第四章复-级-数教学材料

§1.级数的基本性质

1.复数项级数

定义4.1复数项级数就是

其中为复数

定义4.2对于复数项级数，设

第四章复级数若存在，则称级数收敛，否则为发散据此定义，我们立即推出：若级数收敛，则

其次，由复数的性质易于推得

定理4.1设其中均为实数，则级数收敛的充要条件为基数与均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数收敛的充要条件是，使及，均有

定义4.3若级数收敛，则称级数为绝对收敛.

由关系式及

及定理4.1即可推得.定理4.3级数绝对收敛的充要条件为：

级数及绝对收敛.

2.复函数项级数定义4.4设函数在复平面点集上有定义，则称级数

为定义在上的复函数项级数.定义4.5设函数在上有定义，如果，级数均收敛于，则称级数收敛于，或者说级数和函数记作

定义4.6如果，使得当时，对任一，均有则称级数在一致收敛于.与定理4.2类似地我们有定理4.4级数在上一致收敛的充要条件是：，使当时，对任一及均有由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5（魏尔斯特拉斯-判别法）设在点集上有定义为一收敛正项级数，若在上成立则级数在上一致收敛于，则在上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6设在复平面点集上连续，级数在上一致收敛于，则在上连续.定理4.7设在简单曲线上连续，级数在上一致收敛于，则.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7设函数在区域内解析,如果级数在内任一有界闭区域上一致收敛于函数,则称级数在内闭一致收敛于.由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数,则在内解析,且在内成立

证明:,取,使得.在内任作一条简单闭曲线,根据定理及柯西定理推得.因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析。其次,设的边界,由已知条件得在上一致收敛于,从而

,根据定理,我们有

即于是定理结论成立.在上一致收敛于

作业:第178页1.

§2幂级数定义形如的级数称为幂级数,其中是复变量,是复常数.特别地,当时,级数就变为幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中

应用也比较方便.我们首先研究级数的收敛性.显然,当时,级数总是收敛的.当时,则有定理如果幂级数在收敛,则对任意满足的,级数绝对收敛.若级数在发散,则对任意满足的,级数发散.证明:级数在收敛.

从而,使得其次,级数可写成,因此

由于级数收敛,故级数绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数,,使得级数当时绝对收敛,当时发散.称为级数的收敛半径,称为收敛圆,当时,我们说的收敛半径是,收敛圆为复平面.当时,我们说的收敛半径是,收敛圆只有一点,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于的情况.通常,幂级数的收敛半径可用以下公式求得:定理(柯西阿达玛公式).若以下条件之一成立.定理(柯西阿达玛公式).若以下条件之一成立.

则当时,的收敛半径,当,时,.下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理设幂级数的收敛圆为.则它的和函数

在内解析,且

证明:事实上,对,则在上由定理知级数在上绝对收敛,从而根据判别法知在上一致收敛,故在中内闭一致收敛,在内,的和函数解析且成立,由的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.例级数

的收敛半径为

由于在收敛圆上,此级数一般不趋于,因而在上级数处处发散,但其和函数却除处处解析.例级数的收敛半径为在收敛圆上,而级数

收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业:第178页23

§3解析函数的泰勒展式一．定理(泰勒展式)设函数在圆内解析,则在内

证明:,以为心作一圆,且使,(如图)则由柯西公式而当时,,因此有

由于右端级数当时是一致收敛的,把代入后逐项积分得

其中

由为内任意一点知定理成立.结合定理与我们就可推出:推论幂级数是它的和函数在收敛圆内的泰勒展式.即推论函数在一点解析的充要条件是:在的某一邻域内有泰勒展式.与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式.二．求泰勒展式的方法1．求Taylor系数=如求在z=0的展开式==1==

,=1+z+++=2.利用级数的运算。如如在展开

=3．逐项微分法如：逐项积分法如：求在的展开式。

（主支）（其中取K=0分支，即分支）又

一般地=ln(1+z)+5．级数代入级数法如

作业:第178页5(5)7(2)(3)（4）

§4.解析函数的零点及唯一性定义设函数在的邻域内解析且，则称为的零点.如果在内的泰勒展式为：

则可能有下列两种情形，此时在内不全为，则存在正整数，使得且对一切均有，此时我们说为的阶零点，时称为的单零点，时称为的重零点.设为解析函数的一个阶零点，则在的某个邻域内其中在内解析.由,,使得当时,于是,此即说明存在的一个邻域使得在此邻域内为的唯一零点.根据上述讨论,我们有定理设函数在解析且,则或者在的一个邻域内恒等于,或者存在的一个邻域,在其中是的唯一零点.定理的后一个性质称为解析函数零点的孤立性.关于解析函数的唯一性问题,我们先证明下述引理:引理设在区域内解析,如果在中的一个圆内恒等于,则在内恒等于.证明:设在内一个以为心的圆内,对于的任意一点,用在内的曲线连接及,设

取,并在上依次取使.且它的任意相邻两点间距离小于,再作每一点的邻域显然时,由于在内恒等于,而,因而,于是在内的泰勒展式的系数亦全为,从而在内恒等于,一般地,若已证明在内恒等于,就可推得,由为内外任意一点即知引理成立.结合引理及定理就可得到关于零点的一个重要结果:定理设为区域内不恒等于的解析函数,则对于的每一零点均存在一个邻域,使得为在内唯一零点……此定理是定理的推广.于是,解析函数的唯一性定理可叙述如下:定理设函数及在区域内解析,为内互不相同的点,且.如果,则在内,.证明:若在内,亦即在内.由已知条件可得,,其次,由于.因而在连续,于是为在此邻域中的唯一零点,与定理产生矛盾,于是定理结论成立.在数学分析中我们知道,对于一般有导数或偏导数的一元或多元函数,已知它在定义域内某一部分的函数值还完全不能断定它在其它部分的函数值.而从定理知道,对于解析函数来讲,只须知道它在区域内一个极限点在内的点到上的函数值就可完全确定它在内的所有函数值,这是解析函数不同于实变数可微函数的一个重要特性.例5在复平面上解析,在实轴上等于的函数只能是.证明:设函数在复平面上解析且在实轴上等于,则在复平面上解析的函数在实轴上恒等于,因而由定理知在复平面上,即.例6是否现在解析的函数满足下列条件:

其中解:由于及根据定理知是在解析满足的唯一函数,但此数不满足,因而在不存在满足条件的解析函数…由条件，由定理知是在解析并满足条件的唯一函数.

定理4.16(最大模原理).设在区域D内解析，则在D内任