2021-2022学年人教A版必修一 1.2.1.1. 函数的概念 课件（45张）

1.2函数及其表示1.2.1函数的概念第1课时函数的概念1.函数的概念必备知识·自主学习导思1.什么是函数?函数的三要素是什么?2.函数的定义域是如何定义的?求函数定义域需注意什么?定义设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的__________,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有_________的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}对应关系f唯一确定【思考】(1)对应关系f一定是解析式吗?提示:不一定.对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式.(2)f(x)与f(a)有何区别与联系?提示:f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.(3)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗?提示:不能.只有非空数集之间才能建立函数关系.(4)对于一个函数y=f(x),在定义域内任取一个x值,有几个函数值与其对应?提示:根据函数的定义,对于定义域内的任意一个x,只有一个函数值与其对应.(5)在函数的定义中,值域与集合B有什么关系?提示:值域是集合B的子集.2.区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a,b∈R,且a<b,规定如下:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间______

{x|a<x<b}开区间______

{x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b)

{x|a<x≤b}半开半闭区间______

[a,b](a,b)(a,b](2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)【思考】(1)数集都能用区间表示吗?提示:不能.区间是数集的一种表示方法,但并不是所有数集都能用区间表示,如{1,2,3,4},就不能用区间表示.(2)“∞”是一个数吗?提示:“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远不能达到,不是一个数.因此以“-∞”和“+∞”为区间的一端时,这一端点必须用小括号.(3)区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗?若A=(1,+∞),B=(-∞,2],A∩B如何表示?提示:区间只是集合的一种表示形式,因此对于集合的“交、并、补”运算仍然成立.A∩B=(1,2].【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”. (

)(2)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(

)(3)在函数的定义中,集合B是函数的值域. (

)(4)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可用g(x),F(x),G(x)等来表示函数. (

)提示:(1)×.f(x)是一个符号,“y=f(x)”是“y是x的函数”的数学表示.(2)×.根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一的y与之对应.(3)×.在函数的定义中,函数的值域是集合B的子集.(4)√.同一个题中,为了区别不同的函数,常采用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.2.函数y=的定义域是 (

)A.[-1,+∞) B.[-1,0)C.(-1,+∞) D.(-1,0)【解析】选C.要使y=有意义,则有x+1>0,解得:x>-1.所以该函数的定义域为(-1,+∞).3.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为________,值域为________.

【解析】由f(x)的图象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.答案:[-5,5]

[-2,3]4.用区间表示下列集合:(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________.

(2){x|x>1}用区间表示为________.

【解析】(1)由区间的定义可知:{x|10≤x≤100}用区间表示为[10,100].(2)由区间的定义可知:{x|x>1}用区间表示为(1,+∞).答案:(1)[10,100]

(2)(1,+∞)关键能力·合作学习类型一函数关系的判断(数学抽象)【题组训练】1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是 (

)A.A=R,B=R,x2+y2=1B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:C.A=R,B=R,f:x→y=D.A=Z,B=Z,f:x→y=2.设集合P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤2},则图中能表示P到Q的函数的是 (

)

A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4)C.(1)(4) D.(3)3.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],则在同一坐标系中,函数f(x)的图象与直线x=1的交点个数为 (

)A.0 B.1 C.2 D.0或14.下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数?为什么?①f:把x对应到3x+1;②g:把x对应到|x|+1;③h:把x对应到;④r:把x对应到.【解析】1.选B.A错误,x2+y2=1可化为y=±,显然对任意x∈A,y值不唯一.B正确,符合函数的定义.C错误,2∈A,在B中找不到与之相对应的数.D错误,-1∈A,在B中找不到与之相对应的数.2.选C.根据函数的定义,在定义域内的任何一个x值,都唯一对应一个y值,故(1)、(4)正确;(2)中定义域内的1对应了2个函数值,(3)中定义域(1,2]内的x值,没有对应的y值,故(2)、(3)错误.3.选B.函数y=f(x)的定义域为[-1,5],则在同一坐标系中,函数f(x)的图象与直线x=1的交点个数为1.4.①是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是:把x乘3再加1,对于任意x∈R,3x+1都有唯一确定的值与之对应,如x=-1,则3x+1=-2与之对应.同理,②也是实数集R上的一个函数.③不是实数集R上的函数.因为当x=0时,的值不存在.④不是实数集R上的函数.因为当x<0时,的值不存在.【解题策略】1.判断一个对应是否是函数的方法2.根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.如图所示:【补偿训练】

1.如图可作为函数y=f(x)的图象的是(

)【解析】选D.观察图象可知,A,B,C中任取一个x的值,y有可能有多个值与之对应,所以不是函数图象.D中图象是函数图象.2.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},在下列A到B的四种对应关系中,存在函数关系的个数是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.根据函数的定义可知,集合A中每一个实数在B中都有唯一确定的实数与之对应,其中①③均满足函数的定义.3.下列对应是否是函数?①x→,x≠0,x∈R;②x→y,其中y2=x,x∈R,y∈R.【解析】①是函数.因为任取一个非零实数x,都有唯一确定的与之对应,符合函数定义.②不是函数.当x=1时,y=±1,即一个非零自然数x,对应两个y的值,不符合函数的概念.类型二求函数的定义域(数学抽象、数学运算)【题组训练】1.函数y=的定义域为 (

)A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}2.设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁RM= (

)A.{x|x≥2或x=-1} B.{x|x<2且x≠-1}C.{x|x≥2} D.{x|x>2或x=-1}3.若将长为a的铁丝折成矩形,则矩形面积y关于一边长x的解析式为________,此函数的定义域为________.

4.求函数y=的定义域.【解析】1.选D.由题意可知解得0≤x≤1.2.选A.由解得x<2且x≠-1,所以M={x|x<2且x≠-1},所以∁RM={x|x≥2或x=-1}.3.已知矩形的一边长为x,则另一边长为(a-2x),所以y=x·(a-2x)=-x2+ax,由得0<x<,故定义域为.答案:y=-x2+ax

4.要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1,且x≠-1,即函数的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.【解题策略】已知函数的解析式,求函数的定义域(1)本质:求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.(2)常见题型①如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.②如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.③如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.④y=x0要求x≠0.⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).⑥对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.【补偿训练】1.函数y=的定义域是A,函数y=的值域是B,则A∩B=________(用区间表示).

【解析】要使函数解析式y=有意义,只需x≠2,即A={x|x≠2};函数y=≥0,即B={y|y≥0},则A∩B={x|0≤x<2,或x>2}.答案:[0,2)∪(2,+∞)2.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的定义域为________.

【解析】观察函数的图象,图象上所有点的横坐标构成的集合为(0,1)∪(1,2],即为定义域.答案:(0,1)∪(1,2]3.求下列函数的定义域:(1)y=2+.(2)y=.(3)y=(x-1)0+.【解析】(1)当且仅当x-2≠0,即x≠2时,函数y=2+有意义,所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.(2)函数有意义,当且仅当解得1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.(3)函数有意义,当且仅当解得x>-1,且x≠1,所以这个函数的定义域为{x|x>-1,且x≠1}.类型三函数对应关系的应用(数学抽象、逻辑推理)角度1求值问题

【典例】1.已知f(3x+1)=4x+3,则f(4)= (

)A.6

B.7

C.8

D.9 2.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f(f(3))的值为________.

【思路导引】1.注意到f(4)=f(3×1+1)就可以利用f(3x+1)=4x+3求f(4).2.根据图象确定自变量x=1和x=3时,对应的函数值即可求f(f(3)).【解析】1.选B.由3x+1=4,得x=1,所以f(4)=f(3×1+1)=4×1+3=7.2.据图象知,f(3)=1,f(f(3))=f(1)=2.答案:2角度2求函数解析式问题

【典例】(2020·龙岩高一检测)如图所示,用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架,若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数解析式,并写出它的定义域.【思路导引】先由题设条件,列出x与y的关系式,即可得出函数解析式,再结合实际意义即可得出定义域.【解析】AB=2x,的长为πx,于是AD=,所以y=2x·

即y=-x2+x.由得0<x<,所以此函数的定义域为.【解题策略】函数求值的方法及关注点(1)方法:①求f(a):已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值.②求f(g(a)):已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点:用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义.【题组训练】1.若函数f(x)满足f(2x-1)=x+1,则f(3)=________.

2.若f(x)=ax2-,a为正实数,且f(f(