动力学基础 课件 3 非惯性系中的质点运动；4-质点动力学；傅科摆

非惯性系中的质点运动1举例例：一直杆OA，长l=0.5m，可绕过端点O的z′轴在水平面内作匀速转动，如图。转动角速度ω=2πrad/s，在杆OA上有一质量为m=0.1kg的套筒B。设开始运动时，套筒在杆的中点处于相对静止。忽略摩擦，求套筒运动到端点A所需要的时间及此时对杆的水平压力。用直角坐标系描述如何？用极坐标描述如何？用其他描述方法？坐标变换例：在经度为零，纬度为零的地面A处取一东北天直角坐标系Axyz，另一处B（经度为φ，纬度为λ的地面上取一东北天直角坐标系Bx′y′z′。在B处测得某飞行器的速度和加速度在Bx′y′z′中的分量为(vx′,vy′,vz′)

和(ax′,ay′,az′)。求飞行器的速度和加速度在Axyz中的分量。3坐标变换速度与加速度关系：4练习5考虑以下两次连续转动。第一次绕z轴转动90度第二次绕新的x

轴转动90度求坐标两次转动后的坐标变换矩阵。xyzxyzxyzxyzzxyxyz相对运动作坐标系中的速度、加速度关系6坐标系绝对运动—动点对于定参考系的运动相对运动—

动点对于动参考系的运动牵连运动—

动参考系对于定参考系的运动绝对运动和相对运动是点的运动，而牵连运动是坐标系的运动。动参考系和定参考系：“动”和“定”的选取可以是人为的，是相对的。惯性系与非惯性系VS定系与动系向量的绝对导数等于它的相对导数加上动系的角速度叉乘该向量。向量的绝对导数和相对导数向量r在定系中的列阵为，在动系中的列阵为。反对称矩阵！的计算ω1、ω2和ω3可以看作是一个向量在坐标系OXYZ中的分量讨论ω是用方向余弦矩阵A定义的，是个伪矢量；矩阵A描述了运动坐标系(也可以是刚体)相对于固定坐标系的转动；ω反映了动坐标系相对于固定坐标系转动的快慢；ω不依赖于动坐标系的位置；“质点的角速度”的说法是否正确？坐标系的角速度能否是某一个角度矢量的导数？速度关系式11O0XYZOxyzP—P

点相对动系的速度是P点的牵连速度（给定瞬时）加速度ar

—P点相对动系xyz的加速度ac—科里奥利加速度，常简称科氏加速度牵连加速度的物理意义牵连加速度ae是动系(刚体)上与点P重合的点(牵连点)的瞬时加速度。牵连加速度ae也可以看成是在该瞬时将P点固连在动系上，跟随动系一起运动时所具有的加速度，即受动系的拖带或牵连而产生的加速度。牵连加速度的物理意义？例题例：一直杆OA，长l=0.5m，可绕过端点O的z′轴在水平面内作匀速转动。转动角速度ω=2πrad/s，在杆OA上有一质量为m=0.1kg的套筒B。设开始运动时，套筒在杆的中点处于相对静止。忽略摩擦，求套筒运动到端点A所需要的时间及此时对杆的水平压力，A的速度。直接受力分析，列牛顿第二定律，如何？作业周一（调至周六）：16、17、192025年7月25日质点运动微分方程

质点动力学向量式（牛顿第二运动定律）自然坐标系直角坐标系质点的运动微分方程柱坐标系动力学重点讲授如何建立物体运动微分方程。如何求解运动微分方程、解的特性等是微分方程课程研究的内容。不能解析求解的，需要数值求解，是数值方法课程研究的内容。不需要求解方程情况下确定稳定性，是运动稳定性研究的内容。例1空气中落体的运动已知：v0=0，空气阻力与速度的平方成正比，比例系数μ。求：落体运动规律。(5)动力特性分析(4)数学求解 已知力求运动时，需要运动初始条件解：自由质点直线运动问题(1)分析运动，建立坐标系(2)分析受力，画任一位置的受力图(3)建立运动微分方程：例1数学求解运动初始条件例1动力学特性分析存在极限速度，即，不管初始条件如何，空气中落体的速度最终趋近于以v=C的速度运动。高空中下落的降落伞，很快达到其极限速度(约为5m/s)，落地时的冲击只相当于由1.25m高度跳下时的落地速度。落体以极限速度运动时，重力与空气阻力平衡，据此也能求出极限速度的表达式：运动微分方程求解方法

分离变量法质点运动微分方程当F=F(t)或F=C时（质点动量定理）初始条件当

时当F=F(x)时（质点动能定理）2025年7月25日质点在非惯性参考系中的运动

质点在非惯性参考系中的运动问题的提出：如何描述质点相对于非惯性坐标系的运动？解决办法

复合运动分析

质点相对非惯性系的运动与相对惯性系的运动间的关系 在惯性系中应用牛顿定律

质点在非惯性系中的运动(ar)与受力之间的关系

—

相对运动微分方程。如洲际导弹相对于地球的运动；在研究质点相对非惯性系的运动时，在形式上仍可使用牛顿第二定律，条件是在真实力之外再加上牵连惯性力和科氏惯性力。取惯性坐标系为定系，非惯性坐标系为动系，质点M

为动点。引入（牵连惯性力）（科氏惯性力）质点的相对运动微分方程式得：牛顿第二运动定律相对惯性系适用惯性力如果要在非惯性坐标系中应用牛顿第二定律，就必须引入惯性力(牵连惯性力和科氏惯性力)。惯性力的特点：既无施力体，也无相应的反作用力。牛顿第三定律不成立。惯性力随坐标系的不同而不同。当观察者处于非惯性系中时就能感受到惯性力的存在，并可测量。惯性力具有与真实力一样的动力学和静力学效应，在质点的相对运动中可以与实际力一样对待。实例分析慢速转动的大圆盘使盘上快速运动的皮带变形解：研究人相对电梯的运动，加牵连惯性力：例2已知电梯加速度为a，求磅秤的指示(体重)。因而磅秤指示增加，人体超重人工制造失重现象的方法： 落塔飞机的抛物线飞行在水池中利用水的浮力减少体重，能模拟宇航员的失重环境吗？如何测量电梯的加速度？例3已知水平圆盘绕O轴转动，角速度ω为常数。求小球相对圆盘的运动和光滑槽对小球的横向作用力。SeSCN解：动坐标系Oxyz固结于圆盘上，研究小球的相对运动。加惯性力：相对运动微分方程：初始条件：θωxOm例4导杆机构带动单摆的支点O按已知规律x=x0sinωt作水平运动。试导出质点m的相对运动微分方程。解：在O点处建立平动坐标系，添加牵连惯性力在

方向上列写运动微分方程mgSeT2025年7月25日相对地球的运动相对地球的运动若：地球自转的影响对一般工程问题影响很小对长时间问题或精度要求较高的问题需考虑其影响地球自转的影响牵连惯性力的影响科氏惯性力的影响炮弹偏右(北半球)铁轨一侧磨损右岸冲刷落体偏东傅科摆台风惯性导航引起：地垂线与地心线的偏离重力加速度随纬度变化质点相对地球静止重力地垂线与地心线的偏离重力加速度当φ

=

0时，F=mg0+mω2Rφ

=0°时，g=9.78m/s2；φ

=90°

时，g=9.83m/s2(+0.51%)英国、阿根廷Forkland战争中英军炮弹偏左。后调整。落体偏东落体偏东yxz在北京，小球从100m的高度下落，东偏1.68cm。迭代求解一次近似解零次近似解二次近似解傅科摆的原理及相对轨迹图傅科(J.B.L.Foucault)，法国巴黎万神殿(1851年)28kg傅科摆的原理及相对轨迹图傅科(J.B.L.Foucault)，法国巴黎万神殿(1851年)偏离平衡位置从静止出发28kg傅科摆的原理及相对轨迹图重力：假设：T≈mg科氏惯性力：在xy平面内的近似方程：极坐标表达式：直角表达式：28kg例5如图所示，人造地球卫星A绕地球E在半径为1的圆轨道上运行。在同一轨道平面内，卫星B做小偏心率运动。推导卫星B在卫星A轨道坐标系（坐标平面xAy在轨道平面内，x轴指向卫星A矢径方向，y轴指向卫星A的前进方向）中的相对运动微分方程；当||r||<<1时，求线性化的相对运动微分方程；设卫星B在卫星A轨道坐标系中的初始位置为

(x0,y0)，初始速度为

。当||r||<<1时，求t时刻，卫星B在卫星A轨道坐标系中的科氏加速度；满足什么条件时，卫星A和B的轨道周期相同？Clohessy

andWiltshire,Terminalguidancesystemforsatelliterendezvous,JournaloftheAerospaceSciences,1960解在卫星A的轨道坐标系为中，设点B的坐标为(x,y,0)。则点B处的牵连加速度、科氏加速度、相对加速度分别为：代入牛顿第二定律写成分量形式线性化后周期相同就不发散，条件为：右岸冲刷台风如果地球不自转