第2章 1.1椭圆及其标准方程 北师大版高中数学选择性必修第一册课件

第二章1.1椭圆及其标准方程基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义和标准方程.3.会求椭圆的标准方程.基础落实·必备知识一遍过知识点1

椭圆的定义1.定义平面内到两个定点F1,F2的距离之

等于

(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.

这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距.2.定义的集合语言表述集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.和常数名师点睛在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件.思考辨析若平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,试探索点M的轨迹图形.提示

根据题意,得|MF1|+|MF2|=2a,①当2a>|F1F2|时,满足椭圆的定义,可得点M的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆;②当2a=|F1F2|时,|MF1|+|MF2|=|F1F2|,点M在线段F1F2上,点M的轨迹为线段F1F2;③当2a<|F1F2|时,|MF1|+|MF2|<|F1F2|,不存在满足条件的点M.综上所述,点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(

)(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.(

)(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和的点的轨迹是椭圆.(

)(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.(

)××√×知识点2

椭圆的标准方程标准方程一定是分式且分母大的在前

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

图形

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标

a,b,c的关系

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a2=b2+c2名师点睛1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.2.两种椭圆

(a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.3.给出椭圆方程

(m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.思考辨析请探索Ax2+By2=1表示椭圆的条件.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)××√√2.[人教B版教材习题]设椭圆

+y2=1的两个焦点分别为F1,F2,且P为椭圆上一点,求|PF1|+|PF2|的值.3.[人教B版教材习题]分别根据下列条件,求椭圆的标准方程.(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(2)b=3,经过点(0,-4),焦点在y轴上.重难探究·能力素养速提升探究点一求椭圆的标准方程【例1】

求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);规律方法

求椭圆标准方程的方法(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先定位,后定量”.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.变式训练1[人教B版教材习题]分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别是F1(-3,0),F2(3,0),椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8;(2)两个焦点分别是F1(0,-4),F2(0,4),并且椭圆经过点探究点二椭圆定义的应用【例2】

(1)已知F1,F2为椭圆

的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=

.

8解析

由直线AB过椭圆的焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4×5=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.★(2)如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.解

设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,其轨迹方程为规律方法

1.利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤

2.椭圆定义的应用要注意其适用条件,涉及与几何图形有关的轨迹问题要注意特殊点的位置.C(2)如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与点C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.解

如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>2c=2.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,探究点三椭圆中的焦点三角形问题【例3】

已知P为椭圆

上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.变式探究若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.规律方法

1.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.2.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2.(3)设P(xP,yP),焦点三角形的面积

变式训练3设点P为椭圆C:上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为(

)A.24 B.12C.8 D.6C学以致用·随堂检测促达标1234561.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(

)A1234562.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是(

)B