北京市顺义区顺义区张镇中学2024年九年级数学第一学期期末考试试题含解析

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A．点B B．点D C．点E D．点A2．若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）3．如图，空心圆柱的俯视图是（）A． B． C． D．4．（2017广东省卷）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．5．一个小正方体沿着斜面前进了10米，横截面如图所示，已知，此时小正方体上的点距离地面的高度升高了()A．5米 B．米 C．米 D．米6．如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点,同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒，设、同时出发秒时，的面积为.已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）图（1）图（2）A． B．当是等边三角形时，秒C．当时，秒 D．当的面积为时，的值是或秒7．已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）A．（2+2）cm B．（2﹣2）cm C．（+1）cm D．（﹣1）cm8．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣1） B．图象关于y轴对称C．图象位于第二、四象限 D．当x＜0时，y随x的增大而减小9．已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（）A． B．C． D．10．下列说法正确的是（）①经过三个点一定可以作圆；②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7；③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍；④随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件；⑤关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0有两个不相等的实数根．A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．③④⑤二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，⊙O的半径OA长为6，BA与⊙O相切于点A，交半径OC的延长线于点B，BA长为，AH⊥OC，垂足为H，则图中阴影部分面积为_____．（结果保留根号）12．如图，利用我们现在已经学过的圆和锐角三角函数的知识可知，半径r和圆心角θ及其所对的弦长l之间的关系为，从而，综合上述材料当时，______．13．如图，在中，，对角线，点E是线段BC上的动点，连接DE，过点D作DP⊥DE，在射线DP上取点F，使得，连接CF,则周长的最小值为___________.14．如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为_____．15．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为，则n的值为______.16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为_____．17．方程的解为_____.18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC=，则∠B的度数为_________________．三、解答题(共66分)19．（10分）春节期间，支付宝“集五福”活动中的“集五福”福卡共分为5种，分别为富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福，从国家、社会和个人三个层面体现了社会主义核心价值观的价值目标.（1）小明一家人春节期间参与了支付宝“集五福”活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福”，恰巧爸爸有一个可以送给他们其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者得到“敬业福”．在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4的四个小球，这些小球除了标号数字外都相同，将小球摇匀．小明的游戏规则是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数小球，则判小明获胜，否则，判姐姐获胜．请判断，此游戏规则对小明和姐姐公平吗？说明理由．姐姐的游戏规则是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判小明获胜，若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判姐姐获胜．请用列表法或画树状图的方法进行判断此游戏规则对小明和姐姐是否公平.（2）“五福”中体现了社会主义核心价值观的价值目标的个人层面有哪些？20．（6分）试证明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程.21．（6分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）22．（8分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可售价100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．（1）直接写出与的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于3800元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？23．（8分）如图，顶点为M的抛物线y=a(x+1)2-4分别与x轴相交于点A，B(点A在点B的)右侧)，与y轴相交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．(3)抛物线上是否存在点N(不与点C重合)，使得以点A，B，N为顶点的三角形的面积与S△ABC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标分别为A（-2,1）、B（-1,4）、C（-3,2）.（1）画图：以原点为位似中心，位似比为1:2，在第二象限作出ΔABC的放大后的图形（2）填空：点C1的坐标为，=.25．（10分）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD26．（10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了多少名学生?在扇形统计图中，表示""的扇形圆心角的度数是多少；(2)将条形统计图补充完整；(3)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生大约有多少名?(4)某天甲、乙两名同学都想从“微信"、""、“电话"三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．【详解】如图，连接CE，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝=3，∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴CD＝AC=2，CE＝AB=，∵⊙C的半径为3，BC=3，，，∴点B在⊙C上，点E在⊙C内，点D在⊙C内，点A在⊙C外，故选：D．本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求点到圆心的距离．2、D【分析】由反比例函数y=的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（3，1），∴y＝，把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合．故选D．本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上．3、D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选：D．本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线．4、A【分析】过原点的直线与反比例函数图象的交点关于原点成中心对称，由此可得B的坐标．【详解】与相交于A，B两点∴A与B关于原点成中心对称∵∴故选择：A．熟知反比例函数的对称性是解题的关键．5、B【分析】根据题意，用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．【详解】解：Rt△ABC中，AB=2BC，

设BC=x，则AC=2x，

根据勾股定理可得，

x2+（2x）2=102，

解得x=或x=（负值舍去），即小正方体上的点N距离地面AB的高度升高了米，

故选：B．此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理的知识，此题比较简单．6、D【分析】先根据图象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，A、直接求出比，B、先判断出∠EBC≠60°，从而得出点P可能在ED上时，△PBQ是等边三角形，但必须是AD的中点，而AE＞ED，所以点P不可能到AD中点的位置，故△PBQ不可能是等边三角形；C、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，D、分点P在BE上和点P在CD上两种情况计算即可．【详解】由图象可知，AD＝BC＝BE＝5，CD＝AB＝4，AE＝3，DE＝2，A、∴AB：AD＝5：4，故A错误，B、∵tan∠ABE＝，∴∠ABE≠30°∴∠PBQ≠60°，∴点P在ED时，有可能△PBQ是等边三角形，∵BE＝BC，∴点P到点E时，点Q到点C，∴点P在线段AD中点时，有可能△PBQ是等边三角形，∵AE＞DE，∴点P不可能到AD的中点，∴△PBQ不可能是等边三角形，故B错误，C、∵△ABE∽△QBP，∴点E只有在CD上，且满足，∴，∴CP＝．∴t＝（BE＋ED＋DQ）÷1＝5＋2＋（4−）＝．故C错误，D、①如图（1）在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝5sin∠AEB＝，∴sin∠CBE＝∵BP＝t，∴PG＝BPsin∠CBE＝t，∴S△BPQ＝BQ×PG＝×t×t＝t2＝4，∴t＝−（舍）或t＝，②当点P在CD上时，S△BPQ＝×BC×PC＝×5×（5＋2＋4−t）＝×（11−t）＝4，∴t＝，∴当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是或秒，故D正确，故选：D．此题是二次函数综合题，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．．7、B【解析】根据黄金分割的定义进行作答.【详解】由黄金分割的定义知，，又MN=4，所以，MP=22.所以答案选B.本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.8、D【解析】A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误；

B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；

C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；

D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．

故选B．9、A【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．【详解】解：若反比例函数经过第一、三象限，则．所以．则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数经过第二、四象限，则a<1．所以b>1．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A正确；故选A．本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10、D【分析】利用不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故①说法错误；若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故②说法错误；③一个正六边形的内角和是180°×（6-2）=720°其外角和是360°，所以一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，故③说法正确；随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，所以随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件，故④说法正确；关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0，，所以方程有两个不相等的实数根，故⑤说法正确．故选：D.本题考查了不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是本题的解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】由已知条件易求直角三角形AOH的面积以及扇形AOC的面积，根据阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣直角三角形AOH的面积，计算即可．【详解】∵BA与⊙O相切于点A，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵OA＝6，AB＝6，∴tan∠B＝，∴∠B＝30°，∴∠O＝60°，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝3，∴AH＝3，∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣直角三角形AOH的面积＝﹣×3×3＝；故答案为：．此题考查圆的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，扇形面积公式，三角函数.12、【分析】如图所示，∠AOB=θ，OA=r，AB=l，∠AOC=∠BOC=，根据，设AB=l=2a，OA=r=3a，根据等量代换得出∠BOC=∠BAE=，求出BE，利用勾股定理求出AE，即可表达出，代入计算即可．【详解】解：如图所示，∠AOB=θ，OA=r，AB=l，∠AOC=∠BOC=，∵AO=BO，∴OC⊥AB，∴，∴设AB=l=2a，OA=r=3a，过点A作AE⊥OB于点E，∵∠B+∠BOC=90°，∠B+∠BAE=90°，∴∠BOC=∠BAE=，∴，即，解得：，由勾股定理得：，∴，故答案为：．本题考查了垂径定理以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，作出辅助线，求出AE的值．13、【分析】过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，利用tan∠DBC=和BD=10可求出DG和BG的长，然后求出CD的长，可知△DCF周长最小，即CF+DF最小，利用“一线三垂直”得到△HDF∽△GED，然后根据对应边成比例推出FH=2GD，可知F在DG右侧距离2DG的直线上，作C点关于直线的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值，利用勾股定理求出DC'，则CD+DC'的长即为周长最小值.【详解】如图，过D作DG⊥BC于点G，过F作FH⊥DG于点H，∵tan∠DBC=，BD=10，设DG=x，BG=2x∴，解得∴DG=，BG=∴GC=BC-BG=∴CD=△DCF周长最小，即CF+DF最小∵∠FDE=90°∴∠HDF+∠GDE=90°∵∠GED+∠GDE=90°∴∠HDF=∠GED又∵∠DHF=∠EGD=90°∴△HDF∽△GED∴∴FH=2GD=即F在DG右侧距离的直线上运动，如图所示，作C点关于直线的对称点C'，连接DC'，DC'的长即为CF+DF的最小值∵DG⊥BC，FH⊥DG，FO⊥CC'∴四边形HFOG为矩形，∴OG=HF=又∵GC=∴OC=OC'=∴GC'=在Rt△DGC'中，DC'=∴△DCF周长的最小值=CD+DC'=故答案为：.本题考查了利用正切值求边长，相似三角形的判定以及最短路径问题，解题的关键是作辅助线将三角形周长最小值转化为“将军饮马”模型.14、1．【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b把y=b代入y＝得,b=则x=,即B的横坐标是同理可得:A的横坐标是：则AB=-（）=则S=×b=1.故答案为1此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b15、7【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n的值.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：7.本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.16、3【分析】作出D关于AB的对称点D'，则PC+PD的最小值就是CD'的长度．在△COD'中根据边角关系即可求解．【详解】作出D关于AB的对称点D'，连接OC，OD'，CD'．又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，∴∠BAD'∠CAB=15°，∴∠CAD'=45°，∴∠COD'=90°．∴△COD'是等腰直角三角形．∵OC=OD'AB=3，∴CD'=3．故答案为：3．本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解答本题的关键．17、，【分析】因式分解法即可求解.【详解】解：x(2x-5)=0,，本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉解题方法是解题关键.18、30°．【分析】根据勾股定理求得AD，再根据三角函数值分析计算．【详解】∵∠C=90°，CD=1，AC=，∴，而AD=BD，∴BD=2，在Rt△ABC中，AC=，BC=BD+CD=3，∴tan∠B=，∴∠B=30°，故填：30°．本题考查勾股定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．三、解答题(共66分)19、（1）游戏1对小明和姐姐是公平的；游戏2对小明和姐姐是公平的；（2）友善福、爱国福、敬业福.【分析】（1）在两种游戏中，分别求出小明和姐姐获胜的概率，即可得答案；（2）分别从国家、社会和个人三个层面解答即可得答案.【详解】（1）小明的游戏：∵共有4种等可能结果，一次摸到小球的标号数字为奇数或为偶数的各有2种，∴小明获胜的概率为＝，姐姐获胜的概率为＝，∴游戏1对小明和姐姐是公平的；姐姐的游戏：画树状图如下：共有16种可能情况，其中两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的共有8种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也共有8种，∴小明获胜的概率为＝，姐姐获胜的概率为＝，∴游戏2对小明和姐姐是公平的．.（2）“五福”中国家层面是：富强福，“五福”中社会层面是：和谐福，“五福”中个人层面是：友善福、爱国福、敬业福．本题考查游戏公平性的判断，判断游戏的公平性要计算每个参与者获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则游戏不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.20、证明见解析.【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到＞0，根据一元二次方程的定义证明结论．【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有，∵（m+1）2≥0，∴，因为，所以不论为何值，方程是一元二次方程.本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．21、见解析.【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】∵点P在∠ABC的平分线上，∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵点P在线段BD的垂直平分线上，∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），如图所示：本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.22、（1）；（2）当销售单价为70元时，最大利润4500元；（3）销售单价定为元．【分析】（1）根据降价1元，销量增加5条，则降价元，销量增加件，即可得出关系式；（2）根据总利润=每条利润×销量，可建立函数关系式，再根据二次函数最值的求法得到最大利润；（3）先求出利润为(3800+200)元时的售价，取符合题意的价格即可．【详解】解：（1）由题意可得：整理得（2）当时，即当销售单价为70元时，最大利润4500元．（3）由题意，得：解得：，抛物线开口向下，对称轴为直线当时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故当销售单价定为元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．本题考查了二次函数的应用，熟练掌握销售问题的等量关系建立二次函数模型是解题的关键．23、(1)；(2)见解析；(3)存在，(，3)，(，3)，(，)【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；

(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；

(3)根据题意得出，然后求出，再代入求解即可．【详解】(1)∵抛物线与轴相交于点C(0，-3)．

∴，

∴，

∴抛物线解析式为，

(2)△BCM是直角三角形，

理由：由(1)有，抛物线解析式为，

∴顶点为M的坐标为(-1，-4)，

由(1)抛物线解析式为，

令，，

∴，

∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(-3，0)，

∴，，=，∵，∴，

∴△BCM是直角三角形，(3)设N点纵坐标为，根据题意得，即，∴，当N点纵坐标为3时，，解得：当N点纵坐标为-3时，，解得：(与点C重合，舍去)，∴N点坐标为(，3)，(，3)，(，)，本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，勾股定理的逆定理的应用，图形面积的计算，解本题的关键是利用勾股定理的逆定理判断出△BCM是直角三角形．24、（1）见解析；（2）（-6,4），2【分析】（1）利用