（重庆三诊）重庆市2026届高三第三次联合诊断检测 数学试卷康德卷（含答案及解析）

康德卷重庆市2026届高三第三次联合诊断检测 数学 2026.05.15数学共4页，满分150分.时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在数组1，2，2，4，5中加入3，6两个数之后，不变的统计量是A.平均数 B. 中位数 C.众数 D. 方差2.已知复数z1=1A.4+3i B.3+4i C.4-3i D.3-4i3. 已知集合A={x|x²-x-2＞0},B={x|x＞1或-1＜x＜0},则A∩B=A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞)4.已知a,b∈R,则“a＜b”是“a3A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知双曲线C:x2a2-y2bA.24 B.22 C.22 6. 已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2A.6 B.7 C.8 D.147.若fx=4x+aA.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,-1)∪(1,2)8.在平面中，∣AB∣=∣AE∣=3,∣AC∣=4,且A.95 B.2 C.125 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.一个不透明的袋子中装有10个球，其中6个白球，4个红球，除颜色外其他都相同，现甲、乙、丙三人依次从袋中不放回摸出一个球，则A. 甲摸到红球的概率为25 B. 乙摸到红球的概率为C. 甲、乙都摸到红球的概率为215 D. 乙、丙都摸到红球的概率为10.已知函数fxA.f(x+π)=f(x) B.fC.f(x)在区间(0π6上单调递减 D.f(x)在区间11.已知a,b均为正实数,且a+2b=2,则A.a2C.log2a+log2b≤-1 D.(tanα-1)(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在2x-113.已知三棱锥P-ABC的顶点均在球O的球面上，若PA=PC=AC=214.已知抛物线(C:y2=2pxp0)的焦点为F，过点F且斜率为正数的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线相交于点D，若四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,已知(a(1)求a,b;(2)若△ABC的周长为7,求△ABC的面积.16.(15分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,AA₁=1,D,E,D₁,E₁分别是棱AC,(1)证明:平面C₁DE∥平面ABE₁D₁;(2)求平面C₁DE与平面A₁B₁ED夹角的余弦值.17.(15分)已知数列{an}满足a1=3,对∀n≥(1)证明：数列an(2)设bn=an2n，求数列{bn}18.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1（(1)求椭圆E的标准方程；(2)若A,B,C为椭圆上不重合的三点,且△ABC的外接圆圆心为M(1,0).(i)求△ABC外接圆半径的取值范围；(ii)求△ABC面积的最大值.19.(17分)调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用.欧拉证明了调和级数1+12+13+⋯+1n-1+1n=(1)证明:当x∈(0,1)时, x(2)利用(1)证明γ∈(0,1);(3)某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者.如果不聘用，面试者会马上转去其它公司.假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人，面试官决定采用以下策略：选择前k(k＞2)个候选人作为观察期，记录其中最佳者(记为A).在后续候选人中，选择第一个比A更优的候选人(记为B)，并继续寻找第二个比A更优者(记为C).如果找到满足条件的B，C，则录取B，C，剩下的候选者不再进行面试.如果后续候选人中没有比A更好的两个人，则招聘失败.已知有30个候选人来参加面试，估计k取多少时，招聘到最优秀的两个人的概率最大?(参考数据：-重庆市2026届高三第三次联合诊断检测数学参考答案一、选择题：12345678CADCCBBA1题解析：显然众数不变，计算平均数，中位数，方差均发生变化.2题解析：z3题解析：因为A=x∣x2-x4题解析：y=x3是增函数，故a＜ba3＜b3,5题解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为b=λa⇒ba=6题解析：由Sn=14n-n2可得an7题解析:由f(x)是奇函数即f(x)+f(-x)=0,所以a=1,则fx=1+248题解析：由题意有AB⊥AC,由AD=1+λ22AB+1二、选择题：91011ABCBCBC9题解析：甲、乙、丙依次从袋中不放回的摸出一个球，则每个人摸到红球的概率p=410=25,AB正确；甲乙都摸到红球的概率p=10题解析：fx+π=∣sinx+π-12∣=∣sinx+12∣≠fx,A错误;由f(x)的图象是g(x)=sinx图象向下平移12，再将x轴下半部分翻折上去，即可得到f(x)的图象，由图象可知，f(x)最大值在x=2kπ-π2处取得，所以fx≤f11题解析：a2+4b2≥a+2b22a+22b≥22a⋅因为a+2b≥22ab,可得ab≤12,所以由a+2b=2,得tana+2若1-tanatan2b＞0,则tana+tan2b＜tanatan2b-1,tanatan2b-tanα-tan2b＞1,(tana-1)(tan2b-1)＞2,所以D错误.三、填空题：12.60 13.3π 14.212题解析：通项为Tk+1=C6k13题解析：由题意有PB2=BA2+P14题解析：如图，分别过A，B作准线的垂线交准线于点A₁，B₁，则有|BB₁|=|BF|,|AA₁|=|AF|,由AF=3FB,所以有BB1AA1=13,即BDDA四、解答题：15.(13分)解：(1)由余弦定理cosC=a①若cosC≠0,可得ab=2,由a+b=4且a＞b解得,a②若cosC=0,a2+b(2)①当cosC≠0时,由(1)及a+b+c=7,得c=3,所以cosC=a2+b2 10分②当cosC=0时,则有(a2+b此时△ABC的面积S=12(备注：若此题只考虑了①不扣分)16.(15分)解:(1)在矩形BCC₁B₁中,E,E₁分别为BC,B₁C₁的中点,所以BE₁//EC₁,在△ABC中,DE∥AB,在△A₁B₁C₁中,D₁E₁∥A₁B₁,因为AB∥A₁B₁,所以DE∥D₁E₁,因为DE,EC₁是平面CDE内的两条相交直线,D₁E₁,BE₁是平面ABE₁D₁内的两相交直线,所以平面C₁DE∥平面ABED₁;……6分(2)以AB中点O为坐标原点，AB方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0),,A(-1,0,0),C(0,3,0),B₁(1,0,1),C₁(0,3,1),E(12,5,0),DE=100,EC1=-12321,设平面C₁DE的法向量为m=xyz,则{m→·DE→=0m→·EC1→=0⇒{x=0-x+17.(15分)解:(1)当n=2时,a当n≥2时,an+1整理有an+1由a2-a1-1=2,所以(2)由(1)知,an+1当n≥2时,a相加有a所以有an=2n+n,当n=1S①×①-②,整理有Sn=n18.(17分)解:(1)由题意得b=1,设P(x,y),短轴端点B₁(0,-1),B₂(0,1),由题意kPB1⋅kPB2=-14(2)(i)设△ABC的外接圆M:x-12+y2=r2,题目转化为圆M与椭圆E有三个交点，联立{x24+y2=1 4分{Δ=16(3r2-2)＞0f(ii)设圆M与椭圆E相交于点A，B，C，D，由对称性不妨设x令t=3r2-2由(i)知,xA=xB=4-2所以△ABC面积为S=令gt=495+4当t=1时，取最大值g1=829, 故△ABC19.(17分)解:(1)令f(x)=ln(1+x)-x,则f'x=11+x-1=-x1+x,当x∈(0,1)时,f'(x)＜0,即f(x)在x∈(0,1)上单调递减,故f(x)＜f(0令gx=ln1+x-xx+1,则g'x=11+x-11+x2,当x∈(0,1)时,g'(x)＞0,即g(2)令x=1n, 由(1)得1n1n＜1由调和级数1+12+13+⋯+1n-1+1n由12+13+⋯+1n＜lnn,可得lnn-1+γ＜lnn,得γ＜1,(3)我们不妨把n个人记为1，2，3，…，n，其中数字越大表示能力越强，下面列举出n，n-1被成功选出的方法：①若n和n-1分别在k+1和k+2位，则一定会被选出，p②若n和n-1一个在k+3位，一个在k+1到k+2位，则要求前面剩下的k+1个位置中的数，最大的数在第1位到第k位，p③若n和n-1一个在k+4位，一个在k+1到k+3位，则要求前面剩下的k+2个位置中的数，最大的数在第1位到第k位，p最后，若n和n-1一个在n位，一个在k+1到n-1位，则要求前面剩下的n-2个位置中的数，最大的数在第1位到第k位，p则招聘到最优秀的两个人的概率为