2025届三湘名校高三第二次大联考三湘数学答案

三湘名校教育联盟●2025届高三第二次大联考●数学选择题:123456789ABCCDDACABDACDADABD【解析】由已知有A=(—∞,—1]U[6,十∞),所以CRA=(—1,6).【命题立意】本题考查集合的补集运算,考查学生的数学运算能力.【解析】由已知有所以|a十【命题立意】本题考查复数的乘法运算,复数的模,考查学生的数学运算能力.7),(8,9)共14种情况,因此概率为故选C.【命题立意】本题考查概率的古典概型,考查学生的数学运算能力.【解析】由已知有f(父)为奇函数,且f(父)为周期函数,周期为4,所以f(—2)=—f(2)=f(—2十4)=f(2),即f(2)=f(—2)=0,作出f(父)的大致图象如下:由图象可知,f(父)在[—6,6]上零点的个数为13,故选C.【命题立意】本题考查抽象函数的性质、结合函数的图象解决函数零点的问题,考查学生的数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.【解析】由图可知f(0)=1→Asinφ=1,“φ∈(0,π),:sinφ>0,由图可知A=2,:或由图可知则由图可知f(4)=—2,sin(4w十φ)=—1,即 EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(π),6)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(k),2)【高三数学参考答案第1页(共10页)】【高三数学参考答案第2页(共10页)】对于选项B,函数f(x)的单调递增区间为[6k—2,6k十1](k∈Z),故B错误;对于选项十在区间[—2π,2π]上有共计4个零点,故C错误;对于选项D,g(x)=2sinx十十2sinx十=\sinx十3cosx=2\sinx十≤2\,故D正确.【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质,考查学生的数学抽象以及数学运算能力.【解析】首先比较a与c的大小令f易知函数在上单调递增,又\<\<2,所以即十十因此a>c;再比较a与b的大小十十所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,十∞)上单调递减,所以max=g=0,所以即a—b<0,故a<b.综上c<a<b,选D.【命题立意】本题考查利用函数的单调性比较大小,考查学生的逻辑推理以及数学运算能力.【解析】连接A1C,易知A1C丄平面AB1D1,记A1C与平面AB1D1交于点Q,易知Q为线段A1C上靠近点A1的三等分点,记另一个三等分点为E,则A1与E关于平面AB1D1对称,所以|PA1|=|PE|,因此若在△AB1D1内部(不含边界)存在点P使得|PM|—|PA1|有最大值,则直线ME与平面AB1D1的交点在△AB1D1内部(不含边界).作出四边形ACC1A1如图,其中点N为CC1的中点,因此当点M在线段CN上(不含端点)运动时,满足题意,因此【命题立意】本题考查对称转换求空间点与点距离的运算,考查学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算能力.【解析】对于①,若a5=37,则a4=18,a3=9,a2=4,此时无符合条件的a1,即①错误;对于②,易知a2n—1为奇数,且a2n为偶数,所以a2n十1=2a2n十1=4a2n—1十1,所以a2n十1十又a1十所以即②正确;对于③,因为an十1≥2an,所以5n≥a1十2a1十22a1十…十2n—1a1=(2n—1).a1,即③正确;对于④,因为an十1≤2an十1,所以an十1十1≤2(an十1),所以an≤(a1十1).2n—1—1,所以5n≤(2n—1).(a1十1)—n,即④正确.综上共有3个正确.【高三数学参考答案第3页(共10页)】【解析】由图中的数据可知该校教师政治面貌情况如下表:共产党民主党无党派合计中老年9中青年合计对于选项故A正确;对于选项故B正确;对于选项故C错误;对于选项D,因为所以依据α=0.001的独立性检验分析,该校教师是否为共产党员与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.001,因此选项D正确;综上,选ABD.【命题立意】本题考查利用数学图表解决古典概型、分层抽样、独立性检验等相关知识,考查学生的数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.【解析】对于选项A:因为底面ABCD为正方形,P、O分别是正四棱柱ABCDA1B1C1D1上、下底面的中心,所以OC丄OB,PO丄OC,所以OC丄平面POB,所以OC丄PB,故选项A正确;对于选项B:设A1B1,BC的中点为Q,R,连接QB,PR,因为QP=BR,QPⅡBR,所以QBⅡPR,又A1EⅡQB,所以A1EⅡPR,所以A1E与PC为异面直线,故B错误;以点O为原点,直线OA,OB,OP所在直线分别为x,y,义轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AA1=2,则A(→E(1,1,0),P(0,0,2),B(0,2,0),D(0,—2,0),C(—2,0,0),A1E=→→→(—1,1,—2),PA=(2,0,—2),BC=(—2,—2,0),PB=(0,2,—2),设平面PBC的法向量为n=(x,y,义),则由得同理可得平面PAD的一个法向量m=(1,—1,1),对于选项故选项C正确;对于选项D:由于平面PAD的法向量为m=(1,—1,1),平面PBC的法向量为n=(—1,1,1),所以【高三数学参考答案第4页(共10页)】所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为,故选项D正确.故选ACD.【命题立意】本题考查空间几何体中的线面位置关系,异面直线所成的角,线面角等问题,考查学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算能力.【解析】不妨设O(0,0),直线l的方程为x=b,Q(b,kb)、P(x,y),则由题意有当x≠0时,将代入化简得(x—b)2(x2十y2)=a2x2(x≠0),当x=0时因此当a<b时,不存在实数k使得等式成立,即点P的轨迹为(x—b)2(x2十y2)=a2x2(x≠0),不过原点,当a≥b时,存在实数k使得等式成立,即点P的轨迹方程为(x—b)2(x2十y2)=a2x2,经过原点.对于选项A,点P的轨迹方程为(x—1)2(x2十y2)=4x2,故A正确;对于选项B,由对称性易知,蚌线为轴对称图形,其对称轴为过点O且与直线l垂直的直线,B错误;对于选项C,当a<b时,C错误;对于选项D,当x>a十b或x<b—a时,a2x2=(x—b)2(x2十y2)>a2(x2十y2),不成立,因此对于蚌线上任意一点P(x,y),都有b—a≤x≤b十a,(当y=0时取等号),因此选项D正确;综上,选AD.【命题立意】本题考查利用曲线的方程研究曲线的相关性质,考查学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算能力.【解析】如图,对于选项A,点F1到直线的距离为d1= 又|PF1|=\(x1十2)2十yEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1)=\(x1十2)2十3(EQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1)故直线PI的方程为故A正确;对于选项B,由MOⅡPF2有上EPF1=上EPF2=上MEP,因此|ME|=|PM|=|MF1|, 设|PF2|=2t,则|PF1|=2十2t,|ME|=1十t,|MO|=2|PF2|=t,故|OE| 【高三数学参考答案第5页(共10页)】因此点E在以O为圆心,1为半径的圆上,故B正确;对于选项C,设Q(x2,y2),由A选项可知,直线PI的方程为直线QI的方程为1,联立解之有设直线PQ的方程为x=my十2,所以所以点I在定直线上,故C错误;对于选项D,由C选项可知所以又所以IF2丄PQ,故D正确.综上,选ABD.【命题立意】本题考查利用双曲线的有关性质,考查学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算能力.非选择题:【解析】由CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up4(2),n)=CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up4(7),n),有n=9,故展开式的通项为Tr十1=CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up4(r),9)r故的展开式中常数项为T4=CEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(3),9)=84.【命题立意】本题考查二项式定理,考查学生的逻辑推理、数学运算能力.【解析】设所求直线l与曲线y=x2和y=ln(2x)分别相切于点P(x1,y1),Q(x2,y2),则过点P的y=x2的切线方程为y=2x1(x—x1)十xEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1)=2x1x—xEQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up3(2),1),过点Q的y=ln(2x)的切线方程为十对比系数得将代入中得可取x1=1,此时直线l的方程为y=2x—1,即2x—y—1=0.【命题立意】本题考查曲线的公切线问题,考查学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算能力.【解析】如图,记直线AF1与椭圆C的另一个交点为E,连接EF2,易知DF1ⅡEF2,所以,设|EF1|=m,则|AE|=a十m,|AF2|=a,|EF2|=2a—m,由AF2丄EF2,可知2,解得3m=2a,因此【高三数学参考答案第6页(共10页)】【命题立意】本题考查椭圆的有关性质,考查学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算能力.【解析】过点A作APⅡDE交ΘO于点P,如图所示,当点P位于A、B位置时●作上PAG=90。^→→^→→AF>0,由题意可知点F在劣当点F在劣弧上AG运动时,AP●AF<0,当点F在优弧AGAF>0,由题意可知点F在劣^弧上AG运动,过点O作AP的垂线,垂足为M,过点O作AG的垂线交AG于N,交ΘO于F/,分别过点F,F/作AP的垂线,垂足分别为Q/,Q,→→→→→→→→→→此时AP●AF=AP●AF十AP●FQ/=AP●AQ/≥AP●AQ(当F,F/重合时取等),设AM=d(d∈[0,6)),则AP=2d,AQ=MQ—MA=3—d,所以EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(—→),AP)●EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(—→),AQ)=—2d(3—d)=2d2—6d=2(d—2—,所以【命题立意】本题考查向量的数量积问题,考查学生的数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.17.【解析】(1)在△ABD中,由余弦定理有BD2=AB2十AD2—2AB●AD●cosA=8—8cosA.如图,作BM丄CD交CD于M,设上DBC=2θ,所以sin上因此5△又5△ABD=2sinA,由5△△BCD有●2A—24cosA十5=0,解之得或此时BD2=8—8cosA=6,sin上分 由有则当时,sinA●sinC取最大值.………………10分【命题立意】本题考查余弦定理,考查学生的逻辑推理以及数学运算能力.【高三数学参考答案第7页(共10页)】18.【解析】(1)连接CM,点Q即为线段CM的中点,连接PQ,由于AD=BM=2CD=4,BC=2\,AD丄平面BCD,所以所以BC2十CD2=BD2,所以BC丄CD,又因为AD丄平面BCD,BCG面BCD,AD丄BC,AD∩CD=D,所以BC丄平面ACD,………………………3分又因为P,Q分别为BM,CM的中点,所以PQⅡBC,所以PQ丄平面ACD;………………………5分(2)由(1)可知,以C为坐标原点,CD,CB分别为x,y轴,过C与DA平行的向上的方向为义轴,建立如图所所以分设平面CPD的法向量为m=(x,y,义),设直线AB与平面CPD所成角为θ,则分【命题立意】本题考查线面垂直的判定,利用空间向量求线面角的问题,考查学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算能力.19.【解析】(1)因为2an十1—anan十1=1,所以an十1(2—an)=1,又即十1,代入an十1=1中有化简得bn十所以数列是以为首项,—1为公差的等差数列,所以………………6分由有十十分当n≥3时分所以当n≥3时,5n>52>51,【高三数学参考答案第8页(共10页)】所以,当n∈N*时,5n<23.…………………【命题立意】本题考查已知数列的递推关系求数列的通项公式,利用裂项相消求数列的前n项和的问题,考查学生的逻辑推理以及数学运算能力.20.【解析】(1)设M到直线的距离为d,由于动圆M与圆C相外切,所以|MC|=d十,所以M到直线y=—1的距离等于M到点C(0,1)的距离,由抛物线的定义可知,M的轨迹E为抛物线,………………3分其焦点为C(0,1),准线为y=—1,所以抛物线E的方程为x2=4y;……………5分(2)设点P(2m,m2),由可知,直线l的斜率为m,所以直线AB的方程为y=mx十5,……………7分代入x2=4y中有x2—4mx—20=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1十x2记线段AB的中点为M,则MP丄x轴.由于PA丄PB,所以,联立解之有所以点P的纵坐标为.…………12分【命题立意】本题考查利用定义法求曲线的轨迹方程,直线与抛物线的位置关系,考查学生的逻辑推理以及数学运算能力.21.【解析】(1)设事件A为在本次点球大战中,两队进入了突然死亡阶段,记事件B,C,D分别表示两队的比分为2:2,3:3,4:4,…………………1分则P(A)=P(B)十P(C)十P(D),分分 所以两队没有进入突然死亡阶段的概率为0.82;…………5分(2)若法国队先踢点球,则X=8,此时阿根廷队的第四名队员踢进了点球,法国队的第四名队员没有踢进,【高三数学参考答案第9页(共10页)】…………………………6分若阿根廷队先踢点球,则X的可能取值有8,9,当X=8时,此时法国队的第四名队员没有踢进,阿根廷队的第四名队员踢进了点球……………………………8分当X=9时,此时阿根廷队的第四名队员没有踢进,第五名队员踢进了点球,法国队的第四名队员没有踢进点球……………10分综上,在本次点球大战中,阿根廷队在没有进入突然死亡阶段就以4:2的比分获得了胜利的条件下,P(X= 十分【命题立意】本题考查概率的基本运算,分布列及期望的求法等知识,考查学生的数据处理、逻辑推理以及数学运算能力.22.【解析】(1)法一:令F(x)=f(x)—a,由已知有F(x)的零点为x1十a、x2十a,下证:f(x)=ex—x>|x|恒成立.当x<0时,f(x)=ex—x>|x|兮ex>0,显然成立.当x≥0时,f(x)=ex—x>|x|兮ex—2x>0,………………2分令G(x)=ex—2x,GI(x)=ex—2,因此G(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,十∞)上单调递增,……………4分所以G(x)≥G(ln2)=2—2ln2>0,命题成立;综上,f(x)=ex—x>|x|恒成立.又FI(x)=ex—1,所以F(x)在(—∞,0)上单调递减,在(0,十∞)上单调递增,综上,得到大致图象如图.|=|xB—xA|<|xD—xc|=2a.…………5分法二:令F(x)=f(x十a)—a=ex十a—x—2a,FI(x)=ex十a—1,因此F(x)在(—∞,—a)上单调递减,在(—a,十∞)上单调递增,所以F(x)min=F(—a)=1—a<0,即a>1,此时F(0)=ea—2a,令G(x)=ex—2x,GI(x)=ex—2,所以G(x)在(—∞,ln2)上单调递减,在(ln2,十∞)上单调递增,所以G(x)min=G(ln2)=2—2ln2>0,……………………3分所以F(0)=ea—2a>0,所以F(—a)F(0)<0,又F(—2a)=e—a>0,所以F(—2a)F(—a)<0,不妨设x1<x2,由F(x)的单调性可知—2a<x1<—a<x2<0,【高三数学参考答案第10页(共10页)】|<|0—(