扬州市一模(六)数学

2018届高三年级第一次模拟考试(六)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－x)2，其中x＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi.棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.若集合A＝{x|1<x<3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝________．2.若复数(a－2i)(1＋3i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．3.若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差是________．4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2000名男生中体重在70～78(kg)的人数为________．(第4题)(第5题)5.运行如图所示的流程图，输出的结果是________．6.已知从2名男生2名女生中任选2人，则恰有1男1女的概率为________．7.若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为eq\f(2π,3)的扇形，则此圆锥的体积为________．8.若实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤4，,y≤3，,3x＋4y≥12，))则x2＋y2的取值范围是________．9.已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3aeq\o\al(2,2)，则S3＝________．10．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝sinx－x＋eq\f(1－4x,2x)，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为________．12．已知正△ABC的边长为2，点P为线段AB中垂线上任意一点，Q为射线AP上一点，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝1，则|eq\o(CQ,\s\up6(→))|的最大值为________．13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（－x＋1）－1，x∈[－1，k]，,－2|x－1|，x∈（k，a]，))若存在实数k使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a的取值范围是________．14．已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．(1)证明：B1C1∥平面A1DE；(2)若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.16.(本小题满分14分)已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC的面积为9.(1)求AC的长度；(2)当△ABC为锐角三角形时，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))的值．

17.(本小题满分14分)如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上．经测量得，扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为eq\f(2π,3)、半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S，设∠POS＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．(1)试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；(2)试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值.

18.(本小题满分16分)已知椭圆E1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若椭圆E2：eq\f(x2,ma2)＋eq\f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，则称椭圆E2与椭圆E1“相似”．(1)求经过点(eq\r(,2)，1)，且与椭圆E1：eq\f(x2,2)＋y2＝1“相似”的椭圆E2的方程；(2)若m＝4，椭圆E1的离心率为eq\f(\r(,2),2)，点P在椭圆E2上，过点P的直线l交椭圆E1于A，B两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，①若点B的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l的方程；②若直线OP，OA的斜率之积为－eq\f(1,2)，求实数λ的值．

19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.(1)若g(－1)＝0，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值：(2)若不等式f(x)>x2＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．

20.(本小题满分16分)已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an，数列{bn}满足b1＝eq\f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq\f(bn,an).(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝eq\f(bn＋2,Sn)，求c1＋c2＋…＋cn的值；(3)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r的值；若不存在，请说明理由．

2018届高三年级第一次模拟考试(六)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x，y∈R，若点M(1，1)在矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,x,3,y)))对应的变换作用下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.C.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(\r(,2),2)t，,y＝\f(\r(,2),2)t))(t是参数，m是常数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且PQ＝2，求实数m的值．

22.(本小题满分10分)扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所．(1)求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率；(2)设X，Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23．(本小题满分10分)二进制规定：每个二进制数由若干个0，1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，Sn是所有n位二进制数构成的集合，对于an，bn∈Sn，M