2024-2025学年湖北省恩施州高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省恩施州高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A5A.20 B.30 C.40 D.502.计算Δx→0lim(2+Δx)A.4 B.6 C.8 D.103.已知函数f(x)=sinx+12x(0<x<π)，则f(x)A.极大值为32+π3，无极小值 B.极小值为12+π3，无极大值

4.已知x≥1，f(x)=lnx，g(x)=1−1x，ℎ(x)=12(x−1x)三个函数图象如图所示，则f(x)，g(x)A.C1，C2，C3

B.C3，C2，C1

C.C2，C3，5.学校有5名男教师，3名女教师，现在要随机选择3名教师参加会议，下列事件中概率等于27的是(

)A.至少有1名女教师 B.有1名或2名女教师

C.有2名或3名女教师 D.恰有2名女教师6.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度及测量技术的原因，测得n个数a1，a2，a3，⋯，an(a1≤a2A.a1=2 B.an C.i=17.已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)是其导函数，若f′(x)+8x是偶函数，f′(x)−3x2−1是奇函数，当f(0)=−4时，关于a的不等式f(a)≥0的解集为A.(−∞,4]B.[4,+∞)C.(−∞,4]∪[4,+∞)D.[−4,4]8.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为(

)A.144 B.240 C.336 D.456二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式F=GMmr2给出，其中M为地球质量，G为引力常量，则A.F关于r的瞬时变化率为−2GMmr3 B.r关于F的瞬时变化率为GMmF

C.m关于r的瞬时变化率为GMmr D.10.已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则(

)A.P(X=0)<P(Y=0) B.当k=2或3时，P(X=k)最大

C.E(X)=E(Y) D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为111.已知三次函数f(x)=ax3+bxA.f(1)=0

B.若f(x)=0有三个不同的实数根，则|ba|≥2

C.若f(x0)=0，则f(1x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.233除以7的余数是______．13.设随机变量X～N(1,σ2)，P(X≤a)+P(X≤2a)=1，则实数a14.若x≥2，不等式(lnx−2ax)(x−ln2a)≤0恒成立，则实数a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(1+2x)n的展开式中所有二项式系数之和为512．

(1)求n的值；

(2)求展开式中第n−1项的系数与第316.(本小题15分)

某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据：步频x(单位：步/s)0.280.290.300.310.32步长y(单位：cm)909599m115(1)若步频和步长近似为线性相关关系，当m=101时，i=15xi2=0.451，i=15xiyi=150.56，根据表中数据，求出y关于x的回归直线方程．

附：回归直线方程y​=b​x+a​中b=i=1nxiyi−n17.(本小题15分)

已知曲线C1：f(x)=ex+e−x，曲线C2：g(x)=ex−e−x，直线x=a与曲线C1，C2分别交于A，B两点，曲线C1在点A处的切线为l1，曲线C2在点B处的切线为l2，设直线l118.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−alnx−a，其中a∈R，e为自然对数的底数．

(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)存在极小值点x0，且f(x0)≥0，求实数a的取值范围；

(3)若函数t(x)=f(x)−ex19.(本小题17分)

甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分；平局两人均不计分.按照规则，当一方的得分比另一方多2分时即获胜，比赛结束.已知每局中，甲获胜概率为25，乙获胜概率为25，平局的概率为15，且每局互不影响，相互独立．

(1)求甲在进行了3局后获胜的概率；

(2)若进行n局后，记甲领先1分的概率为pn，甲乙持平的概率为rn，求证：存在实数λ，使得{rn−λpn}为等比数列；

答案解析1.【答案】D

【解析】解：A53−C53=5×4×3−5×4×33×2×12.【答案】A

【解析】解：设函数f(x)=x2，f′(x)=2x，

故Δx→0lim(2+Δx)2−22Δx=f′(2)=2×2=4．

即Δx→03.【答案】A

【解析】解：求导数得f′(x)=cosx+12，

由f′(x)=0，得cosx=−12，结合x∈(0,π)，可得x=2π3，

因为当x∈(0,2π3)时，f′(x)>0，当x∈(2π3,π)时，f′(x)<0

所以f(x)在(0,2π3)上单调递增，在(2π3,π)上单调递减，

可知当x=2π3时，4.【答案】C

【解析】解：令x=2，可得ℎ(2)=12(2−12)=34，g(2)=1−12=12，f(2)=ln2，

因为4>e，所以2>e12，ln2>lne12=12，

又因为16<e3，可得2<e34，即ln2<34，

所以ℎ(2)>f(2)>g(2)，

所以f(x)5.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，设至少有1名女教师的概率为P1，则P1=1−C53C83=2328，不符合题意；

对于B，设有1名或2名女教师的概率为P2，则P2=C31C52+C32C51C836.【答案】D

【解析】解：根据f(x)=1ni=1n(x−a1)2，f′(x)=1ni=1n2(x−ai)=2(x−1ni=1nai)，

当x>1ni=1nai时，f′(x)>0；当7.【答案】B

【解析】解：根据题意，f′(x)+8x是偶函数，则有f′(x)+8x=f′(−x)−8x，即f′(x)−f′(−x)=−16x①，

又由f′(x)−3x2−1是奇函数，则f′(−x)−3x2−1=−[f′(x)−3x2−1]，即f′(x)+f′(−x)=6x2+2②，

联立①②可得：f′(x)−f′(−x)=−16xf′(x)+f′(−x)=6x2+2，解得f′(x)=3x2−8x+1，

因为f(0)=−4，所以f(x)=x3−4x2+x−4，

则有f(x)=(x2+1)(x−4)，

若f(a)≥0，即8.【答案】C

【解析】解：因为“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，

第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为A44A52；

第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为A22A33A429.【答案】AD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，由F=GMmr2=GMmr−2，可得F′=−2GMmr−3=−2GMmr3

则F对于r的瞬时变化率是−2GMmr3，所以A正确；

对于B，由r=GMmF，可得r′=−12FGMmF，

则r关于F的瞬时变化率−12FGMmF，所以B错误；

对于C，由m=Fr2GM，可得m′=2FrGM，

10.【答案】BCD

【解析】解：方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数X～B(5,12)，

∴P(X=k)=C5k(12)5，k=0，1，2，3，4，5，

方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布，

则P(Y=k)=C6kC65−kC125，k=0，1，2，3，4，5．

A，P(X=0)=(12)5=132，P(Y=0)=C65C60C125=1132，P(X=0)>P(Y=0)，A选项错误；

B，因为P(X=k)=C5k(12)5，由于C53=C52>C51=C54>C50，故k=2或3时，P(X=k)最大，B选项正确；

C，由二项分布及超几何分布期望公式E(X)=5×12=5211.【答案】ACD

【解析】解：对于选项A中，根据f(x)=ax3+bx2−bx−a=(x−1)[ax2+(a+b)x+a+b]

可f(1)=0，因此选项A正确．

对于选项B中，根据函数f(x)=(x−1)[ax2+(a+b)x+a+b]，可得x=1是f(x)=0的一个解，

要使得f(x)=0有三个不同的实数根，

那么ax2+(a+b)x+a+b=0有两个实数根，那么Δ=(a+b)2−4a(a+b)>0，

即b2−2ab−3a2>0，即(ba)2−2⋅ba−3>0，解得ba>1或ba<−3，因此选项B错误；

对于选项C中，根据f(x0)=0，

那么f(1x0)=a(1x0)3+b(1x0)2−b(1x0)−a=−1x03(ax03+b02−bx0−a)=−1x03f(x0)=0，

因此选项12.【答案】1

【解析】解：233=(7+1)11=711+∁111710+…+∁11107+1

13.【答案】23【解析】解：由题可得正态分布曲线的对称轴为x=1，

因为P(X≤a)+P(X≤2a)=1，所以a+2a=2，解得a=23．

故答案为：23．

根据题意，结合正态分布曲线的对称性，得到a+2a=214.【答案】{ln2【解析】解：若x≥2，不等式(lnx−2ax)(x−ln2a)≤0恒成立，

即为(lnx2x−a)(a−ln2x)≤0恒成立，

令f(x)=lnx2x−a,g(x)=a−ln2x，

则当a<0时，f(x)与g(x)需同号；当a>0时，f(x)与g(x)需异号，

由函数y=ln2x,x≥2，可得y′=1−lnx2x2，

令f′(x)>0，可得2≤x<e；令f′(x)<0，可得x>e，

所以函数y=lnx2x在[2,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，

且y|x=e=12e，y|x=4=ln24，y|x=2=ln22，

又由函数y=ln2x,x≥2，可得y′=−ln2x2<0，

所以y=ln2x在[2,+∞)单调递减，且y|x=4=ln215.【答案】9；

32．

【解析】(1)由题意可得，2n=512=29，解得n=9；

(2)由(1)，二项式(1+2x)9展开式的通项为Tr+1=2r⋅C9r⋅xr,r=0,1,⋯,9，

可得T3=4C16.【答案】y=560x−68；

105【解析】(1)根据题意，可得x−=15i=15xi=0.3，y−=15i=15yi=100，

又由i=15xi2=0.451，i=15xiyi=150.56，可得b=i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−517.【答案】a=12ln5−1【解析】(1)因为f(x)=ex+e−x，g(x)=ex−e−x，

所以f′(x)=ex−e−x，g′(x)=ex+e−x，

则kl1=ea−e−a，kl2=ea+e−a，

根据题意可知kl1⋅kl2=(ea−e−a)⋅(ea+e−a)=−1，

所以1+(e2a−e−2a)=0，

解得a=12ln5−12；

(2)由(1)知18.【答案】单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)．

(0,e]．

证明见详解．

【解析】(1)当a=e时，函数f(x)=ex−elnx−e，

可知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且导函数f′(x)=ex−ex，

设函数g(x)=ex−ex，那么导函数g′(x)=ex+ex2>0，

可知函数g(x)在(0,+∞)单调递增，且g(1)=0，

当x>1时，g(x)>0，即f′(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0，即f′(x)<0，

因此函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)．

(2)根据题意可知：f(x)的定义域为(0,+∞)，且导函数f′(x)=ex−ax=xex−ax，

设函数ℎ(x)=xex−a，那么导函数ℎ′(x)=(x+1)ex>0，可知函数ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，

由于f(x)存在极小值点x0，因此函数ℎ(x)在(0,+∞)存在零点x0，

即ℎ(x0)=x0ex0−a=0，可得a=x0ex0．

那么f(x0)=ex0−alnx0−a=ex0−x0ex0lnx0−x0ex0≥0，可得1−x0−x0lnx0≥0，

设函数φ(x)=1−x−xlnx，x>0，且φ(1)=0，

当x∈(1,+∞)，1−x<0，−xlnx<0，则φ(x)<0；

当x∈(0,1)，1−x>0，−xlnx>0，则φ(x)>0，

可得0<x0≤1，0<a≤e，

因此a