大学物理学 第二卷 近代物理基础 第6版 课件 21 氢原子中的电子

第二十一章

氢原子中的电子

第四节

氢原子的概率幅函数与概率

密度函数第三节量子数的物理解释第二节用薛定谔方程解氢原子问题第一节氢原子的波尔模型CollegePhysics

大学物理波尔本章核心内容1.玻尔对氢原子结构的猜想、应用与验证。2.球坐标系中三维定态薛定谔方程形式与求解思路。3.四个量子数n,l,ml,ms的来历、意义与作用。4.计算氢原子中电子出现在空间某区间概率。CollegePhysics

大学物理（旧量子论）一、玻尔理论的历史背景1、氢(原子)光谱的解释研究原子结构规律有两条途径：★

利用高能粒子轰击原子—轰出未知粒子来研究

(高能物理)；★

通过在外界激发下，原子的发射光谱来研究光谱

分析。第一节氢原子的玻尔模型光谱的分类：线光谱：

谱线是分明、清楚的，表示波长的数值有一定间隔。

带状光谱：谱线是分段密集的，每段中相邻波长

差别很小。连续光谱：谱线的波长具有各种值，而且相邻波

长相差很小，或者说是连续变化的。

光谱光谱是电磁辐射的波长成分和强度分布的记录。有时只是波长成分的记录。第一节氢原子的玻尔模型

氢原子可见光谱4861.3ÅHβ4340.5ÅHγ4101.7ÅHδ6562.8ÅHa长度单位A即由此得来。。。1853年瑞典人埃格斯特朗（A.J.Angstrom）测得氢可见光光谱的红线。(1)线状谱1853年第一节氢原子的玻尔模型

1885年从某些星体的光谱中观察到的氢光谱谱线已达14条。瑞士数学家巴尔末波长常数

1896年，瑞典物理学家里得堡波数（2）谱线系第一节氢原子的玻尔模型氢原子谱线系如下：里德伯常量

波数：单位长度中所包含的完整的波数目。第一节氢原子的玻尔模型

第一节氢原子的玻尔模型以上各谱线系可概括为：

依次代表莱曼系、巴尔末系、帕邢系、布喇开系、普丰德系。莱曼系巴尔末系帕邢系布拉开系普丰特系第一节氢原子的玻尔模型

意义：氢原子中电子从第

个状态向第

状态

跃迁时发光波长的倒数。讨论：对应同一线系不同谱线。不同值不同，对应不同线系；同一(2)值，频率公式光谱项第一节氢原子的玻尔模型(1)光谱是线状的，谱线有一定位置。(2)谱线间有一定的关系，可构成谱线系。同一谱线系可用一个公式表示，不同系的谱线有些也有关系，例如有共同的光谱项。

结论：

莱曼系巴尔末系帕邢系布拉开系普丰特系第一节氢原子的玻尔模型(3)每一条谱线的波数可以表示为二光谱项差。不同原子有不同形式的光谱项。说明：原子光谱线系的规律性深刻地反映了原子内部的规律性，其他元素的光谱也有类似的规律性。第一节氢原子的玻尔模型

2、卢瑟福模型的问题(1911年)

卢瑟福根据α粒子散射实验的结果，提出了原子的有核模型：①原子的中心是原子核，几乎占有原子的全

部质量，集中了原子中全部的正电荷。②电子绕原子核旋转。③原子核的体积比原子的体积小得多。原子半径~10-10m，原子核半径10-14~10-15m第一节氢原子的玻尔模型+

根据经典电磁理论，电子绕核作匀速率圆周运动，作加速运动的电子将不断向外辐射电磁波。+发射光谱应是连续谱；原子不稳定在不到

内即可落入核上，使原子瓦解。第一节氢原子的玻尔模型二、玻尔的三个假设

电子在原子中，可以在一些特定的圆周轨道上运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态），并具有一定的能量。1、定态假设说明：在经验性基础上，借鉴了普朗克的能量子概念，解决了原子的稳定性问题。1913年第一节氢原子的玻尔模型的定态时，要发射频率为

的光子.频率条件2、频率条件

当原子从高能量的定态跃迁到低能量氢光谱：能级跃迁

说明：从普朗克的能量子假设引申而来，并借鉴了爱因斯坦的光量子概念，因此是合理的，它能解释线光谱的起源。第一节氢原子的玻尔模型3、角动量量子化假设电子绕核运动时，只有电子角动量的整数倍的那些轨道上才是稳定的，即(1)角动量

(2)量子化普郎克常数轨道半径主量子数●+e●-ernvnEnmmp第一节氢原子的玻尔模型（3）定态

在轨道上显示的是驻波

如果在电子轨道的长度上正好能摆下整数个驻波的波长，那么就是稳定的，也就是允许的轨道。第一节氢原子的波尔模型说明：角动量量子化原先是人为加进去的，它可以从德布罗意假设得出。三、玻尔氢原子图像电子在原子核电场中的运动核不动；圆轨道；非相对论

根据电子绕核作圆周运动的模型及角动量量子化条件可以计算出氢原子处于各定态时的电子轨道半径和能量。第一节氢原子的玻尔模型氢原子图像：电子围绕原子核在一些特定的稳定轨道上运动而不发出电磁波；电子通过吸收或者放出一个特定频率的光子可以在不同的轨道之间跳跃。

1、轨道量子化利用角动量量子化条件:

平方乘库仑力=向心力第一节氢原子的玻尔模型电子轨迹半径玻尔半径，记作电子轨迹半径可表示为轨道量子化第一节氢原子的玻尔模型电子轨迹只能取分立值结论：电子运动轨道半径是量子化的，即电子运动轨道量子化。2、电子的能量E

第一节氢原子的玻尔模型（2）静电势能

(3)电子总能

(1)动能第一节氢原子的玻尔模型激发态能量基态能量氢原子的能量只能取下列分立值：，…这些不连续能量称为能级。能量是量子化的第一节氢原子的玻尔模型1913年玻尔理论说明原子有定态能级.1914年弗兰克和赫兹用实验证实了原子中存在分立的能级。讨论：原子的能量是量子化的。（

时，能量

连续）相对能级间隔第一节氢原子的玻尔模型四、解释氢光谱1、能级图频率条件速率第一节氢原子的玻尔模型赖曼系巴尔末系帕邢系布拉开系氢原子能级和能级跃迁图：

第一节氢原子的波尔模型2、里德堡常数的理论值经验值

理论值第一节氢原子的玻尔模型（1）正确的指出原子能级的存在（原子能量量子化）；（2）正确的指出定态和角动量量子化的概念；（3）正确的解释了氢原子及类氢离子光谱；五、氢原子玻尔理论的意义和困难（4）无法解释比氢原子更复杂的原子；（5）把微观粒子的运动视为有确定的轨道是不正确的；（6）是半经典半量子理论，存在逻辑上的缺点，即把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又赋予它们量子化的特征.第一节氢原子的玻尔模型处理方法(1)假定原子核是静止的,氢原子的状态由核外电子的运动状态来决定;(2)用波函数描述处于原子势场中的电子;一、氢原子的薛定谔方程第二节用薛定谔方程解氢原子问题一维：

设氢原子中电子的质量为m，电荷为-e，它与原子核之间的距离为r。取原子核为原点O，电子的势能为(1)势能第二节用薛定谔方程解氢原子问题拉普拉斯算符

第二节用薛定谔方程解氢原子问题定态薛定谔方程时间因子方程三维薛定谔方程第二节用薛定谔方程解氢原子问题在球坐标系下第二节用薛定谔方程解氢原子问题定态薛定谔方程为第二节用薛定谔方程解氢原子问题二、分离变量法

径向方程

极角方程

方位角方程第二节用薛定谔方程解氢原子问题势能三维定态薛定谔方程一+rnMmM>>m第三节量子数的物理解释波函数径向方程极角方程方位角方程第三节量子数的物理解释一、量子数通解为1、方位角（）方程

为使波函数为单值函数,即ryxz0

第三节量子数的物理解释---轨道角动量磁量子数由归一化条件

---归一化波函数第三节量子数的物理解释2、极角（）方程(连属勒让德方程)(1)两个参数第三节量子数的物理解释物理条件波函数应满足单值、连续、有限。在区间，有限r

yxz0角量子数第三节量子数的物理解释角动量大小

(2)

角量子数角动量的大小是量子化的。量子:经典：角动量第三节量子数的物理解释（3）角动量方向

角动量外磁场z轴投影

---轨道角动量磁量子数空间量子化

角动量在空间的取向

只有（2l+1）种可能性。角动量矢量模型图第三节量子数的物理解释z0例：ml

=1ml

=0ml

=-1角动量与轴的夹角第三节量子数的物理解释(4)

光谱学符号0s1p2d3f4g5h角量子数光谱学符号

ml

=0ml

=-2ml

=2ml

=1ml

=-1第三节量子数的物理解释3、径向方程(连属拉盖尔方程)（1）

两个参数

ryxz0第三节量子数的物理解释物理条件有限l=0，1，2，3…（n

1）其中：主量子数第三节量子数的物理解释★

n=1的能级称为基态能级，n>1的能级称为激发态能级。讨论：★由解薛定谔方程得到的能量公式与玻尔理论的结果相同，氢原子的能量只能取分立值，即能量是量子化的,称n为主量子数;能量是量子化能级.第三节量子数的物理解释n=1基态能量n=2,3,…激发态能量12345

当n很大时，能级间隔消失而变为连续。第三节量子数的物理解释第三节量子数的物理解释4、电子的自旋

1925年两位荷兰学生乌仑贝克和古兹米特，根据一系列实验事实提出了大胆的假设：电子除有轨道角动量外，还有自旋角动量。后又经狄拉克从理论导出。

自旋量子数：s=1/2自旋在磁场方向的投影：自旋角动量：ms=

(1/2)

自旋磁量子数：

z(B)S-ħ/2ħ/2（1）史特恩---盖拉赫实验（2）碱金属原子光谱的双线结构5、量子数关系

（1）主量子数n：它大体上决定了原子中电子的能量。

（2）角量子数l：它决定电子绕核运动的角动量的大小。第三节量子数的物理解释对应一个,有个取值。对应一个,有

个取值。

第三节量子数的物理解释（3）磁量子数

:它决定电子角动量z分量Lz的量子化，

即空间量子化。（4）

自旋磁量子数：它决定电子自旋角动量z分量Sz的量子化，即自旋的空间量子化。二、波函数的不同表示第三节量子数的物理解释——

2

00基态n=1第一激发态n=2l=0——ml=0——ml=0、

1

210

21-1

211l=1——

100

第三节量子数的物理解释对一个值，波函数的数目

第三节量子数的物理解释llll

不同的量子态具有相同的能量，这种情形称为能级简并。

简并度

对同一个n值，l可取不同的值，则电子的角动量就有不同的值，因而氢原子内电子的状态必须同时用n和l两个量子数才能确切表征。第三节量子数的物理解释角动量状态例1:n=3,l=0,1,2，电子分别为3s,3p，3d。

通常用主量子数和代表角量子数的字母一起来表示原子的状态。第三节量子数的物理解释氢原子内电子的状态l=0l=1l=2l=3l=4l=5spdfghn=11sn=22s2pn=33s3p 3dn=44s4p 4d 4fn=55s5p 5d 5f5gn=66s6p 6d 6f6g 6h第三节量子数的物理解释例2:设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角

动量大小及角动量的空间取向。解：2p态表示n=2,l=1。根据得角动量的大小为第三节量子数的物理解释

当l=1时，ml的可能值是-1,0,+1，可能值是-

ћ,0,+

ћ,角动量方向与外磁场的夹角可能值为：0ml

=1ml

=0ml

=-1第三节量子数的物理解释例3:氢原子中的电子处于由n=4与l=3所描述的状态。问:

(1)电子轨道角动量L的数值为多少?

(2)这角动量L在z轴上的分量有哪些可能值?

(3)角动量L与z轴的夹角有哪些可能值?解：

电子处于n=4,l=3态,即4f态

。(1)

轨道角动量(2)

根据Lz的可能值有：0，±ћ，±2ћ，±3ћ第三节量子数的物理解释

(3)

当l=3时，ml的可能值是-3,

-2,

-1,0,+1,+2,+3,角动量方向与外磁场的夹角可能值为：第三节量子数的物理解释B(z)（1）电子波函数一、基本概念

1、概率密度（2）电子在核外空间出现的概率密度:

波函数模的平方第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数

电子云：电子概率分布的一种形象化描述。——电子在（n,l,ml）态下，在空间（r,

,

）处单位体积出现的概率。

氢原子中的电子是按一定的概率分布在原子核的周围。第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数

2、球坐标体积元中概率

电子出现在r→r+dr，方向角为q→q+dq

、j→

j+dj

的概率为概率密度第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数

3、归一化波函数：径向角向第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数电子出现在r→r+dr的概率

二、径向概率分布计算径向几率密度为：波函数：径向角向第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数|

||

|基态：—玻尔半径电子出现在r=a0

的单位厚度球壳层内的概率最大。n=1,l=0⊕a0a0r第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数n=2，l=0,1 对l=1的电子，概率最大。激发态04第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数n=3，l=0,1,2 09对l=2的电子，概率最大。一般：l=n

1时，电子在的概率最大。第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数例4:基态氢原子的径向波函数为：式中a0为玻尔半径。问：

(1)基态氢原子中r为何值时电子的径向概率密度最大?(2)基态氢原子中电子出现在玻尔半径a0内的概率为多大？解：

基态氢原子中电子概率密度的径向分布函数为：(1)解得：只有

径向概率密度最大。(2)基态氢原子中电子在玻尔轨道半径a0内的概率：第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数变量代换:设

，则：

，电子的几率密度随角度的变化电子在附近的立体角内的几率：三、角度概率分布图第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数（1）按分布

第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数

角发现电子的概率相同。概率密度与无关，即不同的

几率密度绕z轴旋转对称分布。ryxz0

第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数（2）按分布第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数（3）角向概率密度角向概率密度第四节氢原子的概率幅函数和概率密度函数

由坐标原点引向曲线的长度表示方向的概率大小。各向