《勾股定理的逆定理》分层作业

数学第第页《勾股定理》勾股定理的逆定理A卷（基础）一、选择题1．以下列数据为长度的线段，可以构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，3，5【答案】C【解析】A．12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B．22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C．12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；D．（）2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】选择题2．下列各组数是勾股数的一组是（）A．13，14，15 B．40，9，41 C．3，4， D．1，，【答案】B【解析】A．132+142≠152，故不是勾股数，故选项不符合题意；B．92+402＝412，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；C．3，4，，不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；D．1，，，不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．故选：B．【知识点】勾股数．【难度】★【题型】选择题3．下列各组数据不能作为直角三角形边长的是（）A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，，2【答案】A【解析】32+52≠72，故选项A符合题意；62+82＝102，故选项B不符合题意；52+122＝132，故选项C不符合题意；12+（）2＝22，故选项D不符合题意；故选：A．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】选择题4．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（）A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余【答案】B【解析】如果AB2+BC2＝AC2，那么△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．故选：B．【知识点】勾股定理的逆定理的应用．【难度】★【题型】选择题5．如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走路（）A．20米 B．30米 C．40米 D．50米【答案】A【解析】在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，∴AC＝＝50（米），30+40﹣50＝20（米），∴走这条近路AC可以少走20米的路．故选：A．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★★【题型】选择题二、填空题6．在△ABC中，若AC2+AB2＝BC2，则∠B+∠C＝．【答案】90°【解析】∵AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，∴∠B+∠C＝180°﹣90°＝90°，故答案为90°．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】填空题7．已知两线段的长分别是5cm，3cm，则第三条线段长是时，这三条线段构成直角三角形．【答案】4或cm【解析】当第三条线段为直角边时，5cm为斜边，根据勾股定理，得第三条线段长为＝4（cm）；当第三条线段为斜边时，根据勾股定理，得第三条线段长为＝（cm）．故答案为4或cm．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】填空题8．若一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为三角形．【答案】直角【解析】∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形为直角三角形．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】填空题解答题9．如图，6月5日法制广场一棵大树在离地面3米处被风折断，树的顶端落在离树干底部4米处，求这棵树折断之前的高度．【答案】8米【解析】∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+3＝8（米）．答：这棵树折断之前的高度是8米．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★【题型】解答题10．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°，试求∠BAD的度数．【答案】135°．【解析】如图，连接AC．∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝，∠BAC＝45°．又∵CD＝，AD＝1，AC＝，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD为直角三角形，∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°．【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【难度】★★【题型】解答题B卷（巩固）选择题1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 B．∠A+∠B＝∠C C．a＝32，b＝42，c＝52 D．a2﹣b2＝c2【答案】C【解析】A．∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝90°，∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；B．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90，∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；C．∵a2+b2＝81+256＝337，c2＝625，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故C符合题意；D．∵a2﹣b2＝c2，∴c2+b2＝a2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；故选：C．【知识点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【难度】★【题型】选择题2．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为（）A．4.8 B．8 C．6 D．2.4【答案】A【解析】∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，设三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式，得×6×8＝×10h，解得h＝4.8．故选：A．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】选择题3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角C．如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角 D．a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边【答案】A【解析】A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝180°÷2＝90°，∴△ABC是直角三角形，a为斜边，符合题意；B．∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C．∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；D．∵a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形，不符合题意．故选：A．【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【难度】★【题型】选择题4．如图，△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是BC边上的中线，则AD的长度为（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】∵△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°．∵AD是BC边上的中线，∴BD＝1，由勾股定理，得AD＝，故选：D．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】选择题5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝50°，∠C＝40° B．∠A＝2∠B＝3∠C C．a＝4，b＝，c＝5 D．a∶b∶c＝1∶∶【答案】B【解析】A．∵∠B＝50°，∠C＝40°，∴∠A＝180°﹣50°﹣40°＝90°，∴△ABC是直角三角形；B．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A≠∠B+∠C，∴△ABC不是直角三角形；C．∵a＝4，b＝，c＝5，∴a2+c2＝b2，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形．D．∵a∶b∶c＝1∶∶，∴可以假设a＝k，b＝k，c＝k，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：B．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】选择题6．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（）A．边a的对角是直角 B．边b的对角是直角 C．边c的对角是直角 D．是等腰三角形【答案】A【解析】∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2．又∵△ABC的三边为a，b，c，∴该三角形为直角三角形，∠A＝90°，∴a边的对角是直角，故选：A．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★【题型】选择题7．小颖同学将一根铁丝剪成九段，分成三个组：①1cm，2cm，3cm；②6cm，8cm，10cm；③9cm，40cm，41cm．分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有（）A．② B．①② C．①③ D．②③【答案】D【解析】∵12+22＝5≠9＝32，∴①不能构成直角三角形，故不符合要求；∵62+82＝100＝102，∴②能构成直角三角形，故符合要求；∵412﹣402＝81＝92，∴92+402＝412，∴③能构成直角三角形，故符合要求；故选：D．【知识点】勾股定理的逆定理．【难度】★★【题型】选择题二、填空题8．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行．【答案】13m【解析】建立数学模型，两棵树的高度差AC＝10﹣5＝5m，间距AB＝DE＝12m，根据勾股定理，可得小鸟至少飞行的距离BC＝＝13（m）．故答案为13m．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★【题型】填空题9．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．则阴影部分的面积为．【答案】24【解析】在RT△ABC中，AB＝＝5，∵AD＝13，BD＝12，∴AB2+BD2＝AD2，即可判断△ABD为直角三角形，阴影部分的面积＝AB×BD﹣BC×AC＝30﹣6＝24．故答案为24．【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【难度】★【题型】填空题10．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了米．【答案】9【解析】在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米）．∵CD＝10米，∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），即船向岸边移动了9米，故答案为9．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★★【题型】填空题11．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距．【答案】40海里【解析】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32，12×2＝24（海里），根据勾股定理，得＝40（海里）．故答案为：40海里．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★★【题型】填空题12．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝°．【答案】45【解析】连接AC，由题意，得AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．∵AC＝BC＝，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，故答案为45．【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【难度】★★【题型】填空题三、解答题13．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这时梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端沿水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少．【答案】7米．【解析】∵AC⊥BC，∴AC2+BC2＝AB2，CE2+CD2＝DE2，∵AB＝DE，CE＝24﹣4＝20，CD＝CB+8，∴242+CB2＝202+（BC+8）2，解得CB＝7，答：滑动前梯子底端与墙的距离CB是7米．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★★【题型】解答题14．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．（1）分别求出边AB，AC，BC的长度，并计算△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1），，2，3+；（2）直角三角形．【解析】（1）由勾股定理，得AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝＝2，△ABC的周长＝AB+AC+BC＝++2＝3+；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵AB＝，AC＝，BC＝，∴AB2+BC2＝13+52＝65，AC2＝65，∴AB2+BC2＝AC2，即△ABC的形状是直角三角形．【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【难度】★★【题型】解答题15．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，求BC的长．【答案】．【解析】∵AB＝10，BD＝6，AD＝8，∴BD2+AD2＝100＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°．设CA＝CB＝x，则CD＝BC﹣BD＝x﹣6，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2，即x2＝82+（x﹣6）2，解得，∴．【知识点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质．【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）选择题1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25．∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故选：A．【知识点】勾股定理的应用．【难度】★★【题型】选择题2．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝90时，b的值为（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【解析】从表中可知a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…即90＝2×45，b依次为8，15，24，35，48，…即当a＝90时，b＝452﹣1＝2024．故选：C．【知识点】勾股数．【难度】★★【题型】选择题二、填空题3．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是hcm，则h的取值范围是．【答案】11≤h≤12【解析】∵将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x＝12，最长时等于杯子斜边长度是x＝＝13，∴h的取值范围是（24﹣13）≤h≤（24﹣12），即11