北京四中2025-2026学年度第一学期高一数学期末考试试卷

北京四中2025—2025学年度第一学期期末试卷高一数学2025.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4]本卷满分：100分题号一二三本卷总分171819分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.如果，且，则是（）（A）第一象限的角（B）第二象限的角（C）第三象限的角（D）第四象限的角2.化简等于（）（A）（B）（C）（D）3.若向量共线，则实数的值是（）（A）（B）（C）（D）4.函数的一个单调递增区间是（）（A）（B）（C）（D）5.是（）（A）最小正周期为的偶函数（B）最小正周期为的奇函数（C）最小正周期为的偶函数（D）最小正周期为的奇函数6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）（A）向左平移个单位长度（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向右平移个单位长度7.若直线是函数图象的一条对称轴，则的值可以是（）（A）（B）（C）（D）8.已知非零向量,夹角为,且,.则等于（）（A）（B）（C）（D）9.函数的图象与直线的交点个数为（）（A）3（B）4（C）7（D）810.关于函数，给出下列三个结论：①函数的最小值是；②函数的最大值是；③函数在区间上单调递增.其中全部正确结论的序号是（）（A）②（B）②③（C）①③（D）①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.ABCD11._____ABCD12.如图所示，为中边的中点，设，，则_____.（用，表示）13.角终边上一点的坐标为，则_____.14.设向量，则的夹角等于_____.15.已知，且，则_____.16.已知函数（其中）图象过点，且在区间上单调递增，则的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（本小题满分12分）如图所示CBODyx，两点是函数（）图象上相邻的两个最高点，点为函数图象与轴的一个交点.CBODyx（Ⅰ）若，求在区间上的值域；（Ⅱ）若，求的值．19．（本小题满分12分）ABCP如图，在中，，.ABCP（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中.求的最大值.B卷[学期综合]本卷满分：50分题号一二本卷总分678分数一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1．设，，，则_____．2．_____，_____．3．已知函数且，则实数_____．4．已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．5．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度(单位：升/小时)与液体所处环境的温度(单位：℃)近似地满足函数关系（为自然对数的底数，为常数).若该液体在℃的蒸发速度是升/小时，在℃的蒸发速度为升/小时，则该液体在℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6．（本小题满分10分）已知函数.（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求满足不等式的实数的取值范围．7．（本小题满分10分）设为实数，函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；（Ⅱ）设函数，为在区间上的最大值，求的最小值.8．（本小题满分10分）设函数定义域为，若在上单调递增，在上单调递减，则称为函数的峰点，为含峰函数．（特别地，若在上单调递增或递减，则峰点为或）对于不易直接求出峰点的含峰函数，可通过做试验的方法给出的近似值.试验原理为：“对任意的，，，若，则为含峰区间，此时称为近似峰点；若，则为含峰区间，此时称为近似峰点”．我们把近似峰点与之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为，其值为（其中表示中较大的数）．（Ⅰ）若，．求此试验的预计误差．（Ⅱ）如何选取、，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明的取值即可）．（Ⅲ）选取，，，可以确定含峰区间为或.在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可以进一步得到一个新的预计误差．分别求出当和时预计误差的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2025—2025学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2025.1A卷[必修模块4]满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C；2.B；3.B；4.C；5.D；6.D；7.A；8.A；9.C；10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.；12.；13.；14.；15.；16..三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，且，所以.………………3分所以.………………5分所以.………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，………………9分.………………11分所以.………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意，因为，所以.所以.………………3分所以.………………6分所以，函数的值域为.………………8分（Ⅱ）由已知，，,………………11分所以，.因为，所以，，解得.又，所以.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）………………2分.………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则，.………………5分设，，………………6分ABCPABCPyx得.所以.所以，，………………8分………………10分.………………11分因为，.所以，当，即时，的最大值为.………………12分B卷[学期综合]满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.；2.；3.；4.；5..注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）解:（Ⅰ）因为，所以.………………4分所以为奇函数.………………6分（Ⅱ）由不等式，得.………………8分整理得，………………9分所以，即.………………10分7.（本小题满分10分）解:（Ⅰ）当时，.二次函数图象的对称轴为，开口向上.所以在区间上，当时，的最小值为.………………1分当或时，的最大值为.………………2分所以在区间上的值域为.………………3分（Ⅱ）注意到的零点是和，且抛物线开口向上.当时，在区间上，的最大值.………………4分当时，需比较与的大小，，所以，当时，；当时，.所以，当时，的最大值.………5分当时，的最大值.………………6分当时，的最大值.………………7分当时，的最大值.………………8分所以，的最大值………………9分所以，当时，的最小值为.………………10分8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知，.所以.………………4分（Ⅱ）取，，此时试验的预计误差为.………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计.证明：