导数综合题集锦

导数综合题集锦

I.函数/(x)=x+alnx,其中a为常数，且。工一1.

(I)当a=T时，求/")在上看］(e=2.71828..J上的值域;

(II)假设/(x)Ve-I对任意x€［ed］恒成立，求实数。的取值范围.

2.函数/(x)=«lnx--,6feR.

x

⑴假设曲线)，=/(x)在点(1J⑴)处的切线与直线x+2)，=()垂直，求a的值；

(II)求函数/(x)的单调区间；

(III)当a=l,且工之2时，证明：/(x-l)<2x-5.

3./(x)=x3-6ax2+9a2x(aeR).

(I)求函数/(x)的单调递减区间；

(II)当。>0时，假设对Vxw［0,3］有“r)W4恒成立，求实数〃的取值范围.

4.函数f(x)=；/一ax2+(a2-l)x+b(a,bGR).

(I)假设x=l为/(%)的极值点，求a的值；

(II)假设y=/*)的图象在点(1,/(!))处的切线方程为x+y-3=0,

(i)求/(x)在区间［-2,4］上的最大值；

(ii)求函数G(x)+(m+2)x+tn]e-x(meR)的单调区间

5..函数f(x)=lnx+@.

x

(I)当a<0时，求函数/(x)的单调区间;

III)假设函数f(x)在［1,e］上的最小值是±求a的值.

2

6.函数/(1)=q+ax2+(1-Z?2)x,"i、a.beR

(I)求函数/(%)的导函数f'(x)；

(2)当根=1时，假设函数/(x)是R上的增函数，求2=。+〃的最小值；

［3)当。=1,8=正时，函数/'(幻在(2,+8)上存在单调递增区间，求〃?的取值范围.

7.函数/(尤)=px-K-21nx.

X

.(1)假设〃=2,求曲线/(幻在点(1J⑴)处的切线;

(2)假设函数/(x)在其定义域内为增函数，求正实数〃的取值范围；

(3)设函数g(x)=2,若在［l,e］上至少存在一点拓，使得/.(%)>抵/)成立，求实数p的取值范

X

围。

8.设函数/(x)=/?(x--)-21nx,g(x)=x\

x

(I)假设直线/与函数/Cr),g(x)的图象都相切，且与函数/*)的图象相切于点(1,0),求实数〃

的值；

(II)假设/(/)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。

9.函数/(幻=3/一2工，8(工)=108“_¥(。>0,且。工1),其中〃为常数，如果〃(x)=/'(x)+g(x)在其

定义域上是增函数，且〃'")存在零点(/«x)为〃(x)的导函数)。

(I)求。的值；

:II)设A(m,g(M),35,g(〃))(，〃<〃)是函数y=g(x)的图象上两点，

g，(/)=g(〃"g5)(g'(x)为g(x)的导函数)，证明：m<x.<n.

n-m

22

10.设函数f(x)=xm\nxth(x)=x-x+a。

(I)当a=0时，/(x)2/?(x)在(1,+co)上恒成立，求实数m的取值范围；

(II)当m=2时，假设函数％(x)=/(x)—力。)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；

(III)是否存在实数m,使函数,f(x)和函数〃(x)在公共定义域上具有相同的单调性？假设存在，求出

m的值，假设不存在，说明理由.

12.函数/(x)=/一"nx在(1,2］是增函数，g(x)=工一。6在(0,1)为减函数.

⑴求f(x)、g(x)的表达式；

(2)求证：当戈>0时,方程/(x)=g(x)+2有唯一解：

(3)当力>-1时，假设/(x)>2/2Y-4在Xe(0,1］内恒成立,求b的取值范围.

尸

13.函数/'⑴=0,自/'(用之0在R上恒成立.

(1)求4,C,4的值；

(2)假设〃(幻=3必一灰+2_j_,解不等式r(划+〃(工)<o；

424

(3)是否存在实数加，使函数g(x)=7'(x)-〃氏在区间［皿,〃［+2］上有最小值一5?假设

存在，请求出实数m的值；假设不存在，请说明理由.

14.函数/(x)=V+OV2+X+1,«GR.

II)讨论函数/(处的单调区间；

(II)设函数/*)在区间(一|,一；)内是减函数，求。的取值范围.

15.设函数/(幻二巫-lnx+ln(x+l).

1+x

(I)求f(x)的单调区间和极值；

(II)是否存在实数a,使得关于x的不等式/(X)》。的解集为(0,+8)?假设存在，求a的取值

范围；假设不存在，试说明理由.

17.函数f(x)="'+"(4eR)

X

(1)求)(x)的极值；

(II)假设函数/(x)的图象与函数g(x)=l的图象在区间(0,/］上有公共点，求实数a的取值范围。

18.函数f(x)="at)一］n(or)+］n(x+1),(aw0,。eR)

x+\

(I)求函数/(x)的定义域；

(ID求函数/(x)的单调区间；

(III)当〃>0时，假设存在x使得/Q)Nln(2a)成立，求〃的取值范围.

20.函数g(x)=二斗的图像关于原点成中心对称，设函数“幻=-+5+1.

x+c'g(x)lnx

⑴求的单调区间；

(2)->£〃对任意X€(l,+8)恒成立.求实数〃?的取值范围(其中e是自然对数的底数).

21.设函数/*)=(X-1)2+blnx,其中b为常数.

(I)当人>5时，判断函数在定义域上的单调性；

(II)假设函数/(X)的有极值点，求〃的取值范围及/(幻的极值点：

(III)假设。=—1,试利用(II)求证：G3时，恒有，+—

22.函数f(x)=ln(x2+1),^(%)=^—+a.

x-1

(1)求g(x)在P(&gg)处的切线方程/;

(2)假设/(x)的一个极值点到直线/的距离为1,求。的值；

(3)求方程/(x)=g(x)的根的个数.

24.定义域为"的函数/。)=三吆是奇函数.

(1)求仁力的值；

⑵假设对任意的/eR,不等式/(/一2/)+.〃2「-幻<0恒成立，求女的取值范围.

25.函数/3)对任意实数x均有=@(x+2),其中常数攵为负数，旦/⑴在区间［0,2］上有表

达式f(x)=x(x-2).

(I)求/(—1)，/(2.5)的值；

(2)写出“大)在［一3,3］上的表达式，并讨论函数/*)在［-3,3］上的单调性；

13)求出/(x)在［-3,3］上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

26.函数/(x)=孤(戈+。)(A>0,aeR)

求函数/(x)的单调区间；

求函数/(X)在［1,8］上的最大值和最小值.

27.函数/(x)为定义在R上的奇函数，且当冗>0时，/(x)=(sinx+cosx『+2cos?x,

求x<0时/(x)的表达式；

假设关于工的方程/(耳-。=。有解，求实数〃的范围。

28.函数y=/(x),X€N+，满足:①对任意。力eN+，都有qf⑷十灯仙)>4(Z?)+"(a)；

②对任意〃匕V'都有f［f(n)］=3n.

(I)试证明：/(x)为A\上的单调增函数；

(II)求/⑴+/(6)+/(28)；

(III)令%=/(3"),〃wN+，试证明：

4〃+2qa2an4

29.函数/(x)=ln(at+1)+/一X?一依.

?

'：I)假设x为y=f(刈的极值点，求实数4的值；

(II)假设)，=/。)在11,+8)上为增困数，求实数。的取值范围；

(III)假设。二一1时，方程/(1一X)一(1一工)3=2有实根，求实数方的取值范围.

X

30.函数y=/(幻,xwR满足/。+1)=，/(幻，。是不为0的实常数。

(1)假设当OKxWl时，/(x)=x(l-x),求函数)，=/(©,xe[0』的值域；

(2)在⑴的条件下，求函数y=/(x),x€[〃,〃+l),〃wN的解析式；

(3)假设当0<x«l时，f(x)=3v,试研究函数y=f(x)在区间(0,+8)上是否可能是单调函数？

假设可能，求出。的取值范围；假设不可能，请说明理由。

31.函数/("=一丫3+依2+加+。在(-00,0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数/(刈在R上有

三个零点，且1是其中一个零点.

(1)求人的值；

(2)求〃2)的取值范围;

13)试探究直线y=x—l与函数y=/(x)的图像交点个数的情况，并说明理由.

32.定义在R上的函/(X)=V+公2+打(4,/?为常数)在下一1处取得极值，旦/(幻的图像在

P(lJ(1))数处的切线平行与直线)，=8x.

⑴求函数“X)的解析式及极值；

(2)设女〉0,求不等式日的解集；

112

⑶对任意a,尸sR,求证：|〃sina)-f(cos/?)|«^—.

33.函数/*)=111(1+，)一小：£/?)有以下性质：“假设

大£[凡句,则存在与£(4力)，使得〃b)-f(a)=:(/)〃成立。

b-a

11)利用这个性质证明与唯一；

(2)设A、B、C是函数/(无)图象上三个不同的点，试判断AABC的形状，并说明理由。

34.函数/(x)=ar(a£R),g(x)=In工一1.

x

(1)假设函数〃(x)=8。)+1-]/(工)一2.1存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)当〃>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数.

35,设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0£D,且存在常数a>0,使f(a)=l,又'1+/U.WJ,

(1)写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；

(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;

13)假设存在正常数T,使得等式f(x尸f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于xWD都成立，那么都称f(x)是周期

函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？假设是，那么求出它的一个周期T；假设不是，那么说明

理由。

36.设对丁任意的实数,函数f(x),S(x)满足/(x4l)=1/(x),且

/(0)=3g(x+y)=g(x)+2y,g⑸=13,neN”

(I)求数列｛/(〃)｝和｛g5)｝的通项公式;

(II)设%=0^/(〃)］,求数列匕,｝的前项和s..

(IH)设F(〃)=S,-3〃，存在整数相和M,使得对任意正整数〃不等式机恒成立，求

“一机的最小值.

37.对于定义在区间D上的函数/(x),假设存在闭区间［a,例qD和常数C,使得对任意为£团,以，

都有/(N)=C，且对任意々£D,当马任［a,切时，/(工2)>。恒成立，那么称函数/(x)为区间D上

的“平底型〃函数.

(I)判断函数/(x)=|x—l|+|x—2|和力(x)=x+|x—2|是否为R上的“平底，型”函数？并说明理

由；

［II)设/(X)是(I)中的“平底型”函数,k为非零常数,假设不等式“一无|+|，+女以壮/⑶对

一切fwR恒成立，求实数x的取值范围；

(III)假设函数g(x)=+2%+〃是区间［—2,+8)上的“平底型”函数，求相和〃的值.

38.设函数f(x)的定义域为R,假设|f(x)|W|x|时任意的实数x均成立，那么称函数f(x)为C函数。

(1)试判断函数力(x)=xsinR/,(x)=4—中哪些是C函数，并说明理由；

e+1

(2)求证：假设a>l,那么函数f(x)=ln(x2+a)Tna是。函数。

39.集合A是由具备以下性质的函数/(幻组成的：

(1)函数〃冷的定义域是域+oo);

⑵函数的值域是［-2,4)；

(3)困数/(X)在L(),+8)上是增困数.试分别探究以卜两小题:

(I)判断函数工(幻=«-2。20),及力(x)=4—6《g)x*N0)是否属于集合A?并简要说明理由.

(II)对于(D中你认为属于集合A的函数/(x),不等式/a)+/(x+2)<2/(x+l),是否对于任意

的X20总成立？假设不成立，为什么？假设成立，请证明你的结论.

40./*)是定义在[0,+8)的函数，满足/(幻=2/。+1).设/〃=口,〃+1),neN.当时，

2

f(x)=x-x.分别求当X£/1、xeI2./〃=[〃,〃+“时，/(x)的表达式/(无)、f2(x).力(X).

3

41.函数/(%)=——一x(awR,。力0).

(I)求/(X)的单调区间；

(II)曲线y=.f(x)在点(。,(/吼?))处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；

(III)假设。>0,玉>祗，曲线y=/(x)在点(再J(再))处的切线与x轴的交点为5,0)，试比拟

再与方的大小，并加以证明.

a-x2(\\

42.函数尸----+Inx«e/?.xe[—,2]

xk2)

(I)当aw[-2')时，求/(工)的最大值；

4

(II)设g(x)="(x)-hraf,女是g(x)图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数。，使得攵<1恒

成立?假设存在，求。的取值范围;假设不存在,请说明理由.

43..函数f(x)=1+”(工+1)

x

(1)求函数的定义域：

(2)确定函数£(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论；

(3)假设当x>0时，f(x)>上恒成立，求正整数k的最大值。

x+1

44.函数/(x)=log(,x和g(x)=2log,(2x+f-2),(。>0,aw11wR)的图象在x=2处的切线互相

平行.

(I)求/的值；

(II)设尸(x)=g(x)->a),当.w[l,4]时,尸(幻之2恒成立,求。的取值范围.

2Y

45.函数/(x)=aln(x+l)----+6的图象与直线x+y—2=0相切于点(0,c)。

x+\

(1)求•的值;

(2)求函数/(x)的单调区间和极小值。

46.函数./。)=2m3+如与以幻="2+5的图象都过点现2,0),且在点P处有公共切线.

(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；

⑵设厂(制=〃际(制+11]口_1)，其中加<0,求F(x)的单调区间.

8x

X

47.函数/(x)=x,g(x)=ln(l+x),h(x)=——.

1+x

〔1〕证明：当x〉0时,恒有〃x)>g(x);

〔2〕当x>。时，个等式g(x)>(攵20)恒成立，求实数k的取值范围；

32

48.函数f(x)=x+bx+cx+d有两个极值点XFI,X2=2,且直线y=6x+l与曲线y=f(函相切于P点.

(D求b和c(2)求函数y=f(x)的解析式；

⑶在d为整数时，求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.

49.函数f(x)=x3—3ax(a€R).

⑴当a=l时，求f(x)的极小值；

(H)假设直线菇x+y+m=0对任意的m£R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围；

(III)设g(x)=|f(x)],xe[—1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.

50.函数y=ix\+\,y=^2-2x+2+t,y=-(x+—)*>0)的最小值恰好是方程

2x

寸+以2+版+c=o的三个根，其中

(I)求证：/=2/7+3：

(II)设(々,N)是函数/(x)=V+以2+/次+'的两个极值点.

2

①假设|与一七1二一，求函数的解析式；②求IM—NI的取值范围.

3

51.函数f(x)=—x3+—ax2+ax-2(aER),

32

⑴假设函数f(x)在区间G8,+8)上为单调增函数，求实数a的取值范闱：

⑵设A(x、f(x。)、B(X2,f(X2))是函数f(x)的两个极值点，假设直线AB的斜率不小于求实数a的取值范

6

围.

52.函数/(x)=axy-2bx2+3cx(a,b,ceR)的图象关于原点对称，且当x=1时，/(幻取极小值-2.

3

⑴求a,b,c的值;

(2)当XE[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论.

53.对于x的三次函数/(x)=x^+4〃?+2)x+m3—6in2+9m~1.

(I)假设/G)有极值，求，〃的取值范围；

(II)当，〃在(1)的取值范围内变化时，求/'5)的极大值和极小值之和g(〃?)，并求gM

的最大值和最小值.

a3)

54.函数/(x)=ax-5(〃十2)x十6x-3.

⑴当。>2时，求危)的极小值;

(II)讨论方程/U)=0的根的个数.

55.设函数=x(x-1)U-a)(a>1)

(I)求导数/(工)，并证明/(T)有两个不同的极值点；

12)假设对于(1)中的为、七不等式/(芭)+/(电)《0成立，求〃的取值范围。

561£”,函数=

(I)当f=l时，求函数)，=/(x)在区间［0,2］的最值；

(II)假设/(x)在区间［-2,2］上是单调函数，求/的取值范围；

(1ID)是否存在常数3使得任意工€［-2,2］都有|/(外区6恒成立，假设存在，请求出3假设不

存在请说明理由.

57.设M、/“产/)是函数/(x)=+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.

(1)假设凡=-1,超=2,求函数FCr)的解析式；

(2)假设|+|01=2应，求^的最大值；

(3)假设玉<X<々，且为=。，函数g(x)=/'(x)-a*-4)，求证：|g(x)|W、a(3a+2)2.

58.函数/(x)=ax'+3,-6-—H,身(x)=3/+6%+12,和直线/〃：y=Ax+9,又/'(-1)=0.

(I)求。的值；

(II)是否存在上的值，使直线〃?既是曲线.y=/(x)的切线，又是)，=g(x)的切线：如果存在，求出

出的值；如果不存在，说明理由.

(III)如果对于所有大2-2的九都有/(工)工左1+9工以工)成立，求攵的取值范围.

59.设函数/0)=/+以2+笈*>0)的图象与直线),=4相切于"(1,4).

(I)求/(幻=炉+公2+版在区间©4］上的最大值与最小值;

(II)是否存在两个不等正数sj(s<1),当x£［5,r］时，函数/(x)=V+a^+bx的值域也是回〃,

假设存在，求出所有这样的正数SJ；假设不存在，请说明理由；

(III)设存在两个不等正数S,」(SVf),当时，函数/(%)=垢+0?+正的值域是出,如,

求正数人的取值范围.

60.函数/")=,，+“3+4：2+小在)，轴上的截距为一5,在区间［0,1］上单调递增，在［1,2］上单调递减,

又当x=0,x=2时取得极小值.

(I)求函数次此的解析式；

(II)能否找到函数垂直于x轴的对称轴，并证明你的结论；

(III)设使关于X的方程人此=入2f—5恰有三个不同实根的实数2的取值范围为集合4,且两个非零实根

为莺、及.试问：是否存在实数〃?，使得不等式病+切?+2平］一间对任意

/£［-3,3］"£A恒成立？假设存在，求机的取值范围；假设不存在，请说明理由.

61.f(x)=x3+bx2+cx+2.

(I)假设f(x)在x=l时,有极值-1,求b、C的值；

(II)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+l=0平行的切线；

(IH)记函数|f'(x)l(-lWxWl)的最大值为M,求证：M23.

2

62.设函数/(x)=|x+11+|av+11,/(-l)=/(I),且/(---)=/(—)且"NO),函数

aa

g(x)=cixy+hx2+cxg£R,c为正整数)有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、

B与坐标原点O在同一直线上。

11)试求a、b的值；

(2)假设x20时，函数g(x)的图象恒在函数/.1)图象的下方，求正整数c的值。

63.函数f［x}=V+bx2+3cx+8和g(x)=x3+bx2+ex(其中一.v6v0),F(x)=f(x)+5g(x),

乙

八l)=g'(，〃)=O.

(1)求加的取值范围；

(2)方程F(x)=0有几个实根？为什么？

64.函数_/(工户V+以2+B+dg,c,dwR且都为常数)的导函数为/。)=3/+4工，

且41)=7,设F(x)=fix)-ax2(aER).

(I)当a<2时,求尸((的极小值;

(H)假设对任意的xG［0,+oo),都有F(x)>0成立，求a的取值范围并证明不等式

f/2-13fz+39>—.

a-6

答案及解析

I.解：(I)当a=-1时，/(x)=x-Inx,

得广@)=1—............2分

X

令r(x)>0,Wl-->0,解得X>1,所以函数/(为在(1,”)上为增函数，

X

据此，函数/(幻在怆工2］上为增函数，............4分

而f(e)=e—l,/(e2)=e2—2,,所以函数/⑴在［ed］上的值域为［e—ld—2］

.............6分

(II)由广(幻=1+@,令(。)=0,得1+@=0,即x=-a,

XX

当％e(0,-〃)时，/'(x)vO,函数/(x)在(0,-〃)上单调递减；

当XC(-时，f\x)>0,函数/(x)在(一4,+co)上单调递增；.........7分

假设IW-aWe,即-eWaW-l,易得函数/(x)在［cd］上为增函数，

此时，/(1)…=/(e2)1要使/(用式e-l对x€［e,c2］恒成立，只需/(c2)《e-1即可，

所以有e2+2a«e—1,即W。—

2

而一e?+e—1Te?—3c+1)<0,即-/+e—19,所以此时无解.

222

............8分

假设eV-”。？，即一°>々>一/,易知函数/(处在［e,-上为减函数，在［-ad］上为增函数,

f(e)<e-1a<-\

2

要使/x)Ke-1对心上看］恒成立，只需。?、,即_e+e-H

/(e-)<e-la<--------

2

小一e~+e—1八—e-+e+1—e-+e—1八e'+e—1

由----------(-1)=--------<0和----------(-e-)=------->0

2222

得-e2<a”+eT..........................10分

2

假设-a"?,即三"2,易得函数/(X)在Ge?］上为减函数，

此时，f(x)^=/(e),要使/(x)We-l对xc［ed］恒成立，只需/(e)We-1即可，

所以有e+aWe-l,即又因为aK-e"所以aK-e2..............12分

综合上述，实数a的取值范围是(TO.Y'LI］.......................13分

2

2.解：⑴函数/(外的定义域为{x|x>0},

ru)=-+4.......................................................2分

xx

又曲线y=/(>)在点(1J(D)处的切线与直线x+2)，=0垂直，

所以广⑴=〃+1=2.

即el................................................................4分

(ID由于/(幻二竺¥.

厂

当。之0时，对于X£((),«),有/'")>()在定义域上恒成立，

即/(X)在(0*。)上是增函数.

当4<0U寸，由/'(X)=0,得％=G(0,+co).

Cl

当X€(0--M/V)>0,/(x)单调递增：

a

当xe(-L+8)时，/(X)<0,/(x)单调递减.....................8分

a

(III)当a=l时,f(x-l)=In(x-l)------［2,+oo).

x-\

令g(x)=ln(x-1)---!--2x+5.

x-\

-L+-L^2J2I)(丁)

g'(x)=10分

X—1(x—1)(x—1)

当x>2时,g'x(x)<0,g(x)在(2,转)单调递减.

又g(2)=0,所以g(x)时,g(x)V0.

BPIn(x-l)一一!—―2x+5<0.

x-1

故当折1,且不22时,/*一1)421一5成立.................13分

3解：(I)f\x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)<0

I：1)当。=3〃，即。=()时，f'(x)=3Y>0,不成立.

(2)当。>3。，即。<0时,单调减区间为(3。,。).

(3)当々<3。，即。>0时，单调减区间为----------5分

(II)f'(x)=3x2-\2ax+9a2=3(工-。)(工-3。)，

/(X)在(0,4)上递增,在(4,3。)上递减,在(3。,+8)上递增.

(1)当。23时，函数/(x)在［0,3］上递增,

所以函数/(外在［0,3］上的最大值是/(3),

假设对立武(),3］有/(x)W4恒成立，需要有，解得4£0.

⑵当1W。<3时，有av3W3。，此时函数/(处在［0M上递增.，在3］上递减，所以函数f(x)

在。3］上的最大值是"a),

假设对立e［0,3］有/(x)44恒成立，需要有.七解得。=1.

⑶当avl时，有3>3a,此时函数/(%)在［a,3a］上递减,在［3a,3］上递增,

所以函数/(A)在［0,3］上的最大值是f(a)或者是/(3).

由/(幻一/(3)=5—3)2(44—3)，

3

①0<5时，/⑷"⑶，

4

)⑶0，

假设对立£［0,3］有/(x)V4恒成立，需要有

_4'

解得。£口-

94

②黄。<1时，/(〃)>/⑶，

4

假设对D"［(),3］有/(x)W4恒成立，需要有解得"(；』).

,4''

综上所述，一手』］.-------------14分

4.解：［1)fXx)=x~—2.C1X+a~-1.

•••X=l是极值点

.•.八1)=0,即。2-2〃二0

「.x=0或2....................................................................................3分

⑵•・・(1J(1))在x+y-3=0上..・)⑴=2

1°

*/(1,2)在y=/(x)上.\2=--a+a~-i+b

又f(\)=k=-\:.\-2a+a2-\=-1

⑴由f\x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点.

/.f(x)在区间［-2,4］上的最大值为8......................................8分

(ii)G(x)=(x2+tnx+m)e~x

令G'(x)=O,得x=0,x=2—/n

当机=2时，G'")V(),此时G(x)在(-oo,+oo)单调递减

当机＞2时:

(―°°,,2,—

X2-m(2—m,0)0(0,+8)

m)

G'⑴—0+0—

G(幻减增减

当时G(x)在(一8,2,—m),(0,+8)单调递减，在(2—m,0)单调递增.

当机＜2时：

X(—8,0)0(0.»2—m)2—m(2—m+°°)

G'5)—0十0—

G(A-)减增减

此时G(x)在(-8,0),(2—m+8)单调递减，在(0,2-m)单调递增，综上所述：当m=2

时，GU)在(-8,+8)单调递减；

机＞2时，G(x)在(-8,2—m),(0»+8)单调递减，在(2—m,0)单调递增；

.WV2时，G(x)在［一8,0),(2-m,+8)单调递减，在(0,2-m)单调递增.

5.解：函数/(x)=ln,E+@的定义域为(0,+8)........1分

X

，,/、1ax-a-八

f\x)=-----7=—........3分

(1)a<0,:.f\x)>0.

故函数在其定义域(0,+8)上是单调递增的.........5分

(II)在［1,c］上，发如下情况讨论：

①当avl时，/'。)>0,函数/(幻单调递增，

其。最小值为/(I)=6Z<1,

这与函数在口，e］上的最小值是,相矛盾；........6分

2

②当a=l时，函数/*)在(Le］单调递增，

其最小值为/⑴=1,

同样与最小值是巳3相矛盾：........7分

2

③当Ivave时,函数/⑴在［1,4).上有了'。)<0,单调递减，

在(凡e］上有/。)>0,单调递增，所以，

函数/(x)满足最小值为f(a)=In«+1

由Ina+1=3,得a=........9分

2

④当a=e时，函数/(处在［1,6)上有广。)<0,单调递减，

其最小值为/(«)=2,还与最小值是13相矛盾；........1()分

⑤当a>c时，显然函数在［l,e］上单调递减，

其最小值为=1

仍与最小值是士3相矛盾；........12分

2

综上所述，a的值为八........13分

6.(I)解：ff(x)=mx2+2ax+(l-b2).....3分

(II)因为函数/(x)是R上的增函数，

所以/'3)20在R上恒成立,

那么有A=4?一4（1一从）$0,即/+从，1

设产sf©为参数QWY1）.

b=rsin。

那么z=a+b=r（cos6+sin。）=V2rsin（^+—）

4

当sin（e+^）=-1,且尸1时，z=〃取得最小值-血.

4

（可用圆面的几何意义解得2=〃+〃的最小值一收）....................8分

（III）①当〃?>0时/'（〃?）=〃眈2+2元一1是开口向上的加物线，显然/。）在⑵+8：|上存在子

区间使得广（x）>0,所以m的取值范围是（0,+8）.

②当m=0时，显然成立.

③当〃?<0时，/（〃?）=〃探242工一1是开口向下的抛物线，要使/'（X）在（2,+8）上存在子区

m<0m<0,

1c+、

间使广。）>0,应满足〈--->2,或“--<2,

mm

八2)>0.

/(--)>0,

m

解得一］1Wm<30,或一彳<〃2-1,所以小的取值范围是（一j3,0）.

3

那么，〃的取值范围是（一3,+8）..................................13分

4

7.解：（1）当〃=2时,

2

函数/(x)=2x----21nA；/(1)=2-2-21nl=0

x

曲线/*）在点（1,/（I））处的切线的斜率为

/ff(l)=2+2-2=2.1分

从而曲线在点处的切线方程为

即y=2x—2

(2)f\x)=p+-^---.3分

X~X

令“人）=〃人2―2人+〃，要使/（人）在定义域（0,3）内是增函

只需〃0)2。在(0,+8]内恒成立4分

由题意p>0,/2(x)=px2-2x4-P的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为

A=—e(0,4-co),

P

只需p---20,即〃21时,

P

「./(X)在.(0,+8)内为增函数，正实数p的取值范围是[1,yo)6分

(3)g(x)=2在[l,e]上是减函数,

x

=e时，

X=1时,g(x)1nhi=2e,

即g*)w[2,2«]1分

①当〃<0时，/?(%)=px2-2x+p

其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=,在y车的左侧，

P

且〃(0)<0,所以/a)在/wUM内是减函数。

当〃=0时，在h(x)=-2x

因为X£[l,e],

2x

所以/?(x)<o,r(x)=一一7<().

x~

此时，、f(x)在x£[1,e]内是减函数。

故当“W0时，，/(x)在xw[l,e]上单调递减

=>/«max=/(D=0<2,不合题意;

②当时，由xw[l,e]=%一,之0

x

所以/(X)=p(x--)-21nx<x---21nx.

xx

又由(2)知当〃=1时，/(x)在xw[l,e]上是增函数,

x----2InAt?-----21ne=e----2V2,不,合题意：11分

③当〃21时，由(2)知/(X)在xw[I,e]上是增函数,

又g(x)在xG[l,ej上是减函数,

故只需/(X)n1ax>g(X)mM，XWU，e]

而/(X)max=/(e)=Me」)一21ne,g(x)min=2

e

即P(e--)-2\ne>2,

e

解得〃>一4f二，

e--l

所以实数〃的取值范围是(聿一,+8)。13分

e-1

8.解：(I)方法一：V-----,........................2分

xx

:了0=^4f

设直线

并设/与g(x)=d相切于点M(x0,y0).......................3分

*.*g'(x)=2xA2x0=2(p-l)

2

：.x0=p-i,y0=(p-1)

代入直线/的方程，解得p=l或p=3.........................6分

方法二：

将直线方程/代入)，=/得

2(/?-l)(x-i)=0.\A=4(/?-l)2-8(p-l)=0

解得p=l或p=3.........................6分

(ii)•・•

①要使“X)为单调增函数，须/3NO在((),4＜功恒成立，

2

即/兄W在(0,48)恒成立，即p>——=--在(0,转)恒成立,

JT4-1,1

X~\—

X

2

又所以当〃之I时，/3)在(0,3)为单调增函数；........9分

x+—

X

②要使/(%)为单调减函数，须/3WO在(0,4W)恒成立，

2r2

即/在(0,*)。)恒成立，即/?＜.=-----在(0,+cc)恒成立，

幺+12

x

又一^丁＞0,所以当时，/(幻在(0,+8)为单调减函数..........11分

K+-

X

综上，假设/(%)在(0,”)为单调函数，那么p的取值范围为〃=1或0WO.....12分

1,

9.解：(1)因为〃(X)=/JC―2x+log“x(x>0).

所以〃'(x)=%一2+-----.