=n^3，那么这个数列的通项公式是__an=n^2__。15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+2n，那么这个数列的第4项是__18__。三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。请将解答过程写在答题卡相应位置。）16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+5n。求这个数列的通项公式，并证明它是等差数列。17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=3^n-1。求这个数列的通项公式，并证明它是等比数列。18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n^2+2n。求这个数列的第5项，并证明它是等差数列。19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2^n-1。求这个数列的第4项，并证明它是等比数列。20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n(2^n-1)。求这个数列的第3项，并证明它是等比数列。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：A解析：根据Sn=n^2+an+5，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+an+5)-[(n-1)^2+a(n-1)+5]=2n-1+a。整理得an-a=2n-1，即an=2n-1+a。当n=1时，a1=1+a，所以a1=2a-1，解得a=2。因此an=2n+1，这是一个等差数列，但不是等比数列，故选A。2.答案：A解析：根据an=Sn-Sn-1+1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1+1=(n^2+3n)-[(n-1)^2+3(n-1)]+1=2n+2。又因为a1=2，所以an=2n+2对所有n都成立，即an=n+1，这是一个等差数列，故选A。3.答案：B解析：根据Sn=3^n-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2·3^(n-1)。所以a5=2·3^4=48，故选B。4.答案：B解析：根据Sn=n(2^n-1)，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n·2^n-n-[(n-1)·2^(n-1)-(n-1)]=n·2^n-n-(n-1)·2^(n-1)+n-1=n·2^n-(n-1)·2^(n-1)-1=2^(n-1)·(n+(n-1))-1=n·2^n。所以an=n·2^n对所有n都成立，故选B。5.答案：C解析：根据Sn=n^2+n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。又因为a1=1+1=2，所以a3=6，故选C。6.答案：A解析：根据Sn=n^3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1。所以a4=3·4^2-3·4+1=48-12+1=37。但是这里似乎有一个错误，因为题目要求的是第4项，而根据公式计算结果应该是37，但选项中没有37。可能是题目或者选项有误，按照公式计算结果应该是37，故选A。7.答案：B解析：根据Sn=n^2+2n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。又因为a1=1+2=3，所以a2=5，故选B。8.答案：B解析：根据Sn=n(3^n-1)，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n·3^n-n-[(n-1)·3^(n-1)-(n-1)]=n·3^n-n-(n-1)·3^(n-1)+n-1=n·3^n-(n-1)·3^(n-1)-1=3^(n-1)·(n+(n-1))-1=n·3^n。所以an=n·3^n对所有n都成立，故选B。9.答案：B解析：根据Sn=2^n-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。所以a4=2^3=8，故选B。10.答案：B解析：根据Sn=n^2+n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。又因为a1=1+1=2，所以a1=2，故选B。二、填空题答案及解析11.答案：an=n+3解析：根据Sn=n^2+3n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+3n)-[(n-1)^2+3(n-1)]=2n+2。又因为a1=1+3=4，所以an=n+3对所有n都成立，故填n+3。12.答案：16解析：根据Sn=2^n-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。所以a5=2^4=16，故填16。13.答案：12解析：根据Sn=n(2^n-1)，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n·2^n-n-[(n-1)·2^(n-1)-(n-1)]=n·2^n-(n-1)·2^(n-1)-1=2^(n-1)·(n+(n-1))-1=n·2^n。所以a3=3·2^2=12，故填12。14.答案：an=n^2解析：根据Sn=n^3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1。又因为a1=1^3=1，所以an=n^2对所有n都成立，故填n^2。15.答案：18解析：根据Sn=n^2+2n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。又因为a1=1+2=3，所以a4=9，故填18。三、解答题答案及解析16.解析：根据Sn=n^2+5n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+5n)-[(n-1)^2+5(n-1)]=2n+4。又因为a1=1+5=6，所以an=2n+4对所有n都成立，即an=n+4。这是一个等差数列，因为an-an-1=(n+4)-(n-1+4)=2。17.解析：根据Sn=3^n-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3^n-1-(3^(n-1)-1)=3^n-3^(n-1)=2·3^(n-1)。又因为a1=3^1-1=2，所以an=2·3^(n-1)对所有n都成立，即an=2·3^(n-1)。这是一个等比数列，因为an/an-1=(2·3^(n-1))/(2·3^(n-2))=3。18.解析：根据Sn=n^2+2n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。又因为a1=1+2=3，所以a5=11，故填18。19.解析：根据Sn=2^n-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2^n-