《正多边形和圆》分层作业

数学第第页《圆》正多边形和圆A卷（基础）一、选择题1．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150° B．144° C．135° D．120°【答案】B【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：B．【知识点】正多边形和圆；切线的性质．【难度】★【题型】选择题2．正六边形的半径为4，则它的边心距是（）A．2 B．4 C．2 D．2【答案】C【解析】如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OA＝4，∠AOG＝30°，∴AG＝12OA＝∴OG＝OA2-AG2=4故选：C．【知识点】正多边形和圆.【难度】★★【题型】选择题3．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故＝．故选：B．【知识点】正多边形和圆．【难度】★【题型】选择题4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB＝2，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A．6 B．6 C．12 D．12【答案】C【解析】如图，连接OA；取的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF＝OA，且∠OFA＝90°，∴∠OAF＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝∠COD＝30°；∵圆的内接正十二边形的中心角＝＝30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB＝2，∴AF＝；在△AOF中，由勾股定理得：，解得：R＝2；在△ODE中，∵∠EOD＝30°，∴DE＝OD＝1，＝1，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．故选：C．【知识点】正多边形和圆．【难度】★★【题型】选择题5．如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A． B．3 C．6 D．4【答案】D【解析】如图，∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为2，∴AH＝3，BC＝AB＝2，∴AE＝，AF＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝×2×3+××1×3＝4，故选：D．【知识点】正多边形和圆.【难度】★★【题型】选择题二、填空题6．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为．【答案】：：1【解析】设圆的半径为R，如图1，连接OB，过O作OD⊥BC于D.图1则∠OBC＝30°，OD=R2，BD＝OB2-OD故BC＝2BD＝R；如图2，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E.图2则△OBE是等腰直角三角形，2BE2＝OB2，即BE＝，故BC＝R；如图3，连接OA、OB，过O作OG⊥AB.图3则△OAB是等边三角形，∠AOG＝30°.故AG＝12O＝12R，AB＝2AG＝故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R＝：：1．【知识点】正多边形和圆．【难度】★★【题型】填空题7．圆内接正方形的半径与边长的比值是．【答案】【解析】在正方形中∠OBE＝45°，则∠BOE＝45°.∴OE＝BE.∵BE2+OE2=OB2，即2BE2=OB2.∴BE=22∴BC=2BE=2OB.∴OBBC=2则半径与边长的比值22故答案为：22【知识点】正多边形和圆．【难度】★★【题型】填空题8．AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP与OB交于点C，则∠OCP的度数为．【答案】90°．【解析】∵AB是⊙O的内接正六边形一边，∴∠AOB＝＝60°，∴＝30°，∵BP∥OA，∴∠OAC＝∠P＝30°，∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．故答案为：90°．【知识点】正多边形和圆；多边形内角与外角；圆周角定理.【难度】★★【题型】填空题解答题9．已知一个圆内接正十二边形的面积为2，求这个圆的内接正六边形的面积．【答案】.【解析】设AB是正六边形的边，AC是正十二边形的边，则AB⊥OC．∵∠AOC＝＝30°，∴设圆的半径是r，则AD=12OA=1∴S△AOC＝OC•AD＝r2＝，∴r2＝．∴S△OAB＝r2＝36．则正六边形的面积是：6×36＝．【知识点】正多边形和圆.【难度】★【题型】解答题10．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，半径为Rcm，求它的周长L和面积S．【答案】见解析【解析】连接AO，BO，过点O作ON⊥AB于点N，∵O是正六边形ABCDEF的中心，半径为Rcm，∴∠AOB＝60°，AO＝BO＝R，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝R，∴它的周长L＝6R；∵△AOB是等边三角形，∴∠AON＝30°.∴AN=12AO=1∴NO＝AO2-AN2＝R∴S△AOB＝×R×R＝R2，∴正六边形的面积S＝6×R2＝R2．【知识点】正多边形和圆.【难度】★★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1．第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】∵AB＝CB，∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，设这个正多边形为正n边形，则＝150°，解得n＝12，经检验n＝12是原方程的解，即这个正多边形是正十二边形，故选：D．【知识点】正多边形和圆.【难度】★【题型】选择题2．如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是（）A．24m2 B． C．48m2 D．【答案】B【解析】如图，连接OB，OC，则OB＝OC＝4m，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝CO＝BO＝4m，S△OBC＝34BC2=43m∴．故选：B．【知识点】正多边形和圆.【难度】★★【题型】选择题3．如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）【答案】A【解析】如图，设正六边形的中心为D，连接AD.∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝OA＝2，∠AOD＝60°，∴OC＝2OD＝2×2＝4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．故选：A．【知识点】正多边形和圆；坐标与图形性质．【难度】★★【题型】选择题4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为⊙O上一点，则∠EFC的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．72°【答案】D【解析】∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠CDE＝＝108°，∵四边形CDEF是⊙O内接四边形，∴∠EFC+∠CDE＝180°，∴∠EFC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣108°＝72°，故选D．【知识点】正多边形和圆；圆周角定理．【难度】★★【题型】选择题5．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（）A．2 B． C．4 D．2【答案】A【解析】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AC是直径，AC＝AB，∴OE＝OF＝AB．∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，∴OE＝OF＝×2×＝2，∴AB＝2，∴AB＝2．即⊙O的内接正方形ABCD的边长为2．故选：A．【知识点】正多边形和圆；正方形的性质；三角形的外接圆与外心．【难度】★★【题型】选择题6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3，故选：B．【知识点】正多边形和圆．【难度】★★【题型】选择题7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】如图，连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴．故选：C．【知识点】正多边形和圆；圆周角定理．【难度】★★【题型】选择题二、填空题8．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，则五边形中心角∠COD的度数是．【答案】72°【解析】∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故答案为：72°．【知识点】正多边形和圆；圆周角定理．【难度】★【题型】填空题9．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．【答案】72°【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故答案为：72°．【知识点】正多边形和圆；圆周角定理．【难度】★【题型】填空题10．一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍，则圆的半径为cm．【答案】．【解析】设圆的半径为xcm，由题意得πx2＝12．∴x＝，故答案为：．【知识点】正多边形和圆；算术平方根．【难度】★★【题型】填空题11．如图，正方形ABCD内接于圆O，E是弧AD上一点，若∠EAF＝15°，则∠AFB的大小为．【答案】60°【解析】连接AO，BO，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∴∠AEB＝45°，∵∠EAF＝15°，∴∠AFB＝∠AEB+∠EAF＝45°+15°＝60°．故答案为：60°．【知识点】正多边形和圆；正方形的性质；圆周角定理．【难度】★★【题型】填空题12．如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥y轴，将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2024时，顶点A的坐标为．【答案】（﹣，1）【解析】根据题意，连接OA，设AF与x轴相交于点H.在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，∴∠AOH＝30°，AH＝AF＝2＝1，∴OH＝＝，∵正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转6次回到原位置，2024÷6＝337…2，∴当n＝2024时，顶点A的坐标为（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．【知识点】正多边形和圆；坐标与图形变化——旋转．【难度】★★【题型】填空题三、解答题13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为10，求图中阴影部分的面积．【答案】见解析.【解析】如图，连接CO、DO，∴S阴影部分＝6（S扇形OCD﹣S正三角形OCD）＝6（﹣25）＝100π﹣150．【知识点】正多边形和圆．【难度】★★【题型】解答题14．如图，已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的中心角．（2）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．【答案】见解析.【解析】（1）如图，连接OA，OB，∵△ABC是正三角形且内接于⊙O，∴∠AOB＝＝120°，即正三角形的中心角为120°；（2）过点O作OC⊥AB于C，则OC是内切圆半径，∵AC＝BC＝AB＝a，∴S圆环＝S外接圆﹣S内切圆＝π×OA2﹣π×OC2＝π（OA2﹣OC2）＝π•AC2＝πa2，答：它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积为πa2．【知识点】正多边形和圆；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．【难度】★★【题型】解答题15．如图，六边形ABCDEF是正六边形，它的外接圆⊙O的半径为8m，求六边形ABCDEF的周长和面积．（结果保留根号）【答案】见解析．【解析】如图，连接OB，OC，作OG⊥BC于G，∵∠BOC＝＝60°，OB＝OC，∴BC＝OB＝OC＝8，BG＝CG，∠COG＝∠BOG＝＝30°，∴BG＝12OB＝∴OG＝OB2-BG2＝8六边形的周长为：6BC＝48m，∴S△BOC＝BC•OG＝12×8×83＝16∴S六边形ABCDEF＝6S△BOC＝963m2【知识点】正多边形和圆．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一、选择题1．如图，正六边形ABCDEF，P点是BF上的一个动点，记图中的面积为S1，S2，S3，S4，S5，S6，已知正六边形边长，下列式子中能确定值的式子是（）A．S2+S6 B．S4+S5 C．S5+S6 D．S1+S3+S5【答案】B【解析】连接EC．在正六边形ABCDEF中，BF∥CE，∴△PEC的面积是定值，∵△ECD的面积是定值，∴△PEC与△ECD的面积和是定值，∴S4+S5是定值．故选：B．【知识点】正多边形和圆．【难度】★★【题型】选择题2．如图，将正五边形ABCDE置于平面直角坐标系中，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣2，﹣1），（c，m），（d，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）【答案】A【解析】∵点A坐标为（0，a），∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，∵点C、D的坐标为（c，m），（d，m），∴点C、D关于y轴对称，∵正五边形ABCDE是轴对称图形，∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，∴点B、E也关于y轴对称，∵点B的坐标为（﹣2，﹣1），∴点E的坐标为（2，﹣1），故选：A．【知识点】正多边形和圆；坐标与图形性质．【难度】★★【题型】选择题二、填空题3．以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD