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文档简介

初中数学名校资源2/2《因式分解法解一元一次方程》教学设计一、教学内容分析教材通过实际问题引入方程10x-4.9=0,这个方程如果用配方法或公式法求解,计算量都不小,且容易出错.学生在学习了前面几节课内容的基础上,已经有了挑战新问题的动力,并且已经领悟了解一元二次方程的策略——降次,所以用这个方程引入非常合适,让学生思考除了之前所学习过的配方法和公式法以外,是否还有更简单的解法,接着思考为什么用这种方法可以求出方程的解,从而引出本节课的教学内容.解一元二次方程的基本策略是降次,因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式的乘积为0的形式,体现了降次的思想,是解某些一元二次方程较为简便灵活的一种特殊方法.因式分解法解一元二次方程,是先将方程的一边分解成两个一次因式相乘,另一边为0的形式,再分别令每一个一次因式等于0,得到两个一次方程.不同于配方法,因式分解法的依据是两个实数的积等于0的充要条件,即这两个实数中必有一个等于0.因式分解法解一元二次方程包括:提公因式法、公式法、十字相乘法.基于以上分析,确定出本节课的教学重点:会用因式分解法解特殊的一元二次方程.二、学情分析学生在此之前已经学过了用配方法和公式法求一元二次方程的解,本节课通过一个实际问题引入一个显然可以用“提取公因式法”而达到降次目的的方程,从而引出因式分解法解一元二次方程,体现了从特殊到一般的数学思想,符合学生的认知规律.在实际的教学中,学生在利用因式分解法解方程时往往会在因式分解上存在着一定的困难,从而不能将方程左边化成两个一次因式乘积的形式.另外在面对一元二次方程时,常会因为缺乏对方程结构的观察,导致在方法的选择上有所欠缺,缺乏解决问题的灵活性,从而增加计算的难度,降低计算的准确性.为突破这一难点,应带领学生认真观察方程的结构,对比方法的难易,从而选择合理的方法解一元二次方程.三、教学目标1.会用因式分解法(提公因式法、公式法、十字相乘法)解一元二次方程.2.体会解一元二次方程的策略——降次,以及转化的数学思想.难点学生能理解因式分解法解方程,掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤,会利用因式分解法求解特殊的一元二次方程.难点学生通过对比一元二次方程的结构类型,选用适当的方法合理地解方程,提高解决问题的灵活性.四、评价设计学习评价量表标准等级会用因式分解法(提公因式法、公式法)解一元二次方程A会用因式分解法(十字相乘法)解二次项系数为1的一元二次方程A会用因式分解法(十字相乘法)解二次项系数不为1的一元二次方程B观察一元二次方程的结构类型,能灵活选用适当的方法解一元二次方程B五、教学活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动创设情境引出问题问题1根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过xs离地面的高度(单位:m)为10x-4.9.根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?学生积极思考并尝试列方程,可有学生解释如何理解“落回地面”?“落回地面”即离地面的高度为0m令10x-4.9x2=0,解方程求x.学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义,理解“落回地面”的意义就是“高度为0m”,就是表示高度的代数式的值为0,从而列出方程.在阅读并尝试回答的过程中让学生感受在生活、生产中需要用到方程,从而激发他们的求知欲.观察感知理解方法问题2如何求出方程的解呢?根据作答情况发现有的学生会不假思索地用配方法或公式法求解,计算量大且易出错,这时老师应该通过提问引导学生.提问1:通过前面几节课的学习,你知道解一元二次方程的基本策略是什么吗?你有没有想出解这个方程更简单的方法呢?提问2:如果ab=0,则有什么结论?对你解方程有什么启发吗?提问3:上述方法是如何将一元二次方程降次为两个一次方程的?通过因式分解使一元二次方程转化为两个一次式子的乘积等于0的形式,再使得这两个一次式子分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.提问4:提公因式是因式分解的一种方法,因式分解还有哪些方法?请你把这些方法写出来提问5:用因式分解法解一元二次方程等号右边必须是0吗?请你举例说明.学生从已有的知识出发,考虑用配方法和公式法解方程,教师进一步引导学生观察方程的结构,学生进行深入的思考,努力发现因式分解法.学生会想到“降次”,即把一个二次的式子写成两个一次的式子的积,只是前面的配方法是把一个二次的式子写成了两个同样的一次式子的积.学生很容易给出a=0或b=0的结论:启发:10x-4.9=0变形为:x(10-4.9x)=0学生通过对解决问题过程的反思,体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式,得到两个一元一次方程.教师应注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化,在学生总结发言的过程中适当引导.学生回顾因式分解的方法:提公因式法、公式法、十字相乘法.ma+mb+mc=m(a+b+c)x2+2xy+y2=(x+y)2x2-y2=(x+y)(x-y)x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)等号右边必须是0,例如方程(x+1)(x-2)=7,等号右边不是0,无法求出未知数确定的值.引导学生进一步思考,学生会发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便,从而会对方法的选择有一定的理解.让学生对比不同解法,不是用配方降次,而是先因式分解,将方程转化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.在反思小结的过程中,理解因式分解法的意义,从而引出本节课的教学内容.例题示范灵活运用问题3解下列一元二次方程:(1)4=x(x-3);(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(4)9+6x=-1.方程(1)由学生口答,教师板书,其余的由学生独立完成.解(1)移项,得-(x-3)=0.提取公因式,得(x-3)[4(x-3)-=0,即(x-3)(3x-12)=0.所以x-3=0或3x-12=0.所以原方程的根为=3,.总结提升:上述方程均为一元二次方程,所以都可以使用公式法来求解,但如果我们采用因式分解的方法,则求解过程就比较简捷.不限方法,做完后小组内交流,比较方法的优劣.(2)原方程可化为3x(2x+1)=2(2x+1),即(2x+1)(3x-2)=0所以2x+1=0或3x-2=0.所以原方程的根为,.(3)原方程可化为,即[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x]=0.整理得(1-x)(3x-9)=0.所以1-x=0或3x-9=0.所以原方程的根为=1,=3.思考:对于此题你还有别的解法吗?(4)原方程可化为9+6x+1=0,即所以原方程的根为==.问题3中四个方程的提出是开放式的,有些学生可能会将括号打开,然后利用配方法或公式法求解;也有些学生会观察到,如果将(2)(3)中一个多项式当成一个整体,利用提取公因式的方法或平方差公式法直接就化为两个一次式乘积为0的形式,通过对上述问题的思考讨论,让学生体会解法的优劣,注重观察方程自身的结构,从而灵活应用所学的知识解决问题.巩固练习学以致用问题4用因式分解法解下列方程:(1)-4=0;(2)=3x;(3)=3(x+1);(4)+x-6=0;(5)2-x-3=0;(6)=;(7)5-7x-=-4x+;(8)3x(2x+1)=4x+2.学生独立完成,教师巡视,对解题不熟练的学生给予指导,然后同学们互相纠错.通过巩固练习,检验学生对解一元二次方程的各种因式分解法的熟练程度,进一步强化“能用因式分解法求解,则优先选择因式分解法”的意识,体会因式分解法的简捷.小结总结深化理解问题5(1)因式分解法的一般步骤是什么?(2)请大家总结三种解法的联系与区别.教师对学生的发言给予鼓励和肯定,针对出现的问题及时进行引导、纠正,帮助学生深入理解问题.(1)因式分解法解方程的步骤:①移项:将方程右边化为0;②化积:将方程左边化为两个一次式子的积;③转化:令每一个一次式子等于0,得到两个一次方程;④求解:解这两个一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.(2)学生总结各种解题方法的特点,体会各种方法的利弊,在交流的过程中加深对一元二次方程解法的理解.学生通过小结反思,深化对问题的理解,体会到配方法需要将方程进行配方降次,公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解,而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次式乘积为0的形式;另外还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程,但有时计算量比较大,因式分解法适用于一部分一元二次方程,三种方法都体现了降次的基本思想.六、板书设计因式分解法解一元二次方程因式分解法:通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的积.例1:……等于0的形式,从而实现降次.因式分解法解一元二次方程的依据:a·b=0a=0或b=0.例2:……用因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)移项(化为一般式);(2)化积(方程左边因式分解为两个一次式的积);(3)转化(令每一个一次式等于0);例3:……(4)求解这两个一次方程.七、达标检测与作业A级1.用因式分解法解一元二次方程(1)3(x-1)(3x+1)=(x-1)(2x+5);(2)=(1-2x);(3)-5x+6=0;(4)(x-2)(x-5)=-2.B级2.用因式分解法解一元二次方程.(1);(2)2-5x+3=0;(3)3.解下列关于x的一元二次方程.(1)-(k-1)x-k=0;(2)-(2m+1)x++m=0;(3)+mx-x-1=0.八、教学反思本节课通过实际问题引入,得出一个使学生容易想到用因式分解的方法求根的方程.引人新课非常自然,引发了学生探究新解法的欲望,在教学环节2中,提出5个小问题,在问题的驱动下,学生思维积极、严密,新知的来龙去脉在学生脑子中形成清晰的印象.因式分解一般有三种方法:提公因式法、公式法、十字相乘法由于十字相乘法在当时学习因式分解时练习得较少,学生比较生疏,尤其数感差的同学,做起来更慢,不自觉地就懒于动脑,想用公式法解.教学中我鼓励学生自主观察,发现某些特殊方程可以不用动笔,用眼睛就能看岀答案,提高学生探索新知识的积极性.总结可以用因式分解法解的一元二次方程的特点,让学生充分体会因式分解法的优点.本节课既有大量的基础计算问题,也设置了符合学生认知实际的有难度的问题,力争使不同层次的学生都学有所得,提高了课堂的效率.根据本节课所处的位置,教学中设置不同的题型,让学生选择最优化的方法,既巩固所学,又提升能力.成功之处:“环节1”“环节2”针对学生有可能出现的疑惑设计几个问题,并在环节3配了相关的有代表性的例题,让学生总结出用因式分解法解一元二次方程的解题思路.常用的方法大致有三种,提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)、十字相乘法.老师适时给予补充引导:见到什么题,就考虑用哪种方法.提高了解题速度,优化了解题方法,培养了学生解题感觉.教材中这一部分内容特别简单,如果不做补充,学生的思维得不到训练,知识得不到拓展,能力得不到提高.精心设计各种类型、不同梯度的题目,同时教学关注的焦点

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