2025年中考数学模拟试题-数学归纳法证明

2025年中考数学模拟试题-数学归纳法证明考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在用数学归纳法证明“1+3+5+…+(2n-1)=n^2”这个等式时，第一步需要验证n取什么值时等式成立。我想问问你，第一步我们应该验证n等于多少呢？A.1B.2C.3D.0，这个好像挺简单的，但有时候学生容易搞混，得提醒他们第一步验证的是最基础的起点。2.已知一个命题“对于任意正整数n，n^3+5n总是能被6整除”，如果我们要用数学归纳法证明这个命题，那么第二步假设n=k时命题成立，接下来应该推导出什么结论呢？A.n=k+1时命题也成立B.n=k+1时命题不成立C.n=k+1时命题有时成立D.n=k+1时命题有时不成立，这个题得好好琢磨琢磨，因为归纳假设的运用是关键。3.在用数学归纳法证明“1^3+2^3+…+n^3=(1+n)^2/4”时，老师发现很多学生卡在第二步变形上，特别是从k到k+1的时候，左边多了(n+1)^3这一项，右边也要相应变化。你能给我讲讲这个变形过程的具体步骤吗？A.直接把k+1代入等式B.逐项展开再合并C.利用多项式乘法D.通过等比数列性质，我觉得B选项最直观，但得确保学生明白每一步的数学逻辑。4.有个学生问我，数学归纳法是不是就是不断验证特例？我说这可就错了，数学归纳法证明的是对所有正整数n都成立，不是只验证几个数字就行。那么在证明“1+4+7+…+(3n-2)=n(2n-1)”时，第一步验证n=1时左边等于1，右边也等于1，这算不算完成了第一步？A.是的，验证完成B.还没完，要验证n=2C.验证n=1只是开始D.这题不用验证，直接跳到第二步，我觉得C选项最符合数学归纳法的严谨性。5.关于“用数学归纳法证明等比数列求和公式S_n=a(1-q^n)/(1-q)”时，有个问题困扰我，第二步假设S_k=a(1-q^k)/(1-q)成立，推导S_(k+1)时，很多学生忘了从S_k基础上加一项a*q^k。你能解释下为什么推导S_(k+1)要从S_k出发而不是重新计算吗？A.因为归纳假设就是S_kB.为了避免重复计算C.因为等比数列性质D.老师规定这样算，我觉得B选项最符合数学思维，但得让学生明白这是数学归纳法的本质。6.有个学生问我，如果归纳假设n=k成立，但k取偶数时命题成立，k取奇数时不成立，还能用数学归纳法吗？我说这要看命题本身，但如果命题对所有n都成立，那假设必须对所有k成立。那么在证明“n(n+1)/2是整数”时，假设n=k成立，推导n=k+1时，最关键的一步是什么？A.直接代入k+1计算B.利用偶数性质C.利用归纳假设D.通过整除性质，我觉得C选项最核心，但得确保学生明白归纳假设的普遍适用性。7.在证明“1^2+3^2+…+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)/3”时，有个学生用了配方法把(2k-1)^2变成4k^2-4k+1，我问他为什么这么做，他说为了方便计算。我说数学归纳法不是计算题，关键在变形逻辑。那么当从k到k+1时，左边多了(2k+1)^2这一项，右边如何对应变化呢？A.直接代入k+1计算B.利用平方差公式C.通过归纳假设D.通过多项式除法，我觉得C选项最符合归纳法思路，但得让学生明白变形的数学目的。8.有个老师问我，数学归纳法是不是只能证明等式？我说不是，像“当n为正整数时，n^2≥n”这个不等式也能用数学归纳法证明。那么在证明“n(n+1)/2≥n”时，第二步假设n=k成立，推导n=k+1时，最关键的一步是什么？A.直接比较大小B.利用归纳假设C.通过n≥1条件D.通过二项式定理，我觉得B选项最核心，但得让学生明白不等式证明的转化技巧。9.在证明“1+2+…+n=n(n+1)/2”时，有个学生问我，为什么第一步验证n=1时，等式左边只有1一项？我说这就是数学归纳法的起点，不能跳过。那么当从k到k+1时，左边如何变化呢？A.直接加一项B.通过归纳假设C.利用等差数列性质D.通过组合数公式，我觉得A选项最直观，但得让学生明白变化的具体过程。10.有个学生问我，数学归纳法是不是必须从n=1开始验证？我说通常是这样，但也有例外，比如证明“当n≥5时，2^n>3n”时，第一步验证n=5就行。那么在证明“当n为正偶数时，n^2是4的倍数”时，第一步应该验证哪个n值？A.n=1B.n=2C.n=4D.n=6，我觉得C选项最合理，但得让学生明白命题范围决定验证起点。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。）1.在用数学归纳法证明“1+3+5+…+(2n-1)=n^2”时，第二步假设n=k成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k^2，那么当n=k+1时，等式左边应该写成什么形式？我在课堂上发现很多学生写成1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)，这样不对，得加上整个k+1项的序列，你能给我补充完整吗？2.已知命题“对于任意正整数n，n^3+5n总是能被6整除”，如果用数学归纳法证明，第二步假设n=k成立，即k^3+5k能被6整除，那么推导n=k+1时，需要证明(k+1)^3+5(k+1)也能被6整除，这个推导过程最关键的一步是什么？我在批改作业时发现很多学生忘了利用归纳假设拆解(k+1)^3，你能给我讲讲具体怎么拆的？3.在证明“1^3+2^3+…+n^3=(1+n)^2/4”时，有个学生问我，为什么从k到k+1时，左边要写成(k^3+(k+1)^3)，他说这样写更直观，我觉得有道理，但得确保学生明白数学归纳法的逻辑。那么右边如何从k((2k+1)(2k+3))/4变成(k+1)((2k+3)(2k+5))/4呢？我在课堂上用了多项式除法，但学生反应很慢，你能给我提供个更简单的变形方法吗？4.关于“用数学归纳法证明等比数列求和公式S_n=a(1-q^n)/(1-q)”时，有个学生问我，为什么推导S_(k+1)时要从S_k=a(1-q^k)/(1-q)出发，而不是直接计算S_(k+1)=a(1-q^(k+1))/(1-q)？我说这是归纳假设的运用，但学生还是不太理解。那么当从S_k推导S_(k+1)时，最关键的一步是什么？A.代入q^(k+1)B.利用S_(k+1)=S_k+a*q^kC.通过等比数列性质D.通过数学归纳法定义，我觉得B选项最核心，但得让学生明白变形的数学目的。5.在证明“当n为正整数时，n(n+1)/2是整数”时，有个学生问我，为什么第二步假设n=k成立，推导n=k+1时要证明(k+1)((k+1)+1)/2是整数？他说这样写太绕了，我觉得可以简化，但得确保学生明白数学归纳法的逻辑。那么(k+1)((k+1)+1)/2可以简化成什么形式，既能体现归纳假设又能方便计算？我在课堂上用了分配律，但学生反应很慢，你能给我提供个更直观的简化方法吗？三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.请用数学归纳法证明：对于任意正整数n，n(n+1)(n+2)总是能被6整除。我在讲台上写这道题时，看到学生们有的在草稿纸上写写画画，有的眉头紧锁。我想问问你，第一步验证n=1时，左边等于6，右边也等于6，这算不算完成了第一步？但有个学生举手问，为什么n=1时肯定能被6整除，6本身当然可以被6整除，但他说要证明n=1是命题的起点，不能光说结果。我觉得他说得对，那你能详细说说第一步验证的具体过程吗？还有，第二步假设n=k时命题成立，即k(k+1)(k+2)能被6整除，那么推导n=k+1时，最关键的一步是什么？A.直接计算(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)B.利用归纳假设拆解(k+1)C.通过因式分解D.通过整除性质，我觉得B选项最核心，但得让学生明白归纳假设的运用。2.请用数学归纳法证明：对于任意正整数n，1+4+7+…+(3n-2)总是等于n(n+1)。我在课堂上讲解这道题时，发现很多学生卡在第二步变形上，特别是从k到k+1的时候，左边多了(3k+1)这一项，右边也要相应变化。你能给我讲讲这个变形过程的具体步骤吗？A.直接代入k+1计算B.逐项展开再合并C.利用多项式乘法D.通过等差数列性质，我觉得B选项最直观，但得确保学生明白每一步的数学逻辑。还有个问题是，当从k到k+1时，右边如何从k(k+1)变成(k+1)((k+1)+1)？我在课堂上用了分配律，但学生反应很慢，你能给我提供个更简单的变形方法吗？3.请用数学归纳法证明：对于任意正整数n，n^3+5n总是能被6整除。我在讲台上写这道题时，看到学生们有的在草稿纸上写写画画，有的眉头紧锁。我想问问你，第二步假设n=k成立，即k^3+5k能被6整除，那么推导n=k+1时，需要证明(k+1)^3+5(k+1)也能被6整除，这个推导过程最关键的一步是什么？A.直接代入k+1计算B.利用平方差公式C.通过归纳假设拆解(k+1)^3D.通过多项式除法，我觉得C选项最核心，但得让学生明白变形的数学目的。还有个问题是，当从k到k+1时，如何利用归纳假设证明(k+1)^3+5(k+1)能被6整除？我在课堂上用了拆项法，但学生反应很慢，你能给我提供个更直观的证明方法吗？4.请用数学归纳法证明：对于任意正整数n，1^3+2^3+…+n^3总是等于(n(n+1)/2)^2。我在课堂上讲解这道题时，发现很多学生卡在第二步变形上，特别是从k到k+1的时候，左边多了(k+1)^3这一项，右边也要相应变化。你能给我讲讲这个变形过程的具体步骤吗？A.直接代入k+1计算B.逐项展开再合并C.利用多项式乘法D.通过等比数列性质，我觉得B选项最直观，但得确保学生明白每一步的数学逻辑。还有个问题是，当从k到k+1时，右边如何从(k(k+1)/2)^2变成((k+1)((k+1)+1)/2)^2？我在课堂上用了分配律，但学生反应很慢，你能给我提供个更简单的变形方法吗？5.请用数学归纳法证明：当n为正偶数时，n^2是4的倍数。我在课堂上讲解这道题时，发现很多学生不太理解为什么第一步验证n=2就行，因为命题范围是正偶数。你能给我讲讲第一步验证的具体过程吗？还有，第二步假设n=2k成立，即(2k)^2是4的倍数，那么推导n=2(k+1)时，最关键的一步是什么？A.直接计算(2(k+1))^2B.利用归纳假设拆解2(k+1)C.通过因式分解D.通过整除性质，我觉得B选项最核心，但得让学生明白归纳假设的运用。还有个问题是，当从2k到2(k+1)时，如何利用归纳假设证明(2(k+1))^2是4的倍数？我在课堂上用了拆项法，但学生反应很慢，你能给我提供个更直观的证明方法吗？四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。证明题需有逻辑推理过程，不能只写结论。）1.请用数学归纳法证明：对于任意正整数n，1+1/2+1/3+…+1/n≥2-1/n。我在讲台上写这道题时，看到学生们有的在草稿纸上写写画画，有的眉头紧锁。我想问问你，第二步假设n=k成立，即1+1/2+1/3+…+1/k≥2-1/k，那么推导n=k+1时，最关键的一步是什么？A.直接计算1+1/(k+1)B.利用归纳假设拆解1/kC.通过调和级数性质D.通过数学归纳法定义，我觉得A选项最直观，但得让学生明白归纳假设的运用。还有个问题是，当从k到k+1时，如何利用归纳假设证明1+1/2+1/3+…+1/k+1/(k+1)≥2-1/(k+1)？我在课堂上用了放缩法，但学生反应很慢，你能给我提供个更直观的证明方法吗？2.请用数学归纳法证明：对于任意正整数n，n^2≥n+1当且仅当n≥2。我在讲台上写这道题时，看到学生们有的在草稿纸上写写画画，有的眉头紧锁。我想问问你，第二步假设n=k成立，即k^2≥k+1当且仅当k≥2，那么推导n=k+1时，最关键的一步是什么？A.直接计算(k+1)^2B.利用归纳假设拆解k+1C.通过不等式性质D.通过数学归纳法定义，我觉得C选项最核心，但得让学生明白归纳假设的运用。还有个问题是，当从k到k+1时，如何利用归纳假设证明(k+1)^2≥(k+1)+1当且仅当k+1≥2？我在课堂上用了比较法，但学生反应很慢，你能给我提供个更直观的证明方法吗？本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A.1解析：数学归纳法的第一步是验证n取最小的正整数值时命题成立，对于等式1+3+5+…+(2n-1)=n^2，最小的正整数值是n=1，此时左边等于1，右边等于1^2=1，等式成立，所以第一步验证n=1。2.A.n=k+1时命题也成立解析：数学归纳法的第二步是假设n=k时命题成立，然后证明n=k+1时命题也成立。对于命题“对于任意正整数n，n^3+5n总是能被6整除”，假设n=k时，k^3+5k能被6整除，即存在整数m使得k^3+5k=6m，当n=k+1时，需要证明(k+1)^3+5(k+1)也能被6整除，即证明(k+1)^3+5(k+1)=6p（p为整数），通过展开(k+1)^3并利用归纳假设，可以得到(k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5=k^3+5k+3k^2+8，因为k^3+5k是6的倍数，所以只需要证明3k^2+8是6的倍数，即证明k^2+2是2的倍数，这是显然的，因为k^2和2都是整数，所以k^2+2也是整数，即3k^2+8是6的倍数，所以n=k+1时命题也成立。3.B.逐项展开再合并解析：在证明“1^3+2^3+…+n^3=(1+n)^2/4”时，从k到k+1，左边变为1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3，右边变为(1+k)^2/4+(k+1)^3，需要证明右边等于(1+(k+1))^2/4，即证明(1+k)^2/4+(k+1)^3=(1+k+1)^2/4，通过展开并简化，可以得到(1+k)^2/4+(k+1)^3=(k^2+2k+1)/4+(k^3+3k^2+3k+1)=k^3+3k^2+3k+1+k^2+2k+1)/4=(k^3+3k^2+5k+2)/4=(k^3+3k^2+3k+1+k)/4=(k+1)^2(k+1)/4=(1+(k+1))^2/4，所以证明成立。4.C.验证n=1只是开始解析：数学归纳法的第一步是验证n=1时命题成立，对于等式1+4+7+…+(3n-2)=n(2n-1)，n=1时左边等于1，右边等于1(2*1-1)=1，等式成立，但这只是第一步，还需要证明对于所有正整数n，等式都成立。5.B.为了避免重复计算解析：在用数学归纳法证明等比数列求和公式S_n=a(1-q^n)/(1-q)时，第二步假设S_k=a(1-q^k)/(1-q)成立，推导S_(k+1)时，从S_k出发而不是重新计算，是为了避免重复计算S_k中已经包含的部分，即a(1-q^k)/(1-q)，因为S_(k+1)=S_k+a*q^k，所以直接从S_k出发，加上新的一项a*q^k即可得到S_(k+1)，这样更简洁高效。6.A.因为归纳假设就是S_k解析：数学归纳法的第二步是假设n=k时命题成立，然后证明n=k+1时命题也成立，这里的归纳假设就是S_k=a(1-q^k)/(1-q)成立，推导S_(k+1)时，需要利用这个假设，因为只有知道了S_k的形式，才能推导出S_(k+1)的形式。7.C.通过归纳假设D.通过多项式除法解析：在证明“1^2+3^2+…+(2k-1)^2=k(2k-1)(2k+1)/3”时，从k到k+1，左边变为1^2+3^2+…+(2k-1)^2+(2k+1)^2，右边变为(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)/3，需要证明右边等于(1+(k+1))^2/4，即证明(k+1)(2k+1)(2k+3)/3=(k^2+2k+1)/4，通过展开并简化，可以得到(k+1)(2k+1)(2k+3)/3=(2k^3+6k^2+5k+3)/3=(2k^3+6k^2+5k+3)/3，所以证明成立。8.B.利用归纳假设C.通过n≥1条件D.通过二项式定理解析：在证明“n(n+1)/2≥n”时，假设n=k成立，即k(k+1)/2≥k，推导n=k+1时，需要证明(k+1)((k+1)+1)/2≥k+1，即证明(k+1)(k+2)/2≥k+1，通过展开并简化，可以得到(k+1)(k+2)/2≥k+1，即证明k^2+3k+2≥2(k+1)，即证明k^2+k≥0，这是显然的，因为k为正整数，所以k^2和k都大于0，所以k^2+k也大于0，即k^2+k≥0，所以证明成立。9.A.直接加一项B.通过归纳假设C.利用等差数列性质D.通过数学归纳法定义解析：在证明“1+2+…+n=n(n+1)/2”时，从k到k+1，左边变为1+2+…+k+(k+1)，右边变为(k+1)((k+1)+1)/2，需要证明右边等于(1+(k+1))/2，即证明(k+1)(k+2)/2=(k+1)(k+1)/2，通过展开并简化，可以得到(k+1)(k+2)/2=(k+1)(k+1)/2，所以证明成立。10.C.n=4解析：命题“当n为正偶数时，n^2是4的倍数”的范围是正偶数，所以第一步验证n=4，因为4是正偶数中最小的，验证n=4时，4^2=16，是4的倍数，所以命题成立。二、填空题答案及解析1.1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)解析：在用数学归纳法证明“1+3+5+…+(2n-1)=n^2”时，第二步假设n=k成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k^2，那么当n=k+1时，等式左边应该写成1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)，即加上整个k+1项的序列，因为归纳假设已经证明了1+3+5+…+(2k-1)的和，所以只需要加上(2k+1)即可得到1+3+5+…+(2k+1)的和。2.利用归纳假设拆解(k+1)^3解析：已知命题“对于任意正整数n，n^3+5n总是能被6整除”，如果用数学归纳法证明，第二步假设n=k成立，即k^3+5k能被6整除，那么推导n=k+1时，需要证明(k+1)^3+5(k+1)也能被6整除，这个推导过程最关键的一步是利用归纳假设拆解(k+1)^3，即证明(k+1)^3+5(k+1)能被6整除。3.(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)/4=(k+1)(2k+3)(2k+5)/4解析：在证明“1^3+2^3+…+n^3=(1+n)^2/4”时，从k到k+1，左边变为1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3，右边变为(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)/4，需要证明右边等于(1+(k+1))^2/4，即证明(k+1)(2k+3)(2k+5)/4=(k^2+2k+1)/4，通过展开并简化，可以得到(k+1)(2k+3)(2k+5)/4=(2k^3+6k^2+5k+3)/4=(2k^3+6k^2+5k+3)/4，所以证明成立。4.利用S_(k+1)=S_k+a*q^k解析：关于“用数学归纳法证明等比数列求和公式S_n=a(1-q^n)/(1-q)”时，第二步假设S_k=a(1-q^k)/(1-q)成立，推导S_(k+1)时，最关键的一步是利用S_(k+1)=S_k+a*q^k，因为归纳假设已经证明了S_k的形式，所以只需要加上新的一项a*q^k即可得到S_(k+1)的形式。5.(k+1)((k+1)+1)/2=(k+1)(k+2)/2解析：在证明“当n为正整数时，n(n+1)/2是整数”时，假设n=k成立，即k(k+1)/2是整数，推导n=k+1时，需要证明(k+1)((k+1)+1)/2是整数，即证明(k+1)(k+2)/2是整数，通过展开并简化，可以得到(k+1)(k+2)/2=(k^2+3k+2)/2=(k^2+2k+k+2)/2=(k(k+2)+k+2)/2=(k(k+2)+2)/2，因为k和k+2都是整数，所以k(k+2)是整数，所以k(k+2)+2也是整数，所以(k(k+2)+2)/2是整数，即(k+1)(k+2)/2是整数，所以证明成立。三、解答题答案及解析1.第一步验证n=1时，左边等于1*2*3=6，右边等于1*2*3=6，等式成立，所以命题对n=1成立。第二步假设n=k时命题成立，即k(k+1)(k+2)能被6整除，需要证明n=k+1时命题也成立，即(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)能被6整除，通过展开并简化，可以得到(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)，因为k(k+1)(k+2)能被6整除，所以只需要证明3(k+1)(k+2)能被6整除，即证明(k+1)(k+2)能被2整除，这是显然的，因为k+1和k+2中必有一个是偶数，所以(k+1)(k+2)是2的倍数，所以3(k+1)(k+2)是6的倍数，所以命题对n=k+1也成立，所以命