动力学基础 课件 31-稳定性-李雅普诺夫理论；32-稳定性-一次近似理论；33-碰撞

李雅普诺夫稳定性理论研究稳定性两种方法第一种方法也称间接法，通过求解微分方程来判断系统的稳定性。第二种方法也称直接法，是一种定性方法，不需要求解微分方程。非线性系统的扰动方程常微分方程描述动态系统的运动初始条件描述初始状态特解在给定初始状态下的系统运动规律，称无扰运动。稳定性理论感兴趣的不是特解本身，而是初值偏离后，这个运动是否偏离这个特解，还是仍然在这个特解附近的问题。受扰运动零解（平衡点）状态变量都等于零的特解，任何常微分方程的特解都可以归结为相应的另一个常微分方程的零解

线性和非线性系统扰动的区别？例1求下列方程的扰动微分方程。可将方程改写为状态变量标准形式未扰运动的特解：引入扰动变量：得到扰动方程：刚体定点运动欧拉情况有特解(无扰运动，永久转动)：令扰动变量为：该特解(无扰运动)对应的受扰运动的微分方程为：例2非线性方程的扰动方程与初始条件有关。稳定性的定义

几何解释：

按照定义：例3

渐近稳定性的定义若不要第一条，只有第二条如何？

按定义：显然：例4关于稳定性的局部特性：讨论下列系统平衡集的稳定性。例5显然，平衡点集为：积分后：不稳定的定义

按定义：？例6显然：定常非线性系统稳定性的李雅普诺夫函数法Lyapunov函数

例：在二维空间内定义的

有势力平衡位置稳定性定理证明设和取小的时对任意E在边界上存在最小值a，则在边界上从此出发的运动系统状态总是到不了的边界上。系统稳定。时取对任意可以找到的有定理：若保守系统的平衡位置势能取严格局部最小值，则该平衡点稳定。由于李雅普诺夫稳定性定理

则定义域内给，可以找到一个a>0使得的边界上都有使得原点的δ

邻域的所有点x上有V(x)<a。现在邻域δ内取，则从δ内出发的运动上的V函数的沿着系统轨迹的导数总是小于零，因此V函数的值总是达不到ε

来界定的边界线上，也就是说总是跑不出黑色包围区域。其实跑不出绿色包围区域。定理得证。设V(x)函数为正定。

这个函数就是系统的机械能。系统稳定。构造李雅普诺夫函数讨论。例9半径为R的圆环作均角速度转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。忽略摩擦力，试分析平衡位置稳定性。例10特解(平衡点)：当ω2<g/R时V正定，第一个特解稳定。另外两个平衡点稳定性如何？广义能量积分对于第一个特解例11

取李雅普诺夫函数：R.E.MORTENSEN,Agloballystablelinearattituderegulator,InternationalJournalofControl,2007卫星非线性方程的闭环控制系统稳定性但这两个首次积分都不是定号函数。有特解(无扰运动)：令扰动为：该特解(无扰运动)对应的受扰运动微分方程为：例12：刚体定点运动欧拉情况稳定性若A<B≤C，即无扰运动是绕最小惯量轴的永久转动，则构造正定函数若A>B≥C，即无扰运动是绕最大惯量轴的永久转动，则构造正定函数如何证明正定？定理2：若存在定号函数，沿着的导数是与V反号的定号函数，则的零解x＝0渐近稳定的。证明：根据定理1，显然零解稳定，只需证明，即也就是，当t充分大时有并且，等号只有在x=0点成立。下面只讨论V正定情况，负定情况完全相同。由V(x)正定可知，在邻域内有渐近稳定性定理几何解释：考察从足够小初值出发的受扰运动。设上述初始条件在内。该运动在内总是。因为初值不为0，x(t)也不能为0。这说明V在上述邻域内是正，并且对时间单调递减。因此，在区域内有下面证明b=0。用反证法。假设。那么在V=b

和包围的闭区域内有上确界。设其为-d(d>0)，则在闭区域内有：t足够大时，V为负。假设不成立。例13：常负，不能判断渐近稳定。负定，可判断渐近稳定。设定点运动刚体上作用阻尼力矩，f>0：证明刚体平衡点附近运动渐近稳定。简单起见用p,q,r表示三个轴方向的角速度例14为无转动平衡点，是方程的一组特解。取如下李雅普诺夫函数：考虑姿态角的六个自由度系统的稳定性如何？思考题由上式描述的单摆，摆角初始值为45度，零速度开始运动。求扰动方程。判断运动的稳定性。作业第10章：1、2、3、4、5、13一次近似理论非线性在平衡点附近的稳定性与其线性化系统稳定性的关系是什么？线性系统V函数的存在性对在什么条件下求得二次型：使得：如何对预先给定的正定或定号G，求出对称正定的P？给定二次型：称李雅普诺夫方程。求解上述方程，即可证明定理。例1对设V函数判断线性系统稳定性

对一次近似理论定常非线性系统的运动微分方程

二次型V的梯度是x的一次式，上式第二项与x的二次型相比是高阶小量，故上式在零点附近负定。证毕。渐近稳定。例2单摆零点的稳定性如何？

二次型V的梯度是x的一次式，上式第三项与x的二次型相比是高阶小量，故导数在零点附近正定。根据不稳定定理可得定理结论。一次近似方法稳定性的结论首先计算出系统线性部分的全部特征值若特征值均有负实部，则系统稳定，而且渐近稳定；若特征值有实部为正的，则系统不稳定；若有实部为零的特征值，而其余特征值无正实部，一次近似理论不能判断稳定性，系统的稳定性取决于高次项。可以构造李雅普诺夫函数判断。例3

λ1=-1.4780+0.0000i

λ2=0.2390+1.6277i

λ3=0.2390-1.6277i有正实部，非线性系统的零点不稳定。考察如下定常非线性系统：既不符合定理3，也不符合定理4，我们构造V函数为：

例4平衡点稳定性如何？刚体定点运动欧拉情况有永久转动特解(无扰运动)：令扰动为：该特解(无扰运动)对应的受扰运动微分方程为：对应线性系统的特征方程为：若C<A<B或C>A>B，则不稳定。小结定常线性系统的稳定性定常非线性系统的稳定性一次近似理论力学系统的稳定性参考题用一次近似理论判断下面系统平衡点稳定性。碰撞

碰撞问题的基本假设碰撞是在极短的时间内，物体的速度发生很大的变化，位移没有明显变化，出现巨大的碰撞力。如果假设碰撞时间趋近0，加速度趋近无穷大，它不能作为动力学特征量。碰撞的基本特征撞击力具有瞬时性机械能一般不守恒碰撞问题的基本假设局部变形刚体模型，碰撞过程分变形和恢复阶段只研究碰撞前后运动的变化碰撞过程中碰撞力很大，常规力可忽略碰撞过程时间极短，物体位移忽略不计几何力学、分析力学；动量定理、动量矩定理、动能定理压缩冲量：恢复冲量：tF(t)压缩阶段恢复阶段I1I2t0t2t1碰撞过程示意碰撞问题任务：已知冲量求运动；已知运动求冲量；刚体之间的碰撞问题；突加约束；质系在碰撞前后对任意点的动量矩的改变量等于作用在质系上所有外碰撞冲量对该点的主矩。对碰撞问题质系在碰撞前后动量的改变量等于作用在质系上的所有外碰撞冲量的主矢量。动量和动量矩定理的积分形式定轴转动的刚体在碰撞冲量的作用下的动力学方程为平面运动刚体在碰撞冲量的作用下的动力学方程为在碰撞冲量的作用下一般运动刚体的动力学方程为碰撞作用下的运动方程两个长均为l质量均为m的均质杆在A点铰接后悬挂在O轴上，在B端受到冲量S的作用。求碰撞后两杆的角速度和轴承O处的约束冲量。先进行冲量分析。例1OA杆作定轴转动，AB杆作平面运动。对OA杆：对AB杆：运动学关系:联立求解得：(1)求碰撞后两杆的速度解(2)求轴承O的约束冲量取杆OA为研究对象，由质心运动定理得：质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2、速度为v2的小球相撞。求碰撞后两小球的速度u1和u2。例2：光滑小球的斜碰撞解碰撞前后质系在法向上的动量守恒，两小球各自在切向上动量守恒：4个未知数，3个方程，需补充一个方程。恢复系数等于碰撞后相对分离的速度和碰撞前相对接近的速度之比。恢复系数恢复冲量与压缩冲量的大小之比值称为恢复系数：tF(t)I1I2t0t2t1联立求解可得：塑性碰撞e=0完全弹性碰撞e=1当m1=m2

时:u1n=v2n,u2n=v1n，两球法向速度交换球与固定面碰撞

m2=,v2=0解设质量为的小球与质量为的静止球碰撞，恢复系数为e，碰撞后两小球速度方向垂直，求与之间的关系。例3：动量守恒：在法线方向有：静止运动，有解定轴转动刚体（复摆）受碰撞冲量S的作用。已知刚体对定轴O的转动惯量为J，质量为m，质心C距轴O的距离为a，冲量S与OC的延长线的交点A距轴O的距离为l。求碰撞后质心C的速度uC和轴承O处的约束碰撞冲量SO。例4：定轴转动刚体碰撞问题由对O轴的动量矩定理的积分形式得质心C的速度由质心运动定理的积分形式可得刚体在碰撞冲量作用下作定轴转动，作受力图解当

=0且

l=J/ma时，轴承O处的约束碰撞力为零。A点称为撞击中心。讨论沿水平面作纯滚动的均质圆盘的质量为m，半径为r，其中心C以匀速v前进。圆盘突然与一高度为h(h<r)的凸台碰撞。设碰撞为完全塑性，求圆盘碰撞后的角速度及碰撞冲量。例5：突加约束碰撞时圆盘的运动发生突变。碰撞前后圆盘对A轴动量矩守恒：碰撞前碰撞后LA1=LA2解碰撞前后质心C的速度v沿Sn和S

方向的分量分别为由质心运动定理得：解例6突加约束将钉子插入小孔A后圆盘如何运动？将钉子从小孔A中取出后圆盘又如何运动？插入钉子前OA插入钉子后取出钉子后对A轴动量矩守恒解两根杆AC=BC=l，质量均为m，用光滑铰链C连接静止放在水平面上，A端受冲量，求此后C铰的速度。例7用质心运动定理这是系统质心的速度，而不是铰C的速度!如何求铰C的速度呢?这是动力学正问题解1)研究对象：AC杆2)受力分析：主动冲量，约束冲量3)运动分析：平面运动4)列运动方程：5)解方程：未知数共3个，方程只有两个1)研究对象：BC杆2)受力分析：约束冲量3)运动分析：平面运动下面再研究另一个刚体。4)列运动方程5)解方程：(3)，(4)中有三个未知数，无法求解。需要找出未知数间的关系。方程(1)—(4)共有5个未知数一般是运动学关系。可不可以是动力学关系？显然，铰C的速度可以用或给出由(1)—(5)可解出算出：6)结果分析：(质心速度)习题7-30一长为2a的均匀杆