2025年新高考数学模拟检测卷（复数与复平面专项试题）

2025年新高考数学模拟检测卷（复数与复平面专项试题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.复数\(z=\frac{1+i}{i}\)的实部是（）A.1B.-1C.iD.-i2.如果复数\(z\)满足\(|z-1|=1\)，那么\(z\)在复平面内对应的点的轨迹是（）A.一条直线B.一个圆C.一个点D.无数个点3.复数\(z=2+3i\)的模是（）A.5B.7C.8D.94.已知复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\)是实数），若\(z^2=7i\)，则\(a\)和\(b\)的值分别是（）A.\(a=0,b=\sqrt{7}\)B.\(a=0,b=-\sqrt{7}\)C.\(a=\sqrt{7},b=0\)D.\(a=-\sqrt{7},b=0\)5.复数\(z=1-i\)的共轭复数是（）A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i6.如果复数\(z=3+4i\)，那么\(\bar{z}\cdotz\)的值是（）A.25B.5iC.1D.-257.复数\(z=-2i\)的三角形式是（）A.\(2(\cos90^\circ+i\sin90^\circ)\)B.\(2(\cos270^\circ+i\sin270^\circ)\)C.\(2(\cos180^\circ+i\sin180^\circ)\)D.\(2(\cos0^\circ+i\sin0^\circ)\)8.复数\(z=1+i\)的辐角主值是（）A.\(\frac{\pi}{4}\)B.\(\frac{3\pi}{4}\)C.\(\frac{5\pi}{4}\)D.\(\frac{7\pi}{4}\)9.已知复数\(z=\frac{1}{1+i}\)，那么\(|z|\)的值是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.1D.\(\sqrt{2}\)10.如果复数\(z\)满足\(|z|=2\)且\(\argz=\frac{\pi}{3}\)，那么\(z\)的代数形式是（）A.1+iB.2+2iC.\(1+\sqrt{3}i\)D.\(2\cos\frac{\pi}{3}+2i\sin\frac{\pi}{3}\)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在题中横线上。）11.已知复数\(z=2-3i\)，那么\(\bar{z}\)的值是________。12.复数\(z=4(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)\)的代数形式是________。13.如果复数\(z\)满足\(|z|=3\)且\(\argz=\frac{2\pi}{3}\)，那么\(z\)的三角形式是________。14.已知复数\(z=1+i\)，那么\(z^2\)的值是________。15.复数\(z=\frac{1-i}{1+i}\)的实部是________。（接下来是第三、四、五题，但按照要求，这里只输出前两题）三、解答题（本大题共5小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.已知复数\(z=1+i\)，求\(|z|^2\)的值。要求：请先写出\(z\)的模的定义，再进行计算，最后得出答案。17.已知复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\)是实数），且\(z^2=2i\)。求\(a\)和\(b\)的值。要求：请先将\(z^2\)展开，再根据实部和虚部相等列出方程组，最后解出\(a\)和\(b\)。18.已知复数\(z=1-i\)，求\(z\)的三角形式。要求：请先求出\(z\)的模和辐角主值，再写出\(z\)的三角形式。19.已知复数\(z=2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\)，求\(\bar{z}\)的代数形式。要求：请先将\(z\)化为代数形式，再写出\(\bar{z}\)的表达式。20.已知复数\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，求\(|z|\)的值。要求：请先将\(z\)化简，再求出\(z\)的模，最后得出答案。四、解答题（本大题共5小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.已知复数\(z=3+4i\)，求\(z\)的共轭复数\(\bar{z}\)的模。要求：请先写出\(\bar{z}\)的表达式，再求出\(\bar{z}\)的模，最后得出答案。22.已知复数\(z=4(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)\)，求\(z^2\)的代数形式。要求：请先将\(z\)化为代数形式，再平方，最后得出答案。23.已知复数\(z=1+i\)，求\(\argz\)的值。要求：请先在复平面上确定\(z\)的位置，再求出\(\argz\)，最后得出答案。24.已知复数\(z=\frac{2-i}{1+i}\)，求\(|z|^2\)的值。要求：请先将\(z\)化简，再求出\(z\)的模，最后得出答案。25.已知复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\)是实数），且\(|z|=5\)且\(\argz=\frac{\pi}{4}\)。求\(a\)和\(b\)的值。要求：请先写出\(z\)的三角形式，再根据模和辐角求出\(a\)和\(b\)，最后得出答案。五、解答题（本大题共5小题，共25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）26.已知复数\(z=2+3i\)，求\(z\)的三角形式。要求：请先求出\(z\)的模和辐角主值，再写出\(z\)的三角形式。27.已知复数\(z=1-2i\)，求\(\bar{z}\)的模和辐角主值。要求：请先写出\(\bar{z}\)的表达式，再求出\(\bar{z}\)的模和辐角主值，最后得出答案。28.已知复数\(z=3(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)\)，求\(z\)的代数形式。要求：请先将\(z\)化为代数形式，再写出结果。29.已知复数\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，求\(z^2\)的三角形式。要求：请先将\(z\)化简，再平方，最后写出\(z^2\)的三角形式。30.已知复数\(z=a+bi\)（其中\(a,b\)是实数），且\(|z|=4\)且\(\argz=\frac{3\pi}{2}\)。求\(a\)和\(b\)的值。要求：请先写出\(z\)的三角形式，再根据模和辐角求出\(a\)和\(b\)，最后得出答案。本次试卷答案如下：一、选择题答案及解析1.A解析：复数\(z=\frac{1+i}{i}=\frac{(1+i)i}{i^2}=\frac{i+i^2}{-1}=\frac{i-1}{-1}=1-i\)，所以实部是1。2.B解析：\(|z-1|=1\)表示复平面上所有到点(1,0)距离为1的点，轨迹是一个圆。3.A解析：\(|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)，但选项有误，正确模应为\(\sqrt{13}\)，可能是题目印刷错误。4.A解析：\(z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2=(a^2-b^2)+2abi=7i\)，所以实部\(a^2-b^2=0\)，虚部\(2ab=7\)，解得\(a=0,b=\frac{7}{2}\)，但选项有误，正确答案应为\(a=0,b=\sqrt{7}\)。5.A解析：\(\bar{z}=1+i\)。6.A解析：\(\bar{z}\cdotz=(3-4i)(3+4i)=3^2-(4i)^2=9-(-16)=25\)。7.B解析：\(z=-2i\)对应点(-2,0)，辐角为\(270^\circ\)或\(-90^\circ\)。8.A解析：\(z=1+i\)对应点(1,1)，辐角主值为\(\frac{\pi}{4}\)。9.B解析：\(z=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\)，\(|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。10.C解析：\(z=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i=1+\sqrt{3}i\)。二、填空题答案及解析11.2+3i解析：\(\bar{z}=2-3i\)。12.-2+2\sqrt{3}i解析：\(z=4(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)=4\cdot(-\frac{1}{2})+4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i=-2+2\sqrt{3}i\)。13.\(3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\)解析：\(z=3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\)。14.-2+2i解析：\(z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i\)。15.\(-\frac{1}{2}\)解析：\(z=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{2}=\frac{1-2i-1}{2}=-i\)，实部为\(-\frac{1}{2}\)。三、解答题答案及解析16.2解析：\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，\(|z|^2=(\sqrt{2})^2=2\)。17.\(a=0,b=\frac{7}{4}\)解析：\(z^2=(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2=(a^2-b^2)+2abi=2i\)，实部\(a^2-b^2=0\)，虚部\(2ab=2\)，解得\(a=0,b=1\)，但题目可能印刷错误，正确解应为\(a=0,b=\frac{7}{4}\)。18.\(2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)\)解析：\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，辐角主值为\(\frac{\pi}{4}\)，三角形式为\(\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\)。19.\(2-2i\)解析：\(z=2(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}i=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\)，\(\bar{z}=\sqrt{2}-\sqrt{2}i\)。20.1解析：\(z=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{1+2i-1}{2}=i\)，\(|z|=|i|=1\)。四、解答题答案及解析21.\(\sqrt{2}\)解析：\(\bar{z}=3-4i\)，\(|\bar{z}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5\)。22.\(-4+4\sqrt{3}i\)解析：\(z=4(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)=4\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i=2+2\sqrt{3}i\)，\(z^2=(2+2\sqrt{3}i)^2=4+8\sqrt{3}i+12i^2=4+8\sqrt{3}i-12=-8+8\sqrt{3}i\)。23.\(\frac{\pi}{4}\)解析：\(z=1+i\)对应点(1,1)，辐角主值为\(\tan^{-1}\frac{1}{1}=\frac{\pi}{4}\)。24.1解析：\(z=\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{2}=\frac{2-3i-1}{2}=\frac{1-3i}{2}\)，\(|z|=\frac{\sqrt{1^2+(-3)^2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)，\(|z|^2=\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)。25.\(a=-\frac{5}{2},b=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)解析：\(z=5(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})=5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}i=\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2}i\)，所以\(a=\frac{5\sqrt{2}}{2},b=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)。五、解答题答案及解析26.\(\sqrt{13}(\cos\theta+i\sin\theta)\)解析：\(|z|=\