理论力学-9动力学普遍定理

质点运动微分方程9-1动量定理9-2动量矩定理9-3动能定理9-4第9章动力学基本定理理论力学研究对象：质点和质点系研究内容：研究物体运动与受力的关系两类基本问题：（1）已知运动求力（2）已知力求运动动力学的基础：牛顿第二定律动力学原理的表达形式：微分形式和积分形式（有限形式）动力学动力学作题步骤选择研究对象受力分析（受力图）运动分析列动力学方程求解

即牛顿三定律-动力学的理论基础。

第一定律(惯性定律):不受力作用的质点将保持静止或作匀速直线运动。

定性地给出了力与运动之间的关系。

惯性：质点保持静止或作匀速直线运动的属性。9-1质点运动微分方程一、牛顿定律第二定律:定量地给出了力与加速度之间的关系。是质点动力学的基本方程。质量：物体惯性大小的度量。第三定律(作用与反作用定律)：

即静力学公理四。牛顿第一第二定律只能用于质点或平动刚体。将牛顿第二定律中的加速度写为微分形式即可。2.直角坐标形式：

二、质点运动微分方程3.自然坐标形式：

1.矢量形式：

例9-1：单摆φ＝φ0时v＝v0，OA＝l。求任意时刻的速度和绳拉力。OφAmgFTt解：研究A，受力如图。用牛顿定律

例9-2：子弹质量为m，出口速度为u，沿x方向射出，阻力F＝kvx2，由于y向风力作用。经过距离s后偏离d，求y向恒风力Fy的表达式。ydusx解：研究子弹

例9-3：已知R、w，偏心距OC＝e，物块A的质量为m。设开始时OC水平。求：物块对导板的最大压力和使物块不离开导板的w最大值。

解：研究物块AFNmgx物块不离开导板时定义质点动量为一、动量9-2动量定理衡量质点运动强度大小的物理量。例：子弹，船舶。对于质点系，动量根据重心公式，得到质心公式可在直角坐标轴上投影：则有因此质点系动量牛顿定律：——积分形式动量定理

二、动量定理——微分形式动量定理质点mi力分为：

内力质点系或即定义力的冲量：对微分形式动量定理积分得：衡量力在一段时间内的积累效应。常用投影形式：或：

p2x－p1x＝SIxp2y－p1y＝SIyp2z－p1z＝SIz动量定理:且：三、质心运动定理所以投影形式：若SFx＝0，则px＝常量。结论：(1)只有外力才能改变质点系的总动量;(2)在保持质点系总动量不变的情况下,内力只在质点系内部各质点之间传递能量,改变各质点之间的相对运动。例：汽车的运动。四、动量守恒与质心运动守恒

同样有质心运动守恒：若SFx＝0，质心速度在x方向的速度vCx＝常量;

此时，若初始静止，则质心x坐标保持不变。

设不可压缩流体的体积流量为qV，密度为r。解：研究ab段流体，受力如图。在dt时间内质量的变化为dm，利用微分形式动量定理。五、管道对管内流体的动反力动量定理静力平衡多分支管道动反力可写为投影形式。

例9-4：重锤重量Q＝300N,自h＝1.5m处落下,撞击工件时间t＝0.01s,求平均压力。hQQFNy代入数值得：FN=16.9kN解：研究重锤，在开始下落与工件变形结束时刻之间铅垂方向利用动量定理。p2y=p1y=0p2y－p1y＝SIy

例9-5：半径为r的偏心轮以w

绕定轴O转动。质量为m1的滑杆Ⅰ借右端弹簧的推压而顶在偏心轮上作往复运动。设轮质量为m2，偏心距为e。求在任一瞬时机座螺钉的总反力。

解法1：用动量定理。研究整体，受力如图。滑杆I的运动方程及速度动量代入动量定理则

解法2：用质心运动定理。研究整体，受力如图。

例9-6：已知圆盘m1、R，求质量为m2的小球从最高点由静止下落的运动轨迹。m1m2R解：建立坐标系，任意时刻的位置如图。运动方程：水平方向动量守恒（质心坐标守恒）求得代入运动方程得到yxx1q

例9-7：垂直于薄板的水流流经薄板时被分为两部分。一部分流量为qV1=7L/s，另一部分偏离了角度q，忽略水重和摩擦，求角度q和水对薄板的压力。已知总流量为qV=21

L/s，水流速度v1=v2=v=28m/s。求得Fx解：研究水，受力如图。利用动压力公式。θ=30°，Fx=249N

例9-8：移动式胶带输送机，每小时可输送109m3的砂子。砂子的密度为1400kg/m3，输送带速度为1.6m/s。设砂子在入口处的速度为v1，方向垂直向下，在出口处的速度为v2，方向水平向右。如输送机不动，试问此时地面沿水平方向总的阻力有多大？解：研究整体，受力如图。利用动压力公式。FxFy动量定理或质心运动定理解决了质点系随质心的平动问题，但对于质量相同、质心速度相同的两个质点系，动量定理不能揭示它们之间的运动差别。动量矩定理则在一定程度上描述了质点系相对于定点或质心转动的动力学关系。9-3动量矩定理

一、动量矩1.对任意点（轴）的动量矩

类似力矩定义,将动量直接对点或轴求矩:注意：动量矩没有类似动量计算的简单公式。即：对质点系（不做证明）2.对质心（轴）的动量矩即：以质点相对质心的相对速度和以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果相同。

可证明：

即：质点系对任一点O的动量矩，等于质点系随质心平移时对点O的动量矩加上质点系相对于质心的动量矩。将动量矩直接求导得：二、动量矩定理动量定理01.对固定点的动量矩定理对质点系中任意质点mi，将受力分为：内力Fi(i)和外力Fi(e)整个质点系Smi：常用投影形式（即对轴的动量矩定理）：则Lz＝常量动量矩守恒:2.对质心的动量矩定理将动量矩直接求导得：展开得到……：OφAmgl例9-9:求单摆的运动规律。vtFT解:研究A，受力如图。利用对O的动量矩定理。例9-10:水平圆板可绕通过圆心的铅垂z轴转动。在圆板上有一质点M作圆周运动，已知其速度的大小为常量v0，质点M的质量为m，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆板上的位置由φ角确定。如圆板的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远在点M0时，圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，求圆板的角速度与φ角的关系。解:研究整体（受力未画）。外力对轴z的矩为零，动量矩守恒初始时刻动量矩为任意位置质点动量矩等于相对速度的动量矩与牵连速度动量矩相加。牵连速度动量矩为相对速度动量矩为任意位置总动量矩为动量矩守恒得角速度为例9-11:水轮机转轮，每两叶片间的水流皆相同。在图面内的进口水的速度为v1，出口速度为v2，θ1和θ2分别为v1和v2与切线方向的夹角。如总的体积流量为qV，水的密度为ρ。求水流对转轮的转动力矩。

解:取两叶片间的水为研究对象，经过dt时间，此部分水由ABCD位置移到abcd。设流动是稳定的，则其对转轴O的动量矩改变为如转轮有n个叶片，则有所以由动量矩定理，水流所受到的对O轴的总力矩为1.定轴转动刚体的动量矩

Lz＝SMz(mivi)

＝S(mivi)ri

＝S(miwri)ri

＝wSmiri2＝wJzJz＝Smiri2

称为刚体绕z轴转动的转动惯量。三、刚体定轴转动微分方程

将定轴转动刚体的动量矩Lz＝Jzw

代入动量矩定理有：2.刚体定轴转动微分方程

3.转动惯量的物理意义比较Jza＝SMz(F)和ma＝SF知：

Jz为物体转动刚性大小的度量。4.转动惯量的计算（1）积分法：（2）用回转半径表示：（3）平行轴定理：d为平行轴Jz、JzC之间的距离

zzC

m

dC

举例:均质直杆的转动惯量。举例:均质圆环的转动惯量。举例:均质圆盘的转动惯量。

举例:已知杆长为l,质量为m1,圆盘直径为d,质量为m2。求JO解:

例9-12:两杆AD、BE与刚体牢固连接，并借两杆将刚体活动地挂在水平轴DE上。AB轴//DE，刚体绕DE作微小摆动，求振动周期T。若物体的质量为m，AB与DE间的距离为h，不计杆AD和BE的质量。求刚体对AB的转动惯量。解：研究整体，受力与运动模型如图。利用定轴转动微分方程:自振周期利用平行轴定理平面运动——随质心（基点）的平动＋绕质心（基点）的转动作用力（向质心简化）——主矢＋主矩四、刚体平面运动微分方程转动部分（动量矩定理）平动部分（质心运动定理）

因此平面运动微分方程

例9-13：已知m、r、R、F，对C的回转半径r。设轮子与地面之间的摩擦因数为fs。讨论F与运动状态的关系，并求轮心加速度aC。RrCmgFFNFs解：平面运动微分方程（1）设纯滚动，则联立求解得：RrCmgFFNFs纯滚动条件：（2）假设轮子既滚又滑，有与平面运动微分方程联立解得代入得到：或：显然时纯滚动时既滚又滑

例9-14：直角弯杆质量m＝3kg,ED＝EA＝200mm,在D点铰接于加速运动的板上。A、B两点固定两个光滑螺栓,整个系统位于铅垂面内,板沿直线轨道运动。(1)若a＝2g(g为重力加速度),求A或B及铰D给予弯杆的力;(2)若在A、B处均不受力,求板的加速度a及铰D的力。ABED

解：受力如图，用平面运动方程解。设曲杆质心距曲杆边缘的距离为b，则由质心公式求得：ABEDFABFDxFDymg（1）令a=2g（2）令FAB=0动能定理从能量的角度研究质点系运动能量的变化与受力作功之间的关系。1.力的功9-4动能定理

功是衡量力在一段路程上的积累效应（和冲量的概念对比）。

定义为力与沿力作用方向走过的路程的乘积。功是标量，单位是J（焦耳）。一、功、功率与动能质点M在变力F作用下沿曲线运动。力F在dt时间内经过微小弧长ds，位移为dr，则在矢量坐标、自然坐标和直角坐标下力F作的微功为力F在从M1到M2的全路程上作的功几种常见力的功（1）重力的功：

设有重为mg的质点M，由M1(x1,y1,z1)处沿曲线移至M2(x2,y2,z2)，则重力的功为：

质点系：（2）弹性力的功（不证明）

d1、d2为弹簧初始位置和终止位置的变形量。（3）定轴转动刚体上力的功tR力偶的功（4）摩擦力的功一般情况下，动滑动摩擦力与接触面的相对位移方向相反，作负功；

静滑动摩擦力不作功；

纯滚动圆盘（轮）的摩擦力也不作功。FFsFNmgsC（5）约束力的功在静力学中接触到的所有约束力都不作功，包括光滑接触面约束、柔性体约束、各种铰链约束、二力杆约束等。事实上，工程中的大部分复杂约束的约束力也不作功，遇到某些特殊的约束，具体情况具体分析（6）内力的功质点系中，虽然内力成对出现，但各质点之间若有相对运动，则内力作功不为零。事实上，工程中的大部分机构就是靠内力作功而工作的。2.功率转动物体衡量力作功能力大小的物理量，等于单位时间内力作的功。用P表示

例9-15：半径为R的轮纯滚动。在半径为r的鼓轮上绕以细绳，并作用常力F，分析鼓轮向左运动还是向右运动？当轮心C移动距离s时，力F作的功为多少？解：不易直接计算功。利用功率的概念。以C为基点研究轮上B点B力F的功率力F的功（1）质点：平动刚体：（2）质点系：定轴转动刚体：平面运动刚体：

3.动能1.动能定理二、动能定理与功率方程质点mi：质点系Smi：即：积分得：有：则：2.功率方程求导得到三、机械能守恒定律如果作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力称为有势力或保守力。重力和弹性力都是有势力。1.有势力2.势能有势力作用的质点系，力从点M运动到任选的初始点（称为零势能点）M0，有势力所作的功若系统运动过程中，只有有势力作功，此系统称为保守系统3.保守系统5.机械能守恒定律质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变4.机械能动能与势能之和：

T+V是动能定理的特殊形式。注意定律的使用条件（有势力场中）。机械能守恒定律相关的题目，动能定理都能解。

例9-16：人拉绳子，以匀速v0走过路程s，提起质量为m的重物，初始时拉力与坚直线成α角，人肩至滑轮高度为h，求人的拉力所做的功。解：设人到滑轮O的距离用l表示，重物上升的速度为v。人走过距离s前后重物的速度为重物上升的高度为利用动能定理有由此可求出人的拉力作的功为

例9-17：均质杆AB，BO质量均为m，长度为l，在铅垂内运动。在杆AB上作用力偶M，从图示位置由静止开始运动。不计摩擦，求A即将碰到铰支座O时A端的速度。解：研究整体，利用动能定理代入动能定理求得

例9-18：均质杆长l,质量为ml,均质圆柱质量为m2,半径为R,自图示q＝45°位置由静止开始纯滚动。求点A在初瞬时的加速度。解：研究整体，利用功率方程vCPC

vCPC代入功率方程并利用，然后代入并利用此时最后得到求外力、约束反力：动量定理、平面运动微分方程；转动问题求运动：动量矩定理、定轴转动微分方程、动能定理；涉及一段路程内的运动时：动能定理；求运动规律（速度量）：动能定理、动量守恒、动量矩守恒、质心运动守恒等；求加速度量：功率方程、平面运动微分方程、动量定理等。

9-5动力学普遍定理的综合应用

例9-19：A质量为m1，B质量为m2。斜面与水平成q

角，滑轮和绳的质量和摩擦均略去不计。求E的水平力。

解：研究整体。（2）利用功率方程代入功率方程求得（1）水平方向利用动量定理……

例9-20：正方形均质板的质量为40kg，边长b＝100mm。求：板中心C的加速度和两绳AD和BE的张力。（1）当软绳FG刚刚剪断时；（2）当AD和BE两绳位于铅直位置时。解：研究板。利用平面运动微分方程联立解得：……利用动能定理求v

例9-21：均质棒AB的质量为m＝