2025年城南中学高试题及答案

2025年城南中学高试题及答案本文借鉴了近年相关经典试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。---2025年城南中学高试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）1.若集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，则\(A\cap\{x\midx>1\}\)等于：A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,2\}\)D.\(\{x\midx>1\}\)2.函数\(f(x)=\log_2(x-1)\)的定义域是：A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\([1,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)3.已知向量\(\mathbf{a}=(3,4)\)和\(\mathbf{b}=(1,2)\)，则\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)等于：A.11B.14C.5D.104.在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(a_3=16\)，则\(a_5\)等于：A.64B.128C.256D.5125.抛掷两枚均匀的骰子，点数之和为7的概率是：A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{12}\)C.\(\frac{5}{36}\)D.\(\frac{1}{18}\)6.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是：A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)7.若\(\tan\theta=\sqrt{3}\)，则\(\theta\)可能是：A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)8.某几何体的三视图如图所示，该几何体是：A.正方体B.球体C.圆锥D.圆柱9.若\(f(x)=x^3-ax^2+bx\)在\(x=1\)处取得极值，且极值为0，则\(a\)和\(b\)的值分别是：A.\(a=3\)，\(b=-2\)B.\(a=2\)，\(b=-1\)C.\(a=3\)，\(b=2\)D.\(a=2\)，\(b=1\)10.在直角坐标系中，点\(P(a,b)\)关于直线\(y=x\)对称的点的坐标是：A.\((a,b)\)B.\((b,a)\)C.\((-a,-b)\)D.\((-b,-a)\)11.已知\(\triangleABC\)中，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(\cosB=\frac{5}{13}\)，则\(\sinC\)等于：A.\(\frac{33}{65}\)B.\(\frac{56}{65}\)C.\(\frac{12}{13}\)D.\(\frac{1}{2}\)12.若\(z=1+i\)，则\(|z|^2\)等于：A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将答案填在答题卡相应位置。）13.若\(\log_3x=2\)，则\(x\)等于________。14.在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_5=10\)，\(a_10=25\)，则\(a_15\)等于________。15.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则\(\sin2\alpha\)等于________。16.已知\(A(1,2)\)，\(B(3,0)\)，则线段\(AB\)的中点坐标是________。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.(本小题满分12分)解方程：\(2x^2-3x-2=0\)。18.(本小题满分12分)已知\(\mathbf{a}=(2,1)\)，\(\mathbf{b}=(k,3)\)，且\(\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}\)，求\(k\)的值。19.(本小题满分12分)在\(\triangleABC\)中，已知\(a=5\)，\(b=7\)，\(C=60^\circ\)，求\(c\)的值。20.(本小题满分12分)已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求\(f(x)\)的单调区间。21.(本小题满分12分)在直角坐标系中，点\(A(1,0)\)，\(B(0,1)\)，过点\(P(2,0)\)作直线\(l\)与\(\triangleOAB\)的面积最小，求直线\(l\)的方程。22.(本小题满分14分)已知\(z=1+i\)，求\(\frac{z^2}{z-1}\)的模长。---答案与解析一、选择题1.B解析：\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}=\{1,2\}\)，\(A\cap\{x\midx>1\}=\{2\}\)。2.B解析：函数\(f(x)=\log_2(x-1)\)的定义域为\(x-1>0\)，即\(x>1\)。3.A解析：\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\times1+4\times2=11\)。4.A解析：等比数列的公比\(q=\frac{a_3}{a_1}=\frac{16}{2}=8\)，则\(a_5=a_3\timesq^2=16\times8=64\)。5.A解析：点数之和为7的组合有\((1,6)\)，\((2,5)\)，\((3,4)\)，\((4,3)\)，\((5,2)\)，\((6,1)\)，共6种，概率为\(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)。6.A解析：函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期为\(\frac{2\pi}{2}=\pi\)。7.B解析：若\(\tan\theta=\sqrt{3}\)，则\(\theta=\frac{\pi}{3}+k\pi\)，当\(k=0\)时，\(\theta=\frac{\pi}{3}\)。8.D解析：根据三视图可知该几何体为圆柱。9.A解析：\(f'(x)=3x^2-2ax+b\)，在\(x=1\)处取得极值，则\(f'(1)=0\)，即\(3-2a+b=0\)，又\(f(1)=0\)，即\(1-a+b=0\)，解得\(a=3\)，\(b=-2\)。10.B解析：点\(P(a,b)\)关于直线\(y=x\)对称的点的坐标是\((b,a)\)。11.A解析：\(\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\)，\(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=\frac{12}{13}\)，由三角形内角和定理，\(\sinC=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{3}{5}\times\frac{5}{13}+\frac{4}{5}\times\frac{12}{13}=\frac{33}{65}\)。12.C解析：\(|z|^2=|1+i|^2=1^2+1^2=2\)。二、填空题13.\(9\)解析：\(\log_3x=2\)，则\(x=3^2=9\)。14.\(40\)解析：等差数列的公差\(d=\frac{a_{10}-a_5}{10-5}=\frac{25-10}{5}=3\)，则\(a_{15}=a_{10}+5d=25+5\times3=40\)。15.\(-\frac{1}{2}\)解析：\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\)，则\(2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{2}\)，即\(\sin2\alpha=-\frac{1}{2}\)。16.\((2,1)\)解析：线段\(AB\)的中点坐标为\(\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(2,1)\)。三、解答题17.解方程：\(2x^2-3x-2=0\)。解析：因式分解得\((x-2)(2x+1)=0\)，解得\(x=2\)或\(x=-\frac{1}{2}\)。18.已知\(\mathbf{a}=(2,1)\)，\(\mathbf{b}=(k,3)\)，且\(\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}\)，求\(k\)的值。解析：向量平行的条件是\(\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}\)，即\((2,1)=\lambda(k,3)\)，解得\(\lambda=\frac{2}{k}\)，又\(1=3\lambda\)，即\(1=3\times\frac{2}{k}\)，解得\(k=6\)。19.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=5\)，\(b=7\)，\(C=60^\circ\)，求\(c\)的值。解析：由余弦定理，\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=5^2+7^2-2\times5\times7\times\cos60^\circ=25+49-35=39\)，则\(c=\sqrt{39}\)。20.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求\(f(x)\)的单调区间。解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)，当\(x\in(-\infty,0)\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增；当\(x\in(0,2)\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x\in(2,+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。21.在直角坐标系中，点\(A(1,0)\)，\(B(0,1)\)，过点\(P(2,0)\)作直线\(l\)与\(\triangleOAB\)的面积最小，求直线\(l\)的方程。解析：设直线\(l\)的方程为\(y=k(x-2)\)，则直线\(l\)与\(x\)轴的交点为\((2,0)\)，与\(y\)轴的交点为\((0,-2k)\)，三角形\(\triangleOAB\)的面积为\(\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}\)，即\(\frac{1}{2}\times2\times|-2k|