2018-2019学年人教A版必修一 第三章函数的应用 单元测试

第三章测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是()解析:由二分法的定义易知选A.答案:A2.已知函数f(x)=2x-b的零点为x0,且x0∈(-1,1),则b的取值范围是()A.(-2,2) B.(-1,1)C.-12,12解析:解方程f(x)=2x-b=0,得x0=b2所以b2∈(-1,1),即b∈(-2,2)答案:A3.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)解析:因为f(x)=4x-2x+1-3为连续函数,f(1)=4-4-3=-3<0且f(2)=16-8-3=5>0.因为f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).答案:C4.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是()解析:把y=f(x)的图象向下平移一个单位长度后,只有C中的图象满足y=f(x)-1与x轴无交点.答案:C5.已知一根蜡烛长为20cm,若点燃后每小时燃烧5cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:小时)的函数关系用图象表示为()解析:本题结合函数图象考查一次函数模型.由题意得h=20-5t(0≤t≤4),故选B.答案:B6.国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为p;超过280万元的部分按(p+2)征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p+0.25),则该公司的年收入是()A.560万元 B.420万元C.350万元 D.320万元解析:设该公司的年收入为a万元,则280p+(a-280)(p+2)=a(p+0.25).解得a=280×22答案:D7.导学号03814059已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为()A.2 B.3C.4 D.与a的值有关解析:设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象如图所示.由图可知,两个图象有两个交点,故方程a|x|=|logax|有两个根.故选A.答案:A8.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为四个选项中的()解析:设AB=a,则y=12a2-12x2=-12x2+12a2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴上方答案:C9.已知某市生产总值连续两年持续增加,若第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p+q2C.pq D.(p+1解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=(p+1)(q+1答案:D10.已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)解析:函数f(x)=|2x-1|,x<2,方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图象与y=a有三个不同的交点.根据图象可知,当0<a<1时,函数y=f(x)的图象与y=a有三个不同的交点,方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则a的取值范围是(0,1).答案:A11.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0解析:设y1=2x,y2=1x-1如图,在区间(1,x0)内,y2=1x-1的图象在y1=2x图象的上方,所以2x1+11-x1<0,即f(x1)<0,同理答案:B12.若函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=()A.2 B.3 C.4 D.5解析:设g(x)=lnx,h(x)=-3x+7,则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点.在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象,如图所示.由图象知函数f(x)的零点属于区间1,又f(1)=-4<0,f(2)=-1+ln2=ln2e<0,f(3)=2+ln3>0,所以函数f(x)的零点属于区间(2,3).所以n=2答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f(x)=1-x解析:由f(x)=0,即1-x21+x即函数f(x)的零点为1.答案:114.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,则一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时才能开车.(精确到1小时)解析:设至少经过x小时才能开车,由题意得0.3(1-25)x≤0.09,∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.故填5.答案:515.里氏震级M的计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍(假设二者相应的标准地震的振幅相同).解析:第一空,lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lgA1-lgA0,5=lgA2-lgA0,所以A1=109A0,A2=105A0,A1A2=答案:61000016.函数f(x)=log2x,0<x<2,12x+解析:如图,画出函数图象,y=12x+34(x>2)的值域是34,1,函数y=f(x)与y=仅有一个交点答案:≤34或=三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N,求n的值.解∵a>2,∴f(x)=logax+x-b在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b,∵2<a<3<b<4,∴0<loga2<1,-2<2-b<-1.∴-2<loga2+2-b<0.又1<loga3<2,-1<3-b<0,∴0<loga3+3-b<2,∴f(2)<0,f(3)>0.又f(x)在(0,+∞)上是单调函数,∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点.∴n=2.18.导学号03814060(本小题满分12分)如图,直角梯形ABCD的两底边分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线MN⊥AD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.解①当点N在BC上时,y=(2a-x)·a(a<x≤2a);②当点N在AB上时,y=3a22-12x2综上,有y=319.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2.(1)求f(x);(2)当函数f(x)的定义域是[0,1时,求函数f(x)的值域.解(1)∵f(x)的两个零点是-3和2,∴函数的图象经过点(-3,0),(2,0).∴有9a-3(b-8)-a-ab=0,①4a+2(b-8)-a-ab=0,②①-②,得b=a+8.③③代入②,得4a+2a-a-a(a+8)=0,即a2+3a=0.∵a≠0,∴a=-3.∴b=a+8=5.∴f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18=-3x+1函数图象的对称轴方程是x=-12又0≤x≤1,∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18.∴函数f(x)的值域是[12,18.20.(本小题满分12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobie”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=32a-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司的总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?解(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益f(50)=32×50-6+14×70+2=43.5((2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=32x-6+14(120-x)+2=-14x+3依题意得x≥40,120-x≥40,故f(x)=-14x+32x+26(40≤x≤令t=x,则t∈[210,45,所以y=-14t2+32t+26=-14(t-62)2+当t=62,即x=72万元时,y的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.21.(本小题满分12分)经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=40+x,1≤x≤10,60-x,10<x≤30,第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.解(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1200,解得a=50.从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1575(元),即第15天该商品的销售收入为1575元.(2)由题意可知y=(即y=-当1≤x≤10时,y=-x2+10x+2000=-(x-5)2+2025.故当x=5时y取最大值,ymax=-52+10×5+2000=2025.当10<x≤30时,y<102-110×10+3000=2000.故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2025元.22.导学号03814061(本小题满分12分)通过市场调查,得到某种纪念章每1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下表:上市时间x/天41036市场价y/元905190(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=alogbx.(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.(3)设你选取的函数为f(x),若对任意实数,方程f(x)=x+2m+120恒有两个相异的实根,求m的取值范围.解(1)∵随着时间x的增加,y的值先减少后增加,而在所给的三个函数中y=ax+b和y=alogbx显然都是单调函数,不满足题意,∴y=ax2+bx+c最合适.(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入方程,