高中数学第一章三角函数142正弦函数余弦函数的性质2教案省公开课一等奖新课获奖课件

1.4.2

正弦函数、余弦函数性质(二)1/442/44正弦函数，余弦函数图象和性质正弦函数余弦函数图象值域________________[-1，1][-1，1]3/44正弦函数余弦函数单调性在________________(k∈Z)上递增，在_________________(k∈Z)上递减.在________________(k∈Z)上递增，在________________(k∈Z)上递减.最值x=_______(k∈Z)时，ymax=1；x=_______(k∈Z)时，ymin=-1.x=_____(k∈Z)时，ymax=1；x=________(k∈Z)时，ymin=-1.[2kπ-π，2kπ][2kπ，2kπ+π]2kπ2kπ+π4/441.判一判(正确打“√”，错误打“×”)(1)函数y=cos2x在上是减函数.()(2)满足2sinx=3x不存在.()(3)在区间［0,2π］上,函数y=cosx仅在x=0时取得最大值1.()5/44【解析】(1)错误.函数y=cos2x在上是增函数.(2)正确.sinx≤1,故sinx=无解.(3)错误.在区间［0,2π］上,函数y=cosx在x=0与x=2π时取得最大值1.答案：(1)×(2)√(3)×6/442.做一做(请把正确答案写在横线上)(1)函数单调减区间是________.(2)若cosx=2m-1有意义，则m取值范围是________.(3)函数y=cosx，x∈值域为________.7/44【解析】2.(1)由2kπ≤x－≤2kπ+π(k∈Z)可得：2kπ+≤x≤2kπ+π+(k∈Z)，即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).答案：(2)因为－1≤cosx≤1，即－1≤2m－1≤1，解得：0≤m≤1.答案：［0,1］8/44(3)y=cosx在上是增函数，在上是减函，且所以当时，当x=0时，ymax=1，故函数y=cosx,x∈值域为答案：9/44【关键点探究】知识点1

正弦、余弦函数单调性对正弦、余弦函数单调性三点说明(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间.(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数单调区间(或单调性)是求值域(或最值)关键一步.10/44(3)确定含有正弦函数或余弦函数较复杂函数单调性时，要注意使用复合函数判断方法来判断.11/44【微思索】(1)正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数在定义域上是减函数,这种说法对吗?提醒：不正确.正弦函数在每个闭区间上是增函数,并不是在整个定义域上是增函数.余弦函数在闭区间［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)上是减函数,并不是在整个定义域上是减函数.12/44(2)当ω<0时，求y=Asin(ωx+φ)单调区间时应对解析式怎样处理？提醒：可先利用诱导公式将其化为y=－Asin(－ωx－φ)，则y=Asin(－ωx－φ)增区间即为原函数减区间，减区间为原函数增区间.13/44【即时练】1.以下函数在上是增函数是()A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x【解析】选D.y=cos2x在上为减函数，上为增函数.14/442.函数y=－cosx在区间上是()A.增函数B.减函数C.先减后增函数D.先增后减函数【解析】选C.y=－cosx在上为减函数，在上为增函数，故选C.15/443.求函数单调增区间.【解析】令则y=－2sinz，求y=－2sinz增区间，即取y=sinz减区间，所以所以即所以单调增区间是16/44知识点2

正弦函数、余弦函数最值对正弦函数、余弦函数最值三点说明(1)明确正、余弦函数有界性，即|sinx|≤1,|cosx|≤1.(2)对有些函数，其最值不一定是1或-1，要依赖函数定义域来决定.(3)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx+φ=Z，将函数转化为y=AsinZ形式求最值.17/44【知识拓展】正弦曲线与余弦曲线对称性探究(1)正弦曲线、余弦曲线对称轴分别过曲线最高点或最低点，正弦曲线对称轴是直线x=kπ+(k∈Z),余弦曲线对称轴是直线x=kπ(k∈Z).(2)正弦曲线、余弦曲线对称中心分别是正弦曲线、余弦曲线与x轴交点，正弦曲线对称中心是(kπ,0)(k∈Z)，余弦曲线对称中心是18/44【微思索】(1)正弦函数、余弦函数图象有怎样对称性？提醒：正弦函数、余弦函数图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，而且在定义域内对称轴和对称中心不唯一.(2)求三角函数值域或最值时首先需要确定什么？提醒：需要确定函数定义域.19/44【即时练】以下关于函数y=-3cosx-1说法错误是()A.最小值为-4B.是偶函数C.当x=kπ，k∈Z时，函数取最大值D.是周期函数，最小正周期是2π【解析】选C.当x=kπ,k∈Z时，y=cosx可取到最大值，也可取最小值，故函数y=-3cosx-1,不但能取到最大值，也能取到最小值.20/44【题型示范】类型一正弦、余弦函数单调性以及应用【典例1】(1)(·怀柔高一检测)已知α,β为锐角三角形两个内角，则以下结论正确是()A.sinα<sinβB.cosα<sinβC.cosα<cosβ

D.cosα>cosβ(2)(·汉沽高一检测)比较以下各组数大小：21/44【解题探究】1.题(1)中锐角三角形各个角有怎样关系？2.题(2)中利用三角函数单调性在比较大小时应注意什么？【探究提醒】1.锐角三角形每一个角都小于90°，即任意两个内角和都大于90°.2.在利用三角函数单调性在比较大小时应注意把角放在同一单调区间内.22/44【自主解答】(1)选B.α，β为锐角三角形两个内角，所以(2)①因为而y=cosx在［0,π)上单调递减，所以即②因为而且y=sinx在上单调递增，所以即cos1<sin1.23/44【方法技巧】比较三角函数值大小策略(1)利用诱导公式转化为锐角三角函数值.(2)不一样名函数化为同名函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.24/44【变式训练】1.(·包头高一检测)cos1，cos2，cos3大小关系是_____(用“>”连接).【解析】因为0<1<2<3<π，而y=cosx在［0,π)上单调递减，所以cos1>cos2>cos3.答案：cos1>cos2>cos325/442.已知函数f(x)=2sinωx，其中常数ω>0.若y=f(x)在上单调递增，求ω取值范围.【解析】因为函数y=f(x)在上单调递增,且ω>0,所以且所以26/44【赔偿训练】已知α,β∈且cosα>sinβ，则α+β与大小为______.【解析】因为α,β∈所以又cosα>sinβ，所以而y=sinx,x∈为增函数，所以答案：27/44类型二正弦、余弦函数最值问题【典例2】(1)(·运城高一检测)已知函数y=sinx，x∈值域为________.(2)设f(x)=acosx+b最大值是1，最小值是－3，试确定最大值.28/44【解题探究】1.题(1)中欲求函数值域时首先注意什么？2.题(2)中当cosx取1和-1时函数能取到最值，需要对a进行分类讨论吗？【探究提醒】1.求此函数值域时应首先看清该函数定义域为应在此定义域内求值域.2.需要对a进行分类讨论，当a>0时，此时函数最大值为a+b，最小值为－a+b；当a<0时，此时函数最大值为－a+b，最小值为a+b.29/44【自主解答】(1)y=sinx在上为增函数，在上为减函数，当时，y=sinx有最小值当时，y=sinx有最大值1，所以值域为答案：30/44(2)由题意，a≠0，当a>0时，所以此时其最大值为1.当a<0时，所以此时g(x)=其最大值为1.综上知，g(x)最大值为1.31/44【延伸探究】若将题(1)中函数改为“y=sin2x－3sinx+1”，定义域仍为此时该函数值域又怎样求？【解析】由本例(1)知，x∈时，sinx∈

设t=sinx，则y=t2－3t+1，t∈而y=t2－3t+1在上单调递减，所以值域为32/44【方法技巧】求正弦、余弦函数值域关注点(1)形如y=asinx(或y=acosx)函数最值要注意对a讨论.(2)将函数式转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)形式.(3)换元后配方利用二次函数求最值.33/44【变式训练】(·邢台高一检测)求在上最大值和最小值.【解题指南】利用数形结合思想方法直观简单地求出函数在要求区间上最值.【解析】当x∈时，由函数图象知，f(x)=所以，f(x)在上最大值和最小值分别为34/44【赔偿训练】函数最大值与最小值之和为()A.B.0

C.-1

D.【解题指南】本题考查三角函数性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.35/44【解析】选A.因为0≤x≤9,所以所以所以所以所以函数最大值与最小值之和为36/44【规范解答】求三角函数单调区间时