2024-2025学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=5+i1−i，则z=(

)A.2−2i B.1−3i C.1+3i D.2+3i2.已知a=(1,2)，b=(m,3)，若a⊥(b−A.−2 B.2 C.−1 D.13.某班有男生36人，女生20人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为(

)A.7 B.8 C.9 D.104.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为(

)A.6π B.12π C.3π D.2π5.位于灯塔A处正西方相距30海里的B处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距102海里的C处有一艘乙船，则乙船前往支援B处甲船需要航行的最短距离是(

)A.105海里 B.1017海里 C.86.如图，某几何体可看成是3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为2：3：5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为(

)A.2：6：15 B.9：15：25 C.6：21：35 D.9：21：567.如图，在△ABC中，PC=2BP，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设AB=mAM,AC=nAN，其中m，A.1

B.2

C.3

D.48.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C所对的边，且a2−(b−c)2=8，bsinB+C2=asinB，若A.−4 B.−3 C.−6 D.−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z满足i⋅z=1+3i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是(

)A.z=3−i B.z−的模为4

C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.10.下列说法中正确的是(

)A.数据2、2、3、5、6、7、7、8、10、11的下四分位数为3

B.若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥

C.设样本数据x1、x2、x3、⋯、x9、x10的平均数和方差分别为2和8，若yi=2xi+1(i=1,2,3,⋯,10)，则y1、y2、y3、⋯、y9、y11.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1A.AC1⊥平面A1PD

B.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹长度为22

C.若λ+μ=12，则四面体DPQA112.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线13.已知向量a与b的夹角为30°,|a|=43,b=(214.已知正四面体的棱长为46，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为26

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了100名住户，将他们上周体育锻炼的时间(单位：时)按照[0,2)、[2,4)、[4,6)、[6,8)、[8,10]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)根据频率分布直方图估计样本数据的第80百分位数；

(3)根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这100名住户上周体育锻炼时间的平均值．16.(本小题12分)

在△ABC中，已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，记m=(2c,1)，n=(2a−b,cosB)，且m//n．

(1)求角C；

(2)若c=17.(本小题12分)

DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训．

(1)已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率；

(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23,18.(本小题12分)

如图，等腰直角三角形ABC所在平面与半圆弧AB所在平面垂直，O为AB的中点，且AC=BC，M是AB上异于A、B的点，N是AM的中点．

(1)证明：AM⊥平面OCN

(2)若圆O的半径为1，设∠MAB=α，

(i)当α=30°时，求二面角C−AM−B的平面角的正切值；

(ii)当M在弧AB上运动时(不与A、B重合)，证明：点O到平面BCM的距离d=cosα1+19.(本小题12分)

将所有平面向量组成的集合记作R2.如果对于向量．x=(x1,x2)∈R2，存在唯一的向量y=(y1,y2)∈R2与之对应，其中坐标y1、y2由x1、x2确定，则把这种对应关系记为．y=f(x)或者(y1,y2)=f(x1,x2)简记为f.例如(y1,y2)=f(x1,x2)=(2x1+x2,x12)就是一种对应关系.若在|x|=1的条件下|y|有最大值，则称此最大值为对应关系答案解析1.【答案】D

【解析】解：z=5+i1−i=(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+6i2=2+3i．

2.【答案】C

【解析】解：a=(1,2)，b=(m,3)，

则a⋅(b−a)=a2−a3.【答案】C

【解析】解：男生36人，女生20人，抽取14人，

设男生被抽取的人数为n，则n14=3636+20，解得n=9．

故选：C．4.【答案】A

【解析】解：由题意圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，

可设圆锥的母线为l，底面半径为r，侧面展开图扇形的圆心角为α，

则α=60°=π3，

因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，

所以αl=2πr，即π3×l=2π，所以l=6．

则该圆锥的侧面积为πrl=6π．

故选：A．5.【答案】B

【解析】解：由题意得AB=30，AC=102，

由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos135°

=302+(106.【答案】C

【解析】解：设直棱柱I的底面积为S，高为2ℎ，则棱台III的下底面面积为S，上底面面积为4S，高为5ℎ，

棱台II的上底面面积为S，下底面面积为4S，高为3ℎ，

设几何体I、II、III的体积分别为V1、V2、V3，

则V1=S⋅2ℎ=2Sℎ，V2=13(S+4S+S⋅4S)⋅3ℎ=7Sℎ，

V3=137.【答案】C

【解析】解：AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，

因为AB=mAM，AC=nAN，所以AP=2m3AM+n3AN，

又M，8.【答案】A

【解析】解：由a2−(b−c)2=8，可得b2+c2−a2−2bc=−8，①

由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc，故b2+c2−a2=2bccosA，②

由①②可得：2bccosA−2bc=−8，即bccosA−bc=−4，

由bsinB+C2=asinB及正弦定理，

可得sinBsinπ−A2=sinAsinB，

因为A、B∈(0,π)，则0<A2<π2，故sinB>0，cosA2>0，

所以cosA2=sinA=2sinA2cosA2，

化简得sinA2=9.【答案】ACD

【解析】解：由题意可知，z=1+3ii=3i−i2i=3−i，A对；

z−=3+i，则|z−|=32+12=10，B错；

z在复平面内对应的点的坐标为(3,−1)，位于第四象限，C对；

10.【答案】AC

【解析】解：对于A，因为10×0.25=2.5，

所以数据的下四分位数为3，故A正确；

对于B，若事件A、B互斥且不对立，如下图所示：

则A−∩B−≠⌀，即A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，故B错误；

对于C，设样本数据x1、x2、x3、⋯、x9、x10的平均数和方差分别为2和8，

若yi=2xi+1(i=1,2,3,⋯,10)，

则y1、y2、y3、⋯、y9、y10的平均数为2×2+1=5，方差为22×8=32，故C正确；

对于D，若B⊆A，则AB=B11.【答案】BCD

【解析】解：对于A，如图1，假设AC1⊥平面A1PD，因A1P⊂平面A1PD则AC1⊥A1P①；

因为四边形ABB1A1为正方形，可得A1B⊥AB1，

又B1C1⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，则B1C1⊥A1B，

又AB1∩B1C1=B1，故A 1B⊥平面AB1C1，

因AC1⊂平面AB1C1，故A 1B⊥AC1②，

又A1B∩A1P=A1，由①②可得AC1⊥平面A1ABB1，显然该结论不成立，故A错误；

对于B，如图2，分别取B1C1、CC1中点E、F，连接D1E、D1F、EF，

因为BB1//CC1，BB1=CC1，P、F分别为BB1、CC1的中点，

所以B1P//C1F，B1P=C1F，

故四边形B1C1FP为平行四边形，故PF//B1C1，PF=B1C1，

又因为A1D1/​/B1C1，A1D1=B1C1，所以PF//A1D1，

即四边形DA1PF为平行四边形，所以D1F//A1P，

因为A1P⊂平面A1PD，D1F⊄平面A1PD，故D 1F//平面A1PD③，

因为E、F分别为B1C1、CC1的中点，所以EF/​/B1C，

因为A1D/​/B1C，A1D=B1C，故四边形A1B1CD为平行四边形，

则A1D/​/B1C，故EF//A1D，

因为EF⊄平面A1PD，A1D⊂平面A1PD，所以EF/​/平面A1PD④，

因为EF∩D1F=F，EF、D1F⊂平面D1EF，

由③④可得平面A1PD/​/平面D1EF，

而D1Q//平面A1PD，则点Q在平面12.【答案】60°

【解析】解：如图：

连接A1C1，BC1，易知A1C1/​/AC，所以∠BA1C1或其补角即为AC所成的角，

13.【答案】(3【解析】解：b=2+2=2；

则|b|=2+2=2；

向量a与b的夹角为30°；

a⋅b=|14.【答案】2【解析】解：如图，正四面体P−ABC在P点截去小正四面体P−EFG，

取BC中点D，连接AD，过点P作PH⊥平面ABC，

则H在AD上，且PH⊥平面EFG，垂足为I，连接EI，

则EI为正△EFG的中心，

大正四面体的外接球球心在高PH上，设为O，连接OA，则OA=OP=R，

因为大正四面体的棱长为46，

故2AH=46sin60°，

解得AH=42，

由勾股定理得PH=AP2−AH2=(46)2−(42)2=8，

在Rt△AOH中，AO2=OH2+AH2，

即R2=(42)2+(8−R)2，

解得R=6，

则大正四面体的外接球半径为6，

若这个八面体的外接球半径为r=26，则截去的小正四面体的棱长最小，

由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接OE，

则OE=r=26，

设截去的小正四面体的棱长为a，

则2a≤46，即a<215.【答案】a=0.125；

7.6；

5.3小时．

【解析】(1)在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为1，

可得(0.05+0.1+0.15+a+0.075)×2=1，解得a=0.125．

(2)前三个矩形的面积之和为(0.05+0.1+0.15)×2=0.6，

前四个矩形的面积之和为0.6+0.125×2=0.85，

设样本数据的第80百分位数为m，则m∈(6,8)，

由百分位数的定义可得0.6+(m−6)×0.125=0.8，解得m=7.6．

(3)由频率分布直方图可知，样本的平均数为x−=1×0.1+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15=5.3．

估计这100名住户上周体育锻炼时间的平均值为5.3小时．

(1)在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为1，列式可求得实数a的值；

(2)设样本数据的第80百分位数为m，则m∈(6,8)，利用百分位数的定义可得出关于m的等式，求解即可；

(3)将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，即可得出样本的平均数．16.【答案】π3；

(−【解析】(1)因为m=(2c,1),n=(2a−b,cosB),m//n，

所以2a−b=2ccosB，

利用正弦定理得：2sinA−sinB=2sinCcosB，

因为sinA=sin(B+C)，所以2sinBcosC+2cosBsinC−sinB=2sinCcosB，

所以2sinBcosC−sinB=0，因为sinB≠0，所以cosC=12．

又因为0<C<π，所以C=π3．

(2)因为c=3，C=π3，

所以由正弦定理asinA=csinC=332=2，得a=2sinA，

同理b=2sinB=2sin(2π3−A)=3cosA+sinA．

所以2b−a=23cosA．

因为17.【答案】15；

23【解析】(1)记A部门的3名领导为a1，a2，a3，B部门的3名领导为b1，b2，b3，

从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有：

a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共15种，

选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：a1a2，a1a3，18.【答案】证明见解析；

(i)2；

(ii)证明见解析．

【解析】证明(1)因为M是半圆弧AB上一点，所以∠AMB=π2，即AM⊥BM，

因为O、N分别是AB、AM的中点，所以ON/​/BM，ON⊥AM，

因为△ACB是等腰直角三角形，AC=BC，所以OC⊥AB，

因为平面ACB⊥平面ABM，平面ACB∩平面ABM=AB，CO⊂平面ABC，

所以CO⊥平面ABM，又因为AM⊂平面ABM，所以AM⊥CO，

因为OC、ON⊂平面OCN，ON∩OC=O，所以AM⊥平面OCN．

(2)(i)由(1)可知AM⊥平面OCN，故CN⊥AM，ON⊥AM，

所以，二面角C−AM−B的平面角为∠CNO，

当α=30°时，ON=12OA=12，

因为△ABC为等腰直角三角形，且AC=BC，则∠ACB=π2，

因为O为AB的中点，所以OC=12AB=1