动力学基础 课件 12-广义坐标与广义力；13-虚位移原理

2025年7月25日广义坐标与广义力虚位移与广义坐标广义坐标：确定质点系可能位置的独立参数。广义坐标→广义力→平衡与广义力→保守系统的平衡与稳定性3N个虚位移满足l个线性方程组广义坐标形式的静力学普遍方程—对应广义坐标qj

的广义力Generalizedforce。具有完整理想约束的质系，其平衡的充要条件是所有的广义力等于零。完整约束？有时也用多余广义坐标，此时广义虚位移不独立，上式也不成立。广义力是广义坐标和时间的函数。广义力是主动力的某种代数表达式，不一定具有力的量纲，但广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。广义坐标形式的静力学普遍方程广义力的计算方法可取广义力的物理意义取直角坐标为广义坐标取极坐标为广义坐标取自然坐标为广义坐标广义力是主动力在广义坐标轴上的投影！例1已知：l,a,θ

;

求平衡时，通过θ

对应的广义力求P、N满足的条件。PN解：取θ为广义坐标广义力Qθ?例2惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力P的作用，问下部力Q的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中θ为已知角。解：取θ为广义坐标广义力Qθ?用几何静力学方法如何？从铰链C处分解如何？例3均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度为l1和l2，重量均为P。

在B端作用一水平力S=P/2，求平衡时两杆与竖直方向夹角α和β。CD解析法：取α、β为广义坐标xy例3几何法：首先取CDCD再取例4已知：m1,m2,M,α,β,且接触面光滑。求：平衡时，m1,m2,M

的关系。m2gm1gMg解：二自由度的平衡问题，选独立的广义坐标x1,x2例5如图所示，圆柱重为W，搁置在倾斜平板AB=l上。B点用细绳拉在墙上。设各接触点都是光滑的，α

=60º。求平衡时绳的拉力T。O解：所有约束都是理想的。解除绳的约束，代之以约束力T，作用在B处。取坐标系Axy，主动力的虚功为：取α角为广义坐标：当

时2025年7月25日势力场中的平衡方程势能（Potentialenergy）如果主动力有势，则存在势能函数：主动力Fi与势能函数V的关系为：（Gravitationalpotentialenergy）重力：弹性力：（Elasticpotentialenergy）主动力有势情况下的静力学普遍方程设质系所受的主动力有势：对主动力有势的理想完整约束质系，其势能在平衡位置取驻值。质系的平衡方程平衡位置稳定性定理：若势能函数在平衡位置取极小值，则该平稳位置稳定。

已知：灯G的质量为m，A、C为铰链，B为套筒。杆的质量不计。当θ

=180°时弹簧为原长。求：当θ

=120°系统处于平衡时，弹簧刚度k应具有的大小，并讨论该平衡位置的稳定性。例6∴系统处于稳定平衡位置解：例7BOC1AC2弹性势能重力势能求图示系统平衡时的θ。弹簧原长为l0解：取θ为广义坐标系统主动力总势能能否将重力势能零点选在A点？例8设一杆在半球形光滑容器内，如图所示。若杆非均质，其质心位于距两端分别为a和b处a+b<2r，r为球半径。求平衡时杆与水平面夹角θ。解：建立坐标系，约束是理想约束，主动力只有重力，系统势能为V

=

–mgyC。利用几何关系当a=b时，即杆与水平面夹角为零。α几何静力学方法如何？例9已知：m1,m2,M,α,β,且接触面光滑。求：平衡时，m1,m2,M

的关系。M解：平衡位置是否稳定如何判断？思考题：有n=4颗光滑小球，质量m，半径r，在真空中在各自的引力作用下集聚一起。求出稳定平衡的构型，给出稳定平衡的条件。当n=100时的稳定平衡的构型，稳定平衡的条件会如何？n→∞时又会如何？作业第六章：18、19、20虚位移原理2025年7月25日力学中的原理？原理：科学中具有普遍意义的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得出的。可用实验验证，也可与其他已建立的定理、定律相互推导。定律？定理？公理？虚位移原理具有理想约束的质点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是：主动力系在质点系的任意虚位移上所作的虚功等于零，即：对非理想约束，将该约束力作为主动力处理后也可以利用虚位移原理解决问题。上式也称为静力学普遍方程。标量形式F是力矩如何？证明设质点Pi受主动力Fi的作用，

约束力为Ni：对理想约束必要性用约束反力代替约束后，质系就变成了自由质系，所有虚位移都是相互独立的，故虚位移原理与平衡方程等价！充分性?p264X上述证明不正确！用反证法证明充分性假设时质点系各质点速度为0，但处于非平衡状态。则在主动力和约束力合力的作用下，质点系开始移动。当经过dt时间后，该质点系移动设质点Pi受主动力Fi的作用，约束力为Ni。从0速度开始运动，这个位移应该与合力同向，即有：当约束是定常时，真实位移是虚位移之一。此时有：因此，质点系有：而理想约束有：因此，至少有一组虚位移上有：与前提矛盾，得证。例1设固定光滑斜面上放有一个重物，其重量为P，有一个沿斜面向上的力F

拉着重物。求重物平衡时F=?解：虚位移

沿着斜面向上或向下，不妨取向下为正。拉力和重力所做的虚功为：两个步骤：寻找约束允许的可能运动状态按照一定的规则找出真实的运动状态解题步骤确定研究对象约束分析：是否理想约束？受力分析：求主动力之间的关系或平衡位置：只画主动力求约束反力：解除约束，约束反力作为主动力给出虚位移，找出它们之间的关系几何法：利用运动学中分析速度的方法，直接找出各点虚位移

δri之间的关系解析法：选取适当的坐标系，写出约束方程并进行变分，即可求得各点的虚位移δxi,δyi,δzi之间的关系列出虚功方程，并求解例2

椭圆规机构连杆AB长为l，杆重和滑道、铰链上的摩擦均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力P和Q之间的关系。lφABxyPQO自由度？广义坐标？理想约束？研究对象？解取系统整体为研究对象，理想约束系统，主动力为P、QlφABxyPQO虚功方程虚位移分析几何法约束方程：变分得：虚功方程解析法几何静力学？例3已知：四连杆机构ABCD

受力P、Q

作用。求：机构平衡时P、Q

的关系。ADCBQPδrBδrA虚功方程解：用几何静力学方法求解如何？例4已知：l,a,θ;

求平衡时，P、N满足的条件。自由度？广义坐标？理想约束？研究对象？PN(1)分析题目(2)分析主动力作用点的虚位移(3)计算虚功解：几何法如何用几何静力学方法求解？对点O列力矩平衡方程如何？力偶的虚功ABdβ弹簧力的虚功BABAFBFAO计算弹簧力虚功的两种方法：

BOC1AC2弹簧力虚功与弹性势能之间的关系？例5已知：曲柄处于水平位置。求：平衡时的M=?系统处于特殊位置，用几何法求解。解：一个自由度系统，取θ为广义坐标。AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。设已知电葫芦和提升重物共重P

=

5kN,θ

=

25º，a=2m，l=

2.5m。吊车梁的自重略去不计，求钢索BC的内力。例6PCDBATBPδrBδrD解：解除BC绳索约束如何求RA

？MPCAD例7已知：a,P,M;求：约束反力NBABMPC解：(1)解除B水平约束，求NBxNBxC*δrDδrBδrCABMPCδθδθδrBδrCδθδθNByδrDβ(2)解除B竖直约束，求NBy能否把点B

的约束完全解除，同时求该点的所有约束力？B讨论应用虚位移原理求解刚体系统平衡问题时，不必将系统拆开，不需要考虑理想约束反力，直接给出平衡时主动力之间的关系如果需要求解理想约束的约束反力，可将该约束解除，将约束反力作为主动力处理在压缩机的手轮上作用一力矩M。手轮轴的两端各有螺距同为h、但螺纹方向相反的螺母A和B，分别与四根长为a的杆铰接。D点固定，求当菱形框的顶角等于2θ时，C点对被压物体的压力。（不计摩擦以及各杆自重）例8解

虚位移原理取机构整体为研究对象，一个自由度理想约束系统主动力：M，P虚位移分析：δrA

，δrC，δφPδrAδrCδφ虚功原理螺母A对手柄作用分布力系，力与手柄轴线夹角为α。将此力系向轴线上A点简化：

R=FA,设手柄半径为r，则螺纹的升角为螺母B对手柄的力由手柄平衡：解：几何静力学方法以框架为研究对象结构对称，4杆内力均相等由AC杆（二力杆）平衡：解液体容器有三个塞，其面积分别为S1,S2,S3，上面作用三个力Pi，求平衡时Pi与Si的关系(设液体为不可压缩的)。例9解：取容器内的液体和活塞为研究对象，为理想约束系统。塞i的虚位移为δri，方向如图。液体不可压缩：虚功原理液体压强处处相等!例10如图所示的尖劈放在水平木条上，尖劈重W，其两边与竖直线各成α和β角。假设平衡时作用在水平木条上的力为P1和P2，不计摩擦，求P1,

P2,

W