新课预习-2.2.2 直线的两点式方程（教师版）-新高二暑假衔接

2.2.2直线的两点式方程【划重点】1．掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3．会用中点坐标公式求线段的中点坐标．【知识梳理】知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)示意图方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点【例题详解】一、直线的两点式方程例1已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边所在的直线方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)2x＋5y＋10＝0；(2)10x＋11y＋8＝0【分析】（1）根据两点式求解即可；（2）根据中点坐标公式可得BC的中点，再根据两点式可得BC边上的中线所在直线的方程．【详解】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0．（2）设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以，又BC边的中线过点A(－3，2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．跟踪训练1(1)直线l过点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线的两点式方程运算求解.【详解】因为，则线l的方程为，整理得，所以直线l的方程为.故选：D.(2)已知，，则直线的两点式方程为．【答案】【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为，则直线的两点式方程为，故答案为：.二、直线的截距式方程例2(1)过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0.【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则，若，即直线过原点，设直线为，代入，即，解得，故直线方程为；若，设直线为，代入，即，解得，故直线方程为，即；综上所述：直线方程为或.故选：D.(2)过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为.【答案】【分析】设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可.【详解】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为，因为直线过，所以，解得，所以直线方程为.当直线方程为时，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，故答案为.跟踪训练2(1)求过点P(2,－3)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【答案】x－y－5＝0或3x＋2y＝0【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论去求直线方程.【详解】①当截距不为0时，设所求直线的方程为，将点(2,－3)代入方程中得，解得a＝5，所以所求直线的方程为即x－y－5＝0.②当截距为0时，直线过原点，所以直线的方程为，即3x＋2y＝0.综上，所求直线的方程为x－y－5＝0或3x＋2y＝0.故答案为：x－y－5＝0或3x＋2y＝0.(2)过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是.【答案】=1或=1【分析】设直线的方程为，根据条件先求a,再列方程求解即可.【详解】设直线的方程为=1，点在直线上，∴.由得或，∴所求直线的方程为=1或=1.故答案为:或.【课堂巩固】1．过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.【详解】因为所求直线过点，，所以，即.故选：B.2．过两点，的直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距.【详解】过两点，的直线的为，令，解得：，故选：A.3．入射光线从点出发，经过直线反射后，通过点，则反射光线所在直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出关于的对称点，再用两点式方程即可求解.【详解】因为点关于的对称点为，所以所求的直线方程为，即.故选：A.4．已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（）A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0【答案】B【分析】求出线段AB的中点坐标，再根据直线的两点式方程即可的解.【详解】解：因为A（1，2），B（3，1），所以线段AB的中点坐标为，所以过点M和线段AB的中点的直线方程为，即.故选：B.5．（多选）下面说法中错误的是（）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示【答案】ABC【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对即得答案.【详解】对A，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故A错误；对B，经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故B错误；对C，不仅过原点的直线不可以用方程表示，而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程表示，故C错误；对D，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时，直线方程为，即，当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程，所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故D正确.故选：ABC.6．（多选）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】反射光线经过点关于轴的对称点和，从而求出反射光线所在直线，再确定ABCD四个选项哪个点在其上.【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和点，则直线为：，即，代入，则，A选项正确；代入，则，B错误；代入，则，C选项错误；代入，则，D正确.故选：AD7．已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－1)，则m=【答案】1【分析】由倾斜角为90°的直线方程的特点即可求解.【详解】因为直线的倾斜角为90°且过点A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程为，所以，解得.故答案为：18．已知直线经过点，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为．【答案】【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线的点斜式方程运算求解.【详解】若直线的斜率不存在，则方程为，显然它在x轴上的截距为1，符合题意；若直线的斜率存在，设为，则方程为，代入可得，不成立；综上所述：直线的方程为.故答案为：.9．经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为．【答案】或【分析】分截距为零和不为零两种情况求直线方程即可.【详解】①当横纵截距为零时，直线的斜率，所以直线方程为，即；②当横纵截距不为零时，设直线方程为，将点代入得，解得，所以直线方程为，即.故答案为：或.10．过A(1，4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有条．【答案】3【分析】根据题意可得有三种情况.【详解】解析：一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．故答案为：3.11．已知的三个顶点分别满足：点在轴上，点在轴上，，直线的斜率为，直线与直线垂直．(1)求点的坐标；(2)求边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）结合直线垂直时斜率的关系、两点求斜率的公式求得的坐标；（2）根据边上的中线所过点求得中线所在直线的方程.【详解】（1）因为直线AC的斜率为，直线AC与直线BC垂直，所以直线BC的斜率为．设，，则，解得；，解得．所以，．（2）因为BC的中点坐标为，且中线过点，所以边BC上的中线所在直线方程为，即．12．已知三角形的三个顶点.(1)求BC边所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线方程；(3)求BC边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）直接利用直线两点式方程求解即可；（2）先求，根据直线垂直可得BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求解即可；（3）先求中点为，再利用点斜式求解即可.【详解】（1）利用点斜式可得直线方程为，整理可得；（2）由，所以BC边上的高所在直线的斜率，所以BC边上的高所在直线方程为，整理可得；（3）由中点为，由（2）知BC边的垂直平分线的斜率，所以BC边的垂直平分线为，整理可得.13．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．【答案】或.【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解.【详解】解∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为，则直线方程为，即.，即，，∴直线方程为.若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，故直线方程为，即.∵，即，，直线方程为.综上所述，直线的方程为或.14．已知直线过点．(1)若直线过点，求直线的方程；(2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可；（2）利用直线的截距式方程求解即可，注意讨论截距为0的情况；【详解】（1）因为直线过，，所以直线方程为，整理得.（2）当直线经过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，解得，所以直线方程为；当直线不经过原点时，可设直线方程为，将点代入可得，解得，所以直线方程为，综上所述，直线方程为或.15．已知直线l：（1）若直线l的斜率是2，求m的值；（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.【分析】（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出；（2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出.【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则，解得m＝－4.(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则.当m＝2时，S有最大值，故直线l的方程为x＋y－2＝0.【课时作业】1．已知直线的两点式方程为，则的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直线的两点式方程为，得到直线过点，，然后由斜率公式求解.【详解】因为直线的两点式方程为，所以直线过点，，所以的斜率为．故选：A【点睛】本题主要考查直线的方程以及斜率公式，属于基础题.2．经过两点、的直线方程都可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点式直线方程即可求解.【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.故选:C3．已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】根据直线的两点式方程即可求解.【详解】由题意知不与轴平行，故由直线的两点式方程可得，解得：，故选：C4．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．5．过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程【详解】当截距时，设直线方程为，将，代入得，∴方程为当截距时，过原点和点的直线方程为又且在两坐标轴上的截距相等，∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和故选：D.6．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；②直线方程也可写成；③过点，的直线可以表示成.其中正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据直线方程的两点式使用条件可判断①②；③式是由直线两点式化简而得，通过验证斜率为0或不存在即可验证命题真伪.【详解】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.故选：D.7．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（

）A．－1B．1C．－D．【答案】C【分析】先由两点式方程求出直线方程，即可求得在x轴上的截距.【详解】解析：由直线的两点式可得直线的方程为，即6x－y＋1＝0，将代入可得在x轴上的截距为.故选：C.8．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．【详解】把坐标代入两条直线和,得,,,过点,的直线的方程是：,,则,,,所求直线方程为：．故选：A.9．（多选）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为钝角C．边的中点坐标为D．边上的中线所在的直线方程为【答案】BCD【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项.【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误；对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确；对于C，设边的中点为，则，，即点，故C正确；对于D，边上的中线所在的直线方程为，整理得，故D正确.故选：BCD.10．（多选）下列说法错误有（

）A．“”是“与直线互相垂直”的充要条件B．过，两点的所有直线的方程为C．直线的倾斜角的取值范围是D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ABD【分析】A.由两直线互相垂直求解判断；，B.根据直线的两点式方程判断；C.利用直线的倾斜角和斜率求解判断；D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.【详解】A.当与直线互相垂直时，，解得或，故错误；B.过，（且）两点的所有直线的方程为，故错误；C.直线的倾斜角，则，所以倾斜角的取值范围是，故正确；D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为，当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得，则直线方程为，故错误；故选：ABD11．已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是.【答案】【分析】设所求直线方程为，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解.【详解】设直线l的方程为，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得，所以，即，解得，所以直线l的方程为，即.故答案为：12．一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是．【答案】【分析】根据题意，若要求反射光线，可求得点关于轴对称的点，又过即可得解.【详解】首先求点关于轴对称的点，所以反射光线过和两点，故直线方程为：，即，故答案为：.13．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为.【答案】【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等得到关于的方程，解出即可.【详解】因为直线在两坐标轴上的截距相等，当时，直线方程为：，与轴平行，不符合题意；当时，令得：，令得：，则，解得：，综上：实数的值为，故答案为：.14．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点，则直线l的方程为.【答案】【分析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的