直角三角形全等判定HL 教案

教案标题直角三角形全等判定（HL）教师姓名学生姓名学科数学适用年级初二年级适用范围全国教学目标知识目标在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题能力目标经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力．情感态度价值观培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵．知识点直角三角形全等的判定重难点重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法．难点：培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达知识讲解A斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．ADADACFEBCFEB如图：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF

例题讲解例1.AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．[答案]BC=AD．[详细答案】【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件．证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC=AD．例2.下列说法正确的是（）面积相等的两个直角三角形全等周长相等的两个直角三角形全等斜边相等的两个直角三角形全等有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等[答案]D[详细答案]周长和面积相等的两个三角形全等是错误的，斜边相等的两个三角形全等不具备全等的条件，只有D答案具备全等的条件。例3.有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？[答案]∠ABC与∠DEF是互余的．[详细答案]解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,∴△ABC≌△DEF∴∠ABC=∠DEF∵∠DEF+∠DFE=90°∴∠ABC+∠DFE=90°．∴∠ABC与∠DEF是互余的．例4.AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.[答案]∠ABC=∠DCB．[详细答案]证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠CFD=90°在Rt△ABE和Rt△DCF中，∵AE=DF,AB=DC∴Rt△ABE≌Rt△DCF∴∠ABC=∠DCB．例5.AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AB∥CD．[答案]AB∥CD．[详细答案]证明：CE=BF，所以CE+EF=BF+EF，即BE=CF，在Rt△AEB和Rt△DCF中，∴△ABE≌△DCF，所以∠B=∠C，∴AB∥CD．例6.在△ABC中，∠B=∠C，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：AD平分∠BAC．[答案]AD平分∠BAC.[详细答案]证明：DF⊥AC，DE⊥AB，所以∠BED=∠CFD=90°。在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF．在Rt△AED和Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.课后作业A.基础题自测ACDB1、如图1，点C在∠DAB的内部，CD⊥ACDB那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是（）A．SSS B.ASA C.SAS D.HL[答案]D[详细答案]因为在Rt△ADC中，AC是斜边，公共边，CD=CB因为在Rt△ADC与Rt△ABC中，所以Rt△ADC≌Rt△ABC（图1）BCDF┎┘AE2BCDF┎┘AE且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（）.A．SSS B.AAS C.SAS D.HL[答案]B[详细答案]因为CE⊥AB，DF⊥AB，所以,因为AC∥DB，所以所以在Rt△AEC与Rt△BFC中，（图2）Rt△AEC≌Rt△BFC┐ABMC┐ABMC[答案]20[详细答案]20（过点M作AB边的垂线段即可)根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得。（图3）B.中档题演练1、OC是∠BOA的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，若PE=5cm，则PD=【答案】5【详细答案】根据角平分线的性质可得PE=PD=52.判断题：①判断直角三角形全等的方法只有“HL”（）②有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等（）③有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）④全等三角形对应边上的高相等（）【答案】错、对、对、对【详细答案】（1）所有的判定定理都可以用，所以1是错误的。（2）正好用斜边直角边就能判定全等是对的。（3）正好用斜边直角边就能判定全等是对的。（4）全等三角形对应边相等所以是对的。3.（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等;②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等;④相等的角为直角时全等A．0B．1C．2D．3【答案】B【详细答案】（1）是错误的，没有条件可判定全等。（2）判定条件和锐角钝角无关。（3）判定条件和锐角钝角无关。（4）如果是直角三角形正好能用边角边或斜边直角边来判定。所以只有（4）是对的。4．在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形【答案】D【详细答案】A,做底边上的高就能分成两个全等的直角三角形。B,做斜边上的中线根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得两个等要三角形。C，用对应直角边做公共边就能做出等腰三角形。D,不全等的两个三角形不能拼成所以D是错误的。5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2B．∠1=∠2;C．∠1>∠2D．不能确定【答案】D【详细答案】因为CF是∠ACB的平分线，但不一定是的角平分线。C.难题我破解1．已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.【答案】Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)【详细答案】分析：欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°∴在Rt△BCE与Rt△CBD中∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)∴∠1=∠2，∴OB=OC2．已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE【答案】BE⊥CD.【详细答案】分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中BD=BCBE=BE∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）∴DE=EC又∵BD=BC∴E、B在CD的垂直平分线上即BE⊥CD.3．已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。【答案】DG=EG。【详细答案】分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全