高中数学北师大版必修五学案第三章不等式4.2简单线性规划

4.2简单线性规划[学习目标]1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，在y轴上的截距是eq\f(z,b)，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．题型一求线性目标函数的最值例1若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))则z＝x－2y的最小值为________．答案－5解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x＝3与直线x－y＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z＝x－2y得到－5.反思与感悟图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值．跟踪训练1(1)x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1(2)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋2y－8≤0，,x≥0，))则z＝3x＋y的最小值为________．答案(1)D(2)1解析(1)如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.题型二非线性目标函数的最值问题例2设实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,x＋2y－4≥0，,2y－3≤0，))求(1)x2＋y2的最小值；(2)eq\f(y,x)的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,y＝2x))的解，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(8,5)))，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2y－3＝0，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(\r(13),2)，所以，x2＋y2的最小值为eq\f(13,4).(2)令v＝eq\f(y,x)，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝eq\f(y－0,x－0).由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以vmax＝eq\f(3,2)，所以eq\f(y,x)的最大值为eq\f(3,2).反思与感悟非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线的斜率等．常见代数式的几何意义主要有：(1)eq\r(x－a2＋y－b2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离．(2)eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．跟踪训练2已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0,2x＋y－2≥0，,3x－y－3≤0))则x2＋y2的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，13))解析已知不等式组所表示的平面区域如图：x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,x－2y＋4＝0，))得A(2，3)．由图可知(x2＋y2)min＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－2|,\r(22＋12))))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,5)，(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.题型三已知目标函数的最值求参数例3若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,y≤3，,ax－y－a≤0，))且x2＋y2的最大值为34，求正实数a的值．解在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过点A(1,0)，斜率为a.又由于x2＋y2＝(eq\r(x2＋y2))2.且x2＋y2的最大值等于34，所以可行域中的点与原点的最大距离等于eq\r(34).解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2＝0，,y＝3，))得M的坐标为(－eq\f(1,2)，3)．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－y－a＝0，,y＝3，))得P的坐标为(eq\f(3,a)＋1,3)．又M(－eq\f(1,2)，3)．|OM|＝eq\r(9＋\f(1,4))＜eq\r(34).∴点P(eq\f(3,a)＋1,3)到原点的距离最大．∴(eq\f(3,a)＋1)2＋9＝34，解得a＝eq\f(3,4).反思与感悟随着对线性规划问题研究的不断深入，出现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数的几何意义，看最值在什么位置取得．跟踪训练3已知变量x，y满足的约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0.))若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．解依据约束条件，画出可行域．∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－eq\f(1,2)，目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，若符合题意，则需k1＞k2.即－eq\f(1,2)＞－a，得a＞eq\f(1,2).1．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x＋y－3＝0上，则m＝1.2．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4B．0C.eq\f(4,3)D．4答案D解析作出可行域，如图所示．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4.3．实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥0，,x－y≥0，))则z＝eq\f(y－1,x)的取值范围是()A．[－1,0]B．(－∞，0]C．[－1，＋∞)D．[－1,1)解析作出可行域，如图所示，eq\f(y－1,x)的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1,1)．4．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x≤1，,x＋y≥1，))则z＝x2＋y2的最小值为________．答案eq\f(1,2)解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＝eq\f(1,2).1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．2．