2024-2025学年北京市通州区高一年级下学期期末考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市通州区2024-2025学年高一年级下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C．2 D．42．已知复数，则下列说法正确的是（

）A．复数的虚部是 B．C． D．在复平面内，复数对应的点在第二象限3．已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（

）A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.44．一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（

）A．31 B．33 C．34 D．355．某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（

）A．20 B．30 C．50 D．606．已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（

）A． B．2 C． D．37．已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．如图，在正方体中，点，，分别为，，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．9．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（

）

①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形②鳖臑的四个面均为直角三角形③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍A．0 B．1 C．2 D．310．如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．二、填空题11．已知复数的共轭复数为，则.12．天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为.13．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm，则该圆柱的侧面积为cm2；该陀螺的体积为cm3.14．在中，，，点在线段上，若，则；若，当取得最小值时，.15．如图1，正方形中，，为的中点，，.将沿翻折到，沿翻折到，连接，如图2.给出下列四个结论：①平面平面；②当时，三棱锥的体积为；③设二面角的平面角为，当时，；④设直线与平面所成角为，当时，则.其中所有正确结论的序号是.

三、解答题16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点.(1)平面；(2)平面.17．在中，角所对的边分别为，，，.(1)若，，求及的值；(2)若，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.

(1)求图中的值；(2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团.（ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数；（ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率.19．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，.(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求证：.20．如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为.(1)求证：平面平面；(2)若，恰为二面角的平面角，求的面积.21．在中，角，，所对的边分别为，，，点为内的一点，且.(1)当时，（ⅰ）求角；（ⅱ）若，，求的值；(2)若，且，，求的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页答案解析题号1234678910答案ABADCBCBC1．A【分析】直接根据向量平行得到关系式，解得答案.【详解】已知向量，，若，所以，则实数.故选：A.2．B【分析】对于A，根据虚部的定义判断即可；对于B，根据求复数模长的公式求解即可；对于C，根据复数的乘方运算求解即可；对于D，根据复数的几何意义判断即可.【详解】对于A，虚部不带，是与虚数单位相乘的实数部分，因此复数的虚部是，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，在复平面内，复数对应的点为，在第四象限，D错误.故选：B.3．A【分析】根据样本数据的平均数和方差公式计算即可.【详解】因为该组样本数据的平均数为15，所以，解得，则该组样本数据的方差为，故选：A..4．D【分析】题中的样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，因此直接根据分位数的定义和计算方法求解即可.【详解】依题意，该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，且该组样本共10个数据，，算得小数，向下取整，因此取第8个数作为分位数，即分位数为35.故选：D.5．C【分析】根据频数、频率及样本容量的关系即可求得答案．【详解】根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为．故答案为：C．6．C【分析】利用公式结合已知条件求出，再利用，代入计算.【详解】平面向量为单位向量，故选：C.7．B【分析】由面面平行的性质、线面、面面平行的判定结合充分条件、必要条件的概念即可判断.【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件，设，，显然，从而有成立，但此时不平行，所以故“”是“”的不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件.故选：B8．C【分析】连接，取的中点，连接，通过证明可得，即得为异面直线与所成的角或其补角，利用余弦定理即可.【详解】如图，连接，取的中点，连接.因点，，分别为，，的中点，则，即得，则，易证，即得，则，故得，即得，从而，即为面直线与所成的角或其补角.设正方体棱长为2，则，，在中，由余弦定理，，即异面直线与所成的角的余弦值为.故选：C.9．B【分析】对于①，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于②，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于③，根据棱柱与棱锥的表面积公式结合已知条件分析判断；对于④，根据棱柱与棱锥的体积公式结合已知条件分析判断.【详解】对于①，如图，由题意可知平面，平面，则，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以阳马的四个侧面都是直角三角形，故①错误；对于②，如图，由题意可知平面，平面，则，因为平面，平面，则，所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以②正确；对于③，设长方体的长，宽，高分别为，则，所以堑堵的表面积，，阳马的表面积，，由于，所以堑堵的表面积不是阳马的表面积的2倍，即③错误；对于④，设长方体的长，宽，高分别为，则，所以堑堵的体积，鳖臑的体积，所以堑堵的体积是鳖臑的体积的三倍，所以④错误.故选：B

10．C【分析】根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可.【详解】在长方体中，取的中点，连接,由点为的中点，得，则四边形是平行四边形，，又，则四边形是平行四边形，于是，取中点，在上取点，使得，连接，而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面，于是平面，由为的中点，得，而平面，平面，则平面，又平面，因此平面平面，由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上，从而点的轨迹是线段，而，所以点的轨迹长度为.故选：C11．【分析】利用共轭复数的定义求出，再由复数的除法计算即得.【详解】由题意，，则.故答案为：.12．/【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可.【详解】记端午假期甲地降雨为事件，乙地降雨为事件，由题知，，且相互独立，所以相互独立，所以两地都不降雨的概率为.故答案为：13．【分析】根据给定条件，求出圆锥的底面半径及高，再利用圆柱的侧面积公式及圆柱、圆锥体积公式求解.【详解】依题意，圆锥的高为3cm，圆锥、圆柱的底面圆半径为3cm，所以圆柱的侧面积为（）；该陀螺的体积为（）.故答案为：；14．3【分析】第一空，根据P为的中点，确定，利用数量积定义即可额求得答案；第二空，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求得取得最小值时P点坐标，结合即可求得答案.【详解】由题意知为等腰三角形，，，当时，P为的中点，则，则，则；若，则以的中点为坐标原点O，以为x轴建立平面直角坐标系，

则，设,则，当时，取最小值，符合题意，又，即，则，故答案为：3；15．①②③【分析】对于命题①，根据题意可知，在利用线面垂直的判定即可证明；对于命题②，时，与重合，由平面即可求体积；对于命题③，时，过作交于点，连接，通过计算可证就是二面角的平面角，然后求余弦值即可；对于命题④，当时，易知，即此时点在上，所以即可判断.【详解】对于命题①，根据题意，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故①正确；对于命题②，时，与重合，此时在中，，则，由①知，平面，所以，故②正确；对于命题③，时，，，

过作交于点，连接，又，所以，，，，，，则，则，又，所以就是二面角的平面角，，故③正确；对于命题④，当时，，则，即此时点在上，所以，故④错误；故答案为：①②③.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行；（2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直.【详解】（1）如图取的中点，连接，因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，在中，，且，又因为底面为矩形，是的中点，所以，且，由此可得，且，所以四边形是平行四边形，那么，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，而，、平面，又平面，所以平面.17．(1)；(2)选②，或；选③，.【分析】（1）由余弦定理求，由正弦定理求；（2）选①，可得，从而得三角形不存在；选②，求得由正弦定理求得，由余弦定理求得或，由面积公式求解即可；选③，可得，再由正弦定理可得，由面积公式求解即可.【详解】（1）解：由余弦定理可得：，所以；由正弦定理可得，所以（2）解：选①：，则，所以此时不存在；选②：，由正弦定理可得，解得；由余弦定理得，即，解得或；所以或；选③：，则，由正弦定理可得，解得，由余弦定理得，即，解得或（舍）；所以.18．(1)(2)（ⅰ）5人，2人；（ⅱ）【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值；（2）（ⅰ）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数；（ⅱ）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得；（2）（ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为，故应从学生中抽取的学生人数为（人），应从学生中抽取的学生人数为（人）；,（ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，则这个试验的样本空间为，共有21个基本事件；事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个，即，故.19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；【分析】（1）由正方形得，根据线面平行的判定得到平面，再根据线面平行的性质即可得到；（2）先面面垂直的性质证得，结合，可得,,即可证得平面；（3）取的中点，通过证是平行四边形得到，证得；再由勾股定理逆定理得到，证得平面，得，即可得，进而证得平面，即可证得.【详解】（1）由正方形，得，又∵平面，平面，∴∥平面，∵平面，平面平面，∴（2）由正方形，得,∵平面平面，平面平面，平面,∴平面，又∵平面，∴，由（1）知，∴，，又，平面，∴平面；（3）取的中点，连接，则，又，所以四边形是平行四边形.∴，∴.由，得，，∴.∵，，平面，∴平面.∵平面，∴.由正方形，得∥，∴,∵，平面，∴平面,∵平面，∴20．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由题意可得，得，由点为的中点，可得,从而得平面，即可证明平面平面；（2）由，可得平面，根据四面体的体积为，可得，进而可得，再由恰为二面角的平面角，得由三角形的面积公式可求得，即可求得的面积【详解】（1）证明：由题意可得为等腰直角三角形，斜边,所以，又因为，所以，所以，又因为点为的中点，所以,又平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：因为，，且平面，，所以平面，所以为四面体的高，所以四面体的体积,解得，又因为,所以，又因为恰为二