《直线和圆的位置关系》第3课时教学设计

教学设计课题直线和圆的位置关系第3课时科目数学年级课时1课型新授课授课人教学分析课程标准分析探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条长相等.教学内容分析直线和圆是生活中最常见的几何图形，它的有关性质被广泛应用，尤其对于切线的性质-----切线长定理，它体现了园的轴对称性，为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，为解决与圆有关的数量问题打下了铺垫，具有承上启下的作用.学情分析通过前一段时间的学习，学生对点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系以及圆的基本性质有了一个大概的了解，尤其是通过垂径定理、四者关系（圆心角、弧、弦、弦心距）定理、圆周角定理、切线的判定定理、切线的性质定理等定理的学习和应用，学生的各种能力已经得到一定的锻炼.因此，本课定理的证明学生不会感到困难，但定理的应用，尤其是复杂的应用，学生将会感到一定的困难.资源环境分析多媒体教室教学准备教学目标1.掌握切线长的定义及切线长定理，并利用切线长定理进行有关的计算.2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆.3.通过课题学习，使学生对数学有好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心.重点难点重点：切线长定理及其应用.难点：与切线长定理有关的计算和证明问题.教法学法教法：本节主要采用探究式和讲练结合的方法教学，通过动手画等探究活动，得出圆的切线长定理.并利用观察、探究、讨论、概括等多种方法进行本节课的学习.学法：主要采用小组合作学习的方法.通过小组合作探究，得出切线长定理，并利用定理进行计算.教具资源PPT多媒体课件设计思路通过悠悠球导入本节课的学习.活动一：动手过圆上或圆外一点画切线.结论：过圆上一点只能作圆的一条切线；过圆外一点可以作圆的两条切线.活动二：【探究1】切线长定理.过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【探究2】一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切.通过这个问题，得出三角形内切圆的定义.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做三角形的内心.教学过程教学环节教师活动学生活动资源应用复习回顾，导入新课回顾：１．直线和圆有几种位置关系，分别是什么？２．什么叫直线与圆相切？３．切线的性质定理内容是什么？学生思考，并提问.探究新知同学们玩过悠悠球(如图①)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？如图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？(球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段)这些图形的位置关系是怎样的？活动一：过圆上一点能够画圆的几条切线呢？过圆外一点？教师指导学生根据题意画图，并根据图形回答问题.结论：过圆上一点只能作圆的一条切线；过圆外一点可以作圆的两条切线.活动二：【探究1】切线长定理(多媒体展示)问题1：在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，如图27－2－122，请找出图形中存在哪些等量关系？问题2：请把图形沿着直线PO进行对折，观察两部分能否互相重合？请用语言概括你的发现．教师强调：①切线长的定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，如图27－2－122中的线段PA，PB.②切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.问题3：你能运用所学进行证明吗？证明过程：连结OA，OB，因为PA，PB是圆的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB.因为OA＝OB，PO＝PO，所以Rt△AOP≌Rt△BOP，所以PA＝PB，∠APO＝∠BPO.问题4：如何根据图形，用几何语言描述切线长定理呢？师生活动：学生根据定理的题设和结论，结合图形，进行回答，教师板书并补充.∵PA，PB是圆的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.【探究2】三角形的内切圆(课件展示)有一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切.教师提示：(1)与其中两边都相切的圆的圆心在哪里？(2)与三角形三边都相切的圆的圆心在哪里？总结：①圆心到角两边的距离相等，所以圆心在角的平分线上，则圆心是两个内角的平分线的交点；②与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.学生仔细观察并思考以下问题.学生根据切线的定义，动手画一画学生运用猜想、测量、对折等方法和策略进行探究，教师适时点拨后，学生交流、讨论，说明自己的发现.学生小组内讨论、交流，教师引导，作辅助线证明三角形全等即可，学生写出证明过程.学生根据提示问题，思考解答.通过同学们常玩的游戏悠悠球来激起学生的学习兴趣，并进一步引出切线长及切线长定理.通过实际动手操作引发学生探索切线长定理的求知欲，让学生体会从具体情景和实践操作中发现数学问题的过程，进而解决问题．建议：学生操作思考并回答问题，教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现解决问题的关键.在探索问题的过程中，学生通过自主探索、合作交流发现问题，归纳知识，获得积极、深层次的体验，从而发展学生的探究能力、语言表达能力和归纳总结能力.2．利用实际问题引入三角形的内切圆，层层设问，引导学生作图，指导学生发现知识适用于生活实际，并服务于实际问题.例题解析如图27－2－123，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF，BD，CE的长．解:设AF=x,则AE=xCD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14解得x=4因此AF=4,BD=5,CE=9.例2如图27－2－126，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，若直径AC＝12，∠P＝60°，求弦AB的长.图27－2－126解：连结CB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠CAP＝90°.又∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∴∠CAB＝30°.又∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，cos30°＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝12×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，弦AB的长为6eq\r(3).学生先独立解决问题，然后小组中讨论，鼓励学生勇于探索实践，然后与同桌交流，上讲台演示.随堂训练1．下列命题中，正确的命题有(D)①边长为1.5，2，2.5的三角形是直角三角形②三角形各个内角的平分线的交点是三角形的内心③三角形各条边的中垂线的交点是三角形的外心④三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.A．1个B．2个C．3个D．4个2．若一个直角三角形的斜边长为10cm，内切圆的半径为1cm，则这个三角形的周长是(B)A．15cmB．22cmC．24cmD．26cm3.如图27－2－128，已知△ABC，下面说法正确的有(C)图27－2－128①若O是△ABC的外心，∠A＝50°，则∠BOC＝100°；②若O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC＝115°；③若BC＝6，AB＋AC＝10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.A．1个B．2个C．3个D．4个4.如图27－2－129，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是__2__．图27－2－1295.如图27－2－130，等腰三角形ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切.图27－2－130(1)⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由；(2)若AB＝5，BC＝4，求⊙O的半径.课堂小结1、本节课学会了那些知识和方法？学生总结，后一个为前一个补充，教师总结.通过提问式总结，使学生知识系统化，脉络更清晰.布置作业板书设计切线长定理与三角形的内切圆切线长定理切线长定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，