2025年黄冈中学竞赛试题及答案

2025年黄冈中学竞赛试题及答案本文借鉴了近年相关经典试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。一、选择题（每题3分，共30分）1.已知集合\(A=\{x\mid-1\leqx\leq2\}\)和\(B=\{x\midx^2-3x+2\leq0\}\)，则集合\(A\capB\)等于（）。A.\(\{x\mid-1\leqx\leq1\}\)B.\(\{x\mid1\leqx\leq2\}\)C.\(\{x\mid0\leqx\leq2\}\)D.\(\{x\mid-1\leqx\leq2\}\)2.函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}\)的值域是（）。A.\([-1,1)\)B.\((-1,1]\)C.\([-1,1]\)D.\((-1,1)\)3.在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(a_4=6\)，则\(a_7\)等于（）。A.8B.10C.12D.144.已知\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)为第二象限角，则\(\cos\theta\)等于（）。A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.抛掷两个均匀的六面骰子，则两个骰子点数之和为7的概率是（）。A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{12}\)C.\(\frac{5}{36}\)D.\(\frac{6}{36}\)6.已知\(f(x)=x^3-ax^2+bx\)，且\(f(1)=0\)，\(f'(1)=6\)，则\(a\)和\(b\)的值分别是（）。A.\(a=3\)，\(b=2\)B.\(a=2\)，\(b=3\)C.\(a=4\)，\(b=3\)D.\(a=3\)，\(b=3\)7.在直角三角形\(ABC\)中，若\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，则\(\sinA\)等于（）。A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)8.已知\(z=1+i\)，则\(\bar{z}\cdotz\)等于（）。A.2B.1C.0D.-19.已知\(y=\log_2(3x-1)\)在\(x\)轴上的截距是（）。A.\(\frac{1}{3}\)B.1C.3D.\(\frac{1}{2}\)10.在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，且\(PA\perp平面ABCD\)，若\(PA=2\)，\(AB=3\)，\(BC=4\)，则\(PC\)的长度等于（）。A.5B.\(\sqrt{29}\)C.\(\sqrt{31}\)D.\(\sqrt{33}\)二、填空题（每题4分，共20分）1.若\(\tan\alpha=2\)，则\(\sin\alpha\cos\alpha\)等于________。2.在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_2=6\)，\(a_4=54\)，则\(a_1\)等于________。3.函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的单调递增区间是________。4.在\(\triangleABC\)中，若\(a=5\)，\(b=7\)，\(C=60^\circ\)，则\(c\)等于________。5.已知\(\sin(2\theta+\phi)=\frac{1}{2}\)，且\(\cos\phi=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\sin\theta\)等于________。三、解答题（共50分）1.（10分）解方程：\(2x^2-3x-2=0\)。2.（10分）已知\(a>0\)，函数\(f(x)=ax^2-2x+1\)，求\(f(x)\)的最小值。3.（10分）在\(\triangleABC\)中，若\(a=3\)，\(b=4\)，\(C=60^\circ\)，求\(c\)和\(\sinA\)。4.（10分）已知\(z_1=2+i\)，\(z_2=1-i\)，求\(\frac{z_1}{z_2}\)的模长。5.（10分）在直角坐标系中，点\(A(1,2)\)，点\(B(3,0)\)，求过点\(A\)且与直线\(AB\)垂直的直线方程。答案与解析一、选择题1.B解析：集合\(B=\{x\midx^2-3x+2\leq0\}=\{x\mid1\leqx\leq2\}\)，因此\(A\capB=\{x\mid1\leqx\leq2\}\)。2.C解析：函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}\)，当\(x\)趋向无穷大时，\(f(x)\)趋向1；当\(x=0\)时，\(f(x)=-1\)，因此值域为\([-1,1]\)。3.C解析：等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_4=a_1+3d\)，因此\(6=2+3d\)，解得\(d=\frac{4}{3}\)，因此\(a_7=a_1+6d=2+6\times\frac{4}{3}=10\)。4.B解析：\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)为第二象限角，因此\(\cos\theta=-\sqrt{1-\sin^2\theta}=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\frac{4}{5}\)。5.A解析：抛掷两个骰子，点数之和为7的组合有（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1），共6种，因此概率为\(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)。6.D解析：\(f(1)=0\)，因此\(1-a+b=0\)，即\(a-b=1\)。\(f'(x)=3x^2-2ax+b\)，因此\(f'(1)=3-2a+b=6\)，即\(-2a+b=3\)。解方程组得\(a=3\)，\(b=4\)。7.B解析：直角三角形中，\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}\)。8.A解析：\(\bar{z}=1-i\)，因此\(\bar{z}\cdotz=(1-i)(1+i)=1^2-i^2=2\)。9.A解析：令\(y=0\)，则\(\log_2(3x-1)=0\)，即\(3x-1=1\)，解得\(x=\frac{2}{3}\)。10.B解析：在直角三角形\(PAB\)中，\(PB=\sqrt{PA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)。在直角三角形\(PBC\)中，\(PC=\sqrt{PB^2+BC^2}=\sqrt{13+16}=\sqrt{29}\)。二、填空题1.\(\frac{3}{5}\)解析：\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha\)，由于\(\tan\alpha=2\)，因此\(\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{4}{5}\)，所以\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{5}\)。2.2解析：等比数列中，\(a_4=a_2\cdotq^2\)，因此\(54=6\cdotq^2\)，解得\(q=3\)，因此\(a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{6}{3}=2\)。3.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)解析：\(f'(x)=3x^2-6x\)，令\(f'(x)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，因此单调递增区间为\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。4.\(\sqrt{19}\)解析：由余弦定理，\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\frac{1}{2}=74\)，因此\(c=\sqrt{74}\)。5.\(\frac{1}{4}\)解析：由于\(\cos\phi=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，因此\(\phi=30^\circ\)，所以\(\sin(2\theta+30^\circ)=\frac{1}{2}\)，即\(2\theta+30^\circ=30^\circ\)或\(150^\circ\)，解得\(\theta=0^\circ\)或\(60^\circ\)，因此\(\sin\theta=0\)或\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。三、解答题1.解方程：\(2x^2-3x-2=0\)解析：使用求根公式，\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\frac{3\pm5}{4}\)，因此\(x=2\)或\(x=-\frac{1}{2}\)。2.已知\(a>0\)，函数\(f(x)=ax^2-2x+1\)，求\(f(x)\)的最小值解析：\(f(x)=ax^2-2x+1\)，顶点坐标为\(x=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{a}\)，因此最小值为\(f\left(\frac{1}{a}\right)=a\left(\frac{1}{a}\right)^2-2\left(\frac{1}{a}\right)+1=\frac{1}{a}-\frac{2}{a}+1=1-\frac{1}{a}\)。3.在\(\triangleABC\)中，若\(a=3\)，\(b=4\)，\(C=60^\circ\)，求\(c\)和\(\sinA\)解析：由余弦定理，\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=9+16-2\cdot3\cdot4\cdot\frac{1}{2}=13\)，因此\(c=\sqrt{13}\)。由正弦定理，\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，因此\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\)。4.已知\(z_1=2+i\)，\(z_2=1-i\)，求\(\frac{z_1}{z_2}\)的模长解析：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)，模长为\(\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\rig