福建省泉州德化县联考2024年数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．的面积为2，边的长为，边上的高为，则与的变化规律用图象表示大致是（）A． B．C． D．2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（）A． B． C． D．3．定义新运算：，例如：，，则y=2⊕x（x≠0）的图象是（）A． B． C． D．4．电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选中号码全部正确则获一等奖,你认为获一等奖机会大的是（）A．“22选5” B．“29选7” C．一样大 D．不能确定5．如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），若点的横坐标的最小值为0，则点的横坐标最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-3 B．k≥-3 C．k≥0 D．k≥17．下列各式中，均不为，和成反比例关系的是()A． B． C． D．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF，延长DA交FG于点H，则GH的长为（）A．8﹣4 B．﹣4 C．3﹣4 D．6﹣39．如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A． B． C． D．10．在△ABC中，若|cosA．45° B．60° C．75° D．105°11．关于的一元二次方程有一个根为，则的值应为（）A． B． C．或 D．12．在一个万人的小镇，随机调查了人，其中人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．一元二次方程5x2﹣1＝4x的一次项系数是______．14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以原点为位似中心，把线段放大，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________．15．如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作；取中点，作∥，∥，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去，则=____________________.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以A，B为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为_____．17．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是．18．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______三、解答题（共78分）19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．（1）当sinB=时，①求证：BE＝2CD．②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．（2）当sinB=时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．20．（8分）已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点.（1）求、的值；（2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线上的一动点，以为圆心、为半径的圆与轴相交于、两点，若的面积为，请直接写出点的坐标.21．（8分）如图，△ABC的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A（3，3），B（2，1），C（5，1），将△ABC绕点O逆时针旋转180°得△A′B′C′，请你在平面直角坐标系中画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′的顶点坐标．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO=∠D；（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．23．（10分）某学校打算用篱笆围成矩形的生物园饲养小兔（1）若篱笆的长为16m，怎样围可使小兔的活动范围最大；（2）求证：当矩形的周长确定时，则一边长为周长的时，矩形的面积最大.24．（10分）如图，是△ABC的外接圆，AB是的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若AD=2，CD=4，求BD的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．（1）求反比例函数的表达式及点坐标；（2）请直接写出当为何值时，；（3）求的面积．26．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2，双曲线经过点A．将△AOB绕点A顺时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的负半轴上，若AB的对应线段AC恰好经过点O．（1）求点A的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据三角形面积公式得出与的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．【详解】根据题意得∴∵∴与的变化规律用图象表示大致是故答案为：A．本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．2、D【分析】把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可．【详解】解：如图所示，在Rt△ACD中，AD=4,CD=3,∴AC===5∴==.故选D.本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．3、D【分析】根据题目中的新定义，可以写出y=2⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．【详解】解：由新定义得：，根据反比例函数的图像可知，图像为D．故选D．本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用新定义写出正确的函数解析式，再根据函数的解析式确定答案，本题列出来的是反比例函数，所以掌握反比例函数的图像是关键．4、A【解析】从22个号码中选1个号码能组成数的个数有22×21×20×19×18=3160080，选出的这1个号码能组成数的个数为1×4×3×2×1=120，这1个号码全部选中的概率为120÷3160080=3.8×10−1；从29个号码中选7个号码能组成数的个数为29×28×27×26×21×24×23=7866331200，这7个号码能组成数的个数为7×6×1×4×3×2×1=1040，这7个号码全部选中的概率为1040÷7866331200=6×10−8，因为3.8×10−1＞6×10−8，所以，获一等奖机会大的是22选1．故选A．5、B【分析】根据待定系数法求得顶点是A时的解析式，进而即可求得顶点是B时的解析式，然后求得与x轴的交点即可求得．【详解】解：∵点C的横坐标的最小值为0，此时抛物线的顶点为A，

∴设此时抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，

代入（0，0）得，a+1=0，

∴a=-1，

∴此时抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，

∵抛物线的顶点在线段AB上运动，

∴当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，

∴抛物线从A移动到B后的解析式为y=-（x-5）2+4，

令y=0，则0=-（x-5）2+4，

解得x=1或3，

∴点D的横坐标最大值为1．

故选：B．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，明确顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，是解题的关键．6、D【解析】根据∆>0且k-1≥0列式求解即可.【详解】由题意得()2-4×1×(-1)>0且k-1≥0，解之得k≥1.故选D.本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.7、B【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．【详解】解：A.，则，x和y不成比例；B.，即7yx=5，是比值一定，x和y成反比例；C.，x和y不成比例；D.，即y：x=5：8，是比值一定，x和y成正比例.故选B.此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择．8、A【分析】作辅助线，构建直角△AHM，先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA＝30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长，由此得AM和HM的长，相减可得结论．【详解】如图，延长BA交GF于M，由旋转得：∠GBA＝30°，∠G＝∠BAD＝90°，BG＝AB＝4，∴∠BMG＝60°，tan∠30°＝＝，∴，∴GM＝，∴BM＝，∴AM＝﹣4，Rt△HAM中，∠AHM＝30°，∴HM＝2AM＝﹣8，∴GH＝GM﹣HM＝﹣（﹣8）＝8﹣4，故选：A．考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30°的性质，解题关键是直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值．9、D【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.【详解】∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C．故选D．【点晴】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.10、C【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得

cosA=12，tanB=1，

∴∠A=60°，∠B=45°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．

故选C11、B【分析】把x=0代入方程可得到关于m的方程，解方程可得m的值，根据一元二次方程的定义m-2≠0，即可得答案.【详解】关于的一元二次方程有一个根为，且，解得，．故选B．本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，明确一元二次方程的二次项系数不为0是解题关键.12、D【解析】根据等可能事件的概率公式，即可求解．【详解】÷=，答：他看该电视台早间新闻的概率大约是．故选D．本题主要考查等可能事件的概率公式，掌握概率公式，是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、-4【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：∵5x2﹣1＝4x，方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，则一次项系数是﹣4，故答案为：﹣4本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．14、【分析】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出，从而求出点的坐标．【详解】由题意可知：OA=2，AB=1，，△OAB∽△∴即解得：∴点的坐标为（4,2）故答案为：．此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键．15、【分析】先求出△ABC的面积，再根据中位线性质求出S1，同理求出S2，以此类推，找出规律即可得出S2019的值.【详解】∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴△ABC的高=∴S△ABC=，∵E是BC边的中点，ED∥AB，∴ED是△ABC的中位线，∴ED=AB∴S△CDE=S△ABC，同理可得S△BEF=S△ABC∴S1=S△ABC==，同理可求S2=S△BEF=S△ABC==，以此类推，Sn=·S△ABC=∴S2019=.本题考查中位线的性质和相似多边形的性质，熟练运用性质计算出S1和S2，然后找出规律是解题的关键.16、6﹣π【分析】利用勾股定理得出AB的长，再利用图中阴影部分的面积是：S△ABC﹣S扇形面积求出即可．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∴S阴影部分＝×3×4﹣＝6﹣π．故答案是：6﹣π．此题主要考查不规则图形的面积求解，解题的关键是熟知割补法的应用.17、π﹣1．【详解】解：在Rt△ACB中，AB==，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC==π﹣1．故答案为π﹣1．考点：扇形面积的计算．18、8m【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得，即，解之可得．【详解】如图，

由题意知∠BAO=∠C=90°，

∵∠AOB=∠COD，

∴△ABO∽△CDO，

∴，即，

解得：CD=8，

故答案为：8m．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）①证明见解析；②BE＝2CD成立.理由见解析；（2）2或4．【分析】（1）①作EH⊥BC于点H，由sinB=可得∠B=30°，∠A=60°，根据ED⊥AC可证明四边形CDEH是矩形，根据矩形的性质可得EH=CD，根据正弦的定义即可得BE＝2CD；②根据旋转的性质可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差关系可得∠CAD＝∠BAE，根据=可证明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性质可得，进而可得BE=2CD；（2）由sinB=可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根据ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如图，分两种情况讨论，通过证明△ACD∽△ABE，求出CD的长即可.【详解】（1）①作EH⊥BC于点H，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠C＝90°，∴四边形CDEH是矩形，即EH=CD.∴在Rt△BEH中，∠B=30°∴BE＝2EH∴BE＝2CD.②BE＝2CD成立．理由：∵△ADE绕点A旋转到如图2的位置，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，∴，∴△ACD∽△ABE，∴，又∵Rt△ABC中，＝2，∴＝2，即BE＝2CD.（2）∵sinB=，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，将△ADE绕点A旋转，∠DEB＝90°，分两种情况：①如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝2，∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，∴Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF﹣EF＝4，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC：AB＝1：，AD：AE＝1：，∴，∴△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝2；②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝2，又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，∴Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF+EF＝8，又∵△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝4，综上所述，线段CD的长为2或4．本题考查三角函数的定义、特殊角的三角函数值及相似三角形的判定与性质，根据正弦值得出∠ABC的度数并熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键.20、（1），；（2）；（3）或或【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可(2)过点作，过点作.证明△CMD相似于△AME，再根据对应线段成比例求解即可(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y的关系，从而得出y的值，再代入抛物线解析式求出x的值，得出点坐标.【详解】解：(1)把和代入得：解方程组得出：所以，，(2)由已知条件得出C点坐标为，设.过点作，过点作.两个直角三角形的三个角对应相等，∴∴∴∵解得：∴(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，，∵MP与PE都为圆的半径，∴MP=PE∴整理得出，∴∵∴y=1,∴当y=1时有，，解得，；∴当y=-1时有，，此时，x=0∴综上所述得出P的坐标为：或或本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.21、A′（﹣3，﹣3），B′（﹣2，﹣1），C′（﹣5，﹣1）．【解析】试题分析：由于△ABC绕点O逆时针旋转180°得△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′关于原点中心对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出A′点、B′点、C′点的坐标，再描点即可．解：如图，△A′B′C′为所作，A′（﹣3，﹣3），B′（﹣2，﹣1），C′（﹣5，﹣1）．考点：作图-旋转变换．22、（1）见解析；（2）1．【解析】试题分析：根据OC=OB得到∠BCO=∠B，根据弧相等得到∠B=∠D，从而得到答案；根据题意得出CE的长度，设半径为r，则OC=r，OE=r－2，根据Rt△OCE的勾股定理得出半径．试题解析：（1）证明：∵OC=OB，∴∠BCO=∠B∵，∴∠B=∠D，∴∠BCO=∠D．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=．在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA－AE=r－2，∴，解得：r=1，∴⊙O的半径为1考点：圆的基本性质23、(1)4;(2)证明见详解.【分析】（1）设长为x，面积为y，利用矩形的面积求法得出y与x之间的函数关系式进行分析即可；（2）设周长为4m，一边长为x，面积为y，列出关系式进行验证求证即可.【详解】解：（1）长为x，宽为8-x，列关系式为，配方可得，可得当x=4时，面积y取最大值；（2）设周长为4m，一边长为x，列出函数关系式即可知当x=m时，即一边长为周长的时，矩形的面积最大．本题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．24、（1）证明见解析；（2）．【分