2024-2025学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省锦州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有X件合格品，则E(X)=(

)A.13 B.23 C.432.已知数列{an}中，a1=−14A.45 B.54 C.833.在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本，设生产x个单位产品的生产成本函数是C(x)=8+x28+4lnx，则生产4A.2 B.8 C.10 D.164.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=1，A.7 B.9 C.11 D.135.已知P(A−)=13，P(B−A.712 B.724 C.5126.数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，bnA.2n+1−2n−1 B.2n+3−17.若X～N(0,1)，则P(−1≤X≤1)≈0.6827，P(−2≤X≤2)≈0.9545，P(−3≤X≤3)≈0.9973.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为Y(单位：毫米)，且Y～N(5.40,0.052)，现从中随机抽取10000个，其中恰有K个零件的该项质量指标位于区间(5.35,5.55)，则K的估计值为A.6895 B.8400 C.9545 D.99738.已知函数f(x)=lnxx，则下列大小关系正确的是(

)A.f(e)<f(3)<f(2) B.f(e)<f(2)<f(3)

C.f(2)<f(3)<f(e) D.f(3)<f(2)<f(e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量y与x之间线性相关性强弱，下列关于相关系数r的叙述中，正确的是(

)A.−1≤r≤1

B.当y与x正相关时，r>0

C.|r|越小，得出的y与x之间的回归直线方程越没有价值

D.r越大，具有相关关系的两个变量y与x的线性相关程度越强10.已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设g(x)=exf(x)，则(

)A.曲线M为函数f(x)的图象 B.曲线N为函数f(x)的图象

C.函数g(x)在区间[0,2]上是增函数 D.函数g(x)在区间[a,b]上是减函数11.已知一组样本数据：−1，a，b，9，其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是(

)A.排列后得到的新数列可能既是等比数列又是等差数列

B.若排列后得到的新数列成等比数列，a和b有4组可能取值

C.若排列后得到的新数列成等差数列，a和b有2组可能取值

D.这组数据方差的最小值为33三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.4，若Y=3X−2，则P(Y=1)=______．13.写出数列1，2，4，7，11，16，…的一个递推公式：a1=1，______；一个通项公式：______．14.若x∈[e2,+∞),x2+3a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=2处取得极值−14．

(1)求a，b的值；

(2)求曲线y=f(x)在点16.(本小题15分)

某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：一等级非一等级合计A生产线B生产线合计(1)根据已知数据，完成2×2列联表并判断有95%的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？

(2)以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？

附：K2=n(ad−bcP(0.0500.0100.005k3.8416.6357.87917.(本小题15分)

已知甲、乙两个箱子中各装有9个大小相同的球，其中甲箱中有4个红球、5个白球，乙箱中有2个红球、7个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先抛掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，6，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”．

(1)求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率；

(2)已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=axex−2lnx+bx，a，b为实常数，g(x)=exx，其中e≈2.718．

(1)a=0时，讨论f(x)的单调性；

(2)求g(x)的最值；

(3)a=119.(本小题17分)

已知数列{an}的首项a1=1，{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+1(n∈N∗)．

(1)证明数列{an+1}是等比数列；

(2)令f(x)=a1x+答案解析1.【答案】D

【解析】解：由题可得X服从超几何分布，

所以E(X)=nMN=4×1012=103．

故选：D．

由超几何分布的均值公式2.【答案】A

【解析】解：由a1=−14,an+1=1−1an，

可得a2=1−1a1=5，a3=1−1a3.【答案】A

【解析】解：由题可得C′(x)=x4+4x，

所以生产4个单位产品时，C′(4)=44+44=2．

4.【答案】C

【解析】解：设公差为d，

S6=4，S3=1，

则S6−S3=9d+S3=9d+1=3，即9d=2，

所以a165.【答案】C

【解析】解：由题意可得，P(A)=1−P(A−)=1−13=23，

P(B−|A)=P(BA−)P(A)=12，则P(AB−)=P(A)×12=16.【答案】D

【解析】解：由题意知Sn=n2+2n①，

当n=1时，S1=a1=3，

当n≥2时，Sn−1=(n−1)2+2(n−1)=n2−1②，

①−②得an=Sn−Sn−1=2n+1，

又n=1，a1=37.【答案】B

【解析】解：因为Y～N(5.40,0.052)，

由正态分布的对称性可得P(5.35<Y<5.55)=P(5.40−0.05<Y<5.40+0.15)=0.68272+0.99732=0.84，

则K～B(10000,0.84)，所以E(K)=10000×0.84=8400．

所以K的估计值为8400．

故选：B．

8.【答案】B

【解析】解：∵f(x)=lnxx，x>0，

∴f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，

当x>e时，f′(x)=1−lnxx2<0，函数f(x)=lnxx单调递减；

当0<x<e时，f′(x)=1−lnxx2>0，函数f(x)=lnxx单调递增；

∴当x=e时，函数f(x)=lnxx取最小值1e，

又9.【答案】ABC

【解析】解：对于A，由相关系数的性质可知，相关系数r的范围为[−1,1]，故A正确；

对于B，当y与x正相关时，r>0，故B正确；

对于C，|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，

当线性相关性弱时，用回归直线来描述变量之间的关系就不准确，即意味着回归直线方程越没有价值，故C正确；

对于D，|r|越大，具有相关关系的两个变量y与x的线性相关程度越强，故D错误．

故选：ABC．

根据相关系数的定义和性质即可逐一判断．

本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．10.【答案】BD

【解析】解：对于AB，因为f′(x)>0时f(x)单调递增，f′(x)<0时f(x)单调递减，

所以由图可知曲线M为函数f′(x)的图象，曲线N为函数f(x)的图象，

故A错误，B正确；

对于CD，由图可知当x∈(0,a)时f(x)−f′(x)>0，x∈(a,b)时f(x)−f′(x)<0，

因为g′(x)=ex[f(x)−f′(x)]f2(x)，

所以x∈(a,b)时，g′(x)<0，当x∈(0,a)时，g′(x)>0，

所以函数g(x)在区间[a,b]上是减函数，在区间[0,a]上是增函数，

故C错误，D正确．

故选：BD．

由导数正负与函数单调性关系明确两曲线所代表的函数图象即可判断AB；利用导数工具结合图象即可分析求解函数11.【答案】BC

【解析】解：对于A，若数列既是等比数列又是等差数列，

则该数列为非零常数列，而a≤0，b≥0，且数列中的项有−1，−9，

不可能构成常数列，故A错误；

对于B，若排列后的新数列为等比数列，则不可能有0，则a<0，b>0，

故设新数列的公比为q，则有q<0，且数列相邻两项异号；

数列可能为9，a，b，−1，此时q=−139，则b=913,a=−923；

数列可能为b，a，9，−1，此时q=−19，则b=729，a=−81；

数列可能为9，−1，b，a，此时q=−19，则b=19,a=−181；

数列可能为b，−1，9，a，此时q=−9，则b=19,a=−81；

数列可能为−1，b，a，9，此时q=−913，则b=913,a=−923；

数列可能为−1，9，a，b，此时q=−9，则b=729，a=−81；

数列可能为a，b，−1，9，此时q=−9，则b=19,a=−181；

数列可能为a，9，−1，b，此时q=−19，则b=19,a=−81；

综上所述，a和b有4组可能取值，故B正确；

对于C，若排列后得到的新数列成等差数列，设公差为d

若−1在首项，不论9在第几项，都有a>0，b>0，不符合题意，

若−1，9两项相邻，且−1不在首项，则d=10或者d=−10，

此时有a=−11，b=19，

符合题意的数列为−11，−1，9，19或者19，9，−1，−11；

若−1，9中间仅有一项，且−1不在首项，则d=5，或者d=−5，

此时有a=−6，b=4，

符合题意的数列为−6，−1，4，9或者9，4，−1，−6，

故a和b有2组可能取值，故C正确；

对于D，该组数据的平均数为x−=−1+a+b+912.【答案】0.6

【解析】解：因为随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.4，

所以P(X=1)=1−0.4=0.6，

因为Y=3X−2，

所以P(Y=1)=P(3X−2=1)=P(X=1)=0.6．

故答案为：0.6．

由两点分布的性质可得P(X=1)=0.6，进而求出P(Y=1)．

本题主要考查了两点分布的概率公式，属于基础题．13.【答案】an+1=an+n(n∈【解析】解：记数列1，2，4，7，11，16，⋯的第n项为an，

则a2−a1=1，a3−a2=2，a4−a3=3，a5−a4=4，...

依此类推可得an+1−an=n，

所以可得数列1，2，4，7，11，14.【答案】(−∞,e【解析】解：依题意，得x∈[e2,+∞),(3a−x)(alnx−x)≥0,

等价于x∈[e2,+∞)时，恒有alnx−x≥03a−x≥0①或alnx−x≤03a−x≤0②，

因为x∈[e2,+∞)时不恒有3a−x≥0，故舍去①，

所以x∈[e2,+∞)时，alnx−x≤03a−x≤0，

因为y=lnx为增函数，故当x∈[e2,+∞)时，

lnx≥lne2>0，

所以3a≤e2且a≤xlnx=f(x)，即a≤e6且a≤f(x)min．

因为f′(x)=lnx−1ln2x，

所以当x∈(e2,e)时，f′(x)<0，x∈(e,+∞)时，f′(x)>0，15.【答案】(1)解：由函数f(x)=ax3+bx+2，可得f′(x)=3ax2+b，

因为f(x)在x=2处取得极值−14，可得f′(2)=0f(2)=−14，即12a+b=08a+2b+2=−14，

整理得12a+b=04a+b=−8，解得a=1，b=−12，

经检验，当a=1，b=−12时，f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，

令f′(x)>0，解得x<−2或x>2；令f′(x)<0，解得−2<x<2，

所以f(x)在(−∞,−2)单调递增，(−2,2)单调递减，(2,+∞)单调递增，

所以f(x)在x=2处取得极值，且f(2)=−14符合题意，

所以a=1，b=−12．

(2)解：由(1)得，函数f(x)=x3−12x+2且f′(x)=3x2−12，

则f′(1)=−9【解析】(1)求得f′(x)=3ax2+b，根据题意得到f′(2)=0f(2)=−14，求得a=1，b=−12，验证符合题意，即可求解；

(2)由(1)求得f′(1)=−9且16.【答案】2×2列联表见解析；没有95%的把握认为一等级产品与生产线有关；

A生产线的获利更稳定．

【解析】(1)A生产线生产的100件产品中一等级产品数有20，B生产线生产的100件产品中一等级产品数有30，

因此2×2列联表如下：一等级非一等级合计A生产线2080100B生产线3070100合计50150200零假设H0：一等级产品与生产线无关，

K2=200(20×70−30×80)250×150×100×100=83<3.841，

因此依据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据可以推断H0不成立，

则可以推断H0成立，即没有P201816X0.20.60.2因此E(X)=20×0.2+18×0.6+16×0.2=18，

因此D(X)=(20−18)P201816Y0.30.40.3因此E(Y)=20×0.3+18×0.4+16×0.3=18，

因此D(Y)=(20−18)2×0.3+(18−18)2×0.4+(16−18)2×0.3=2.4，

D(X)<D(Y)，因此A生产线的获利更稳定．

(1)先由题设先写列联表，接着进行零假设和计算卡方值，由卡方值以及小概率值α=0.05的独立性检验思想即可下结论；

(2)设A，B两条生产线单件产品获利分别为X，Y元，依次求出两生产线的方差D(X)17.【答案】19；

分布列见解析，E(X)=38【解析】(1)依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为13，从乙箱开始的概率为23，且每次“交换”后箱子总球数仍然为9个，

要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是红球，

若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为127；

若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为227；

设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件A，

所以．

P(A)=127+227=19

(2)因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，

所以此时甲箱中有5个红球、4个白球，乙箱中有1个红球，8个白球，

X的取值为7，X789p4232E(X)=7×49+8×2345+9×245=289+18445+18.【答案】当b>0时，f(x)在(0,2b)上单调递减；在(2b,+∞)上单调递增；

当b≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减．

最小值是【解析】(1)a=0时，函数f(x)=−2lnx+bx，x>0，导函数f′(x)=−2x+b，

当b≤0时，导函数f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当b>0时，根据f′(x)=0，得x=2b，

x>2b时，f′(x)>0，f(x)在(2b,+∞)上单调递增；