专题29.1 投影-九年级数学人教版（下册）

第二十九章投影与视图29.1投影1．投影的定义一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．物体投影的形成需要具备两个条件：一是投影线（光源），二是投影面．【注意】光线、物体、投影面的相对位置发生变化，物体的影子就会相应发生变化．2．平行投影（2）由平行光线形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行光线．日影的方向可以反映当地时间．（2）平行投影的特征等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，同一地点，在太阳光下，它们的影子一样长．等长的物体平行于地方放置时，同一时刻，同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度．同一物体在太阳光下，不同时刻，不仅影子的大小在改变，而且影子的方向也在改变，就我们所在北半球而言，从早晨到傍晚，物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动，其影长的变化规律是：长→短→长．在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．【注意】确定平行投影中物体或影子的方法：平行投影中的物体，光线、影子构成一个三角形，在平行投影中光线是平行的，因此由一条光线就可以作出其他平行光线，进而可以作出相应的物体或影子．3．中心投影（1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．（2）中心投影的特征：①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，且都大于物体本身的长度．③点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上．4．正投影投影垂直于投影面产生的投影叫做正投影．物体正投影的形状和大小与它相对于投影面的位置有关．5．中心投影和平行投影的异同平行投影中心投影相同点都是投影现象、影子的长度均与物体的长度有关不同点光线光线是平行的光线是从一点发出的，不是平行的影子的方向同一时刻、同一地点所有物体的影子的方向都相同同一时刻、同一地点所有物体的影子的方向不一定相同对应点连线的方向物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上）物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置影响影子长度的因素同一时刻、同一地点的影子长度与物体长度、物体的摆放方式有光，与物体和光源之间的距离无关同一时刻、同一地点的影子长度不但与物体长度和物体的摆放方式有光，还与物体和光源之间的距离有关物体的高度与影长的关系同一时刻、同一地点物体的影长都与物体高度成比例同一时刻、同一地点物体的影长与物体高度不一定成比例K—重点了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念，能够确定物体在太阳光下的影子的特征；判定中心投影下物体影子的位置和大小K—难点物体正投影的形状、大小与它相对的投影面的大小关系，画出物体的正投影K—易错根据物体的影子判断投影类别，确定光源类型一、平行投影平行投影的特点：（1）平行投影中，同一时刻的光线是平行的；（2）平行投影的物高与影长对应成比例．【例1】下列光线所形成投影是平行投影的是A．太阳光线 B．台灯的光线C．手电筒的光线 D．路灯的光线【答案】A【解析】四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选A．【名师点睛】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．【例2】下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是

A．③①④② B．③②①④ C．③④①② D．②④①③【答案】C【解析】太阳从东边升起，西边落下，所以先后顺序为：③④①②，故选C．【名师点睛】本题考查平行投影，解题的关键是熟练掌握太阳光是平行光线，本题属于基础题型．二、中心投影中心投影的特点：（１）等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体影子短，离点光源的物体影子长；（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短．【例3】小红和小花在路灯下的影子一样长，则她们的身高关系是A．小红比小花高 B．小红比小花矮C．小红和小花一样高 D．不确定【答案】D【解析】小红和小花在路灯下的影子一样长，在同一路灯下她们的影长与她们到路灯的距离有关，所以无法判断她们谁比谁高．故选D．【名师点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．三、利用投影解决实际问题两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．1．下列说法错误的是A．太阳光所形成的投影是平行投影B．在一天的不同时刻，同一棵树所形成的影子长度不可能一样C．在一天中，不论太阳怎样变化，两棵相邻树的影子都是平行或重合的D．影子的长短不仅和太阳的位置有关，还与事物本身的长度有关2．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是A．线段 B．一个点 C．等边三角形 D．等腰三角形3．在阳光下摆弄一个矩形，它的影子不可能是A．线段 B．矩形C．等腰梯形 D．平行四边形4．下面四幅图是小刚一天之中在学校观察到的旗杆的影子，请将它们按时间先后顺序进行排列A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(1)(4)C．(2)(1)(3)(4) D．(4)(1)(3)(2)5．下面说法正确的有①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能是平行的；④如果一个三角形的平行投影是三角形，那么它的中位线平行投影一定是这个三角形平行投影对应的中位线.A．①② B．④ C．②③ D．①④6．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为A．8cm B．20cm C．3.2cm D．10cm7．下列说法正确的是A．皮影戏是在灯光下形成的中心投影B．甲物体比乙物体高，则甲的投影比乙的投影长C．物体的正投影与物体的大小相等D．物体的正投影与物体的形状相同8．如图中是两根直立的标杆同一时刻在太阳光线下形成的影子的是A． B． C． D．9．在____________的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与其影长成比例．10．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．11．人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会________；当人远离灯光时，其影子的长度就会________．12．如图，在路灯的同侧有两根高度相同的木棒，请分别画出这两根木棒的影子．13．画图：如图是小明与妈妈（线段AB）、爸爸（线段CD）在同一路灯下的情景，其中粗线分别表示三人的影子．请根据要求进行作图（不写画法，但要保留作图痕迹）（1）画出图中灯泡P所在的位置．（2）在图中画出小明的身高（线段EF）．14．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5m．（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，画出此时乙木杆的影子DF．（2）△ABC∽△DEF，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.6m和1m，那么甲木杆的高度是多少？15．如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为A．3.2cm B．8cm C．10cm D．20cm16．下列结论正确的有①同一时刻，两物体在阳光照射下，影子的方向是相同的；②同一时刻，两物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；③同一时刻，两物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关；④同一时刻，两物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．如图是同一时刻两根木杆的影子，这种投影是________(填“平行投影”或“中心投影”)．18．如图，为了测量路灯S的高度，把一根1.5m长的竹竿AB竖立在地面上，测得竹竿的影长BC为1m，然后拿着竹竿沿DB方向远离路灯方向走了4m到B′，再把竹竿竖立在地面上（即A′B′），测得竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．19．（2017•贺州）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是A． B． C． D．20．（2017•绥化）正方形的正投影不可能是A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形21．（2016•南宁）把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是A． B． C． D．22．（2018•百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是__________（用“=、＞或<”连起来）1．【答案】B【解析】A．太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影，正确；B．在一天的不同时刻，同一棵树所形成的影子方向不可能一样，长度有可能一样，错误；C．太阳光线可以看成平行光线，所以在一天中，不论太阳怎样变化，两棵相邻树的影子都是平行或重合的，正确；D．影子的长短不仅和太阳的位置有关，还和物体本身的长度有关，正确；故选B．【点睛】考查平行投影的定义以及特点，掌握平行投影的特点是解题的关键.2．【答案】B【解析】当等边三角形木框与阳光平行时，投影如图：；当等边三角形木框与阳光垂直时，投影如图：；当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影如图：；投影不可能是B．故选B．【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同4．【答案】D【解析】根据从早晨到傍晚物体的指向是：西–西北–北–东北–东，影长由长变短，再变长的规律可知时间先后顺序为（4）（1）（3）（2）．故选D．【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西–西北–北–东北–东，影长由长变短，再变长．5．【答案】B【解析】①、当矩形和投影面垂直时，矩形的平行投影可以是一条线段，错误；

②、当梯形和投影面垂直时，梯形的投影可以是一条线段，错误；

③、两条相交直线的平行投影一定相交，错误；

④、根据平行投影的性质，显然正确．

故选B．6．【答案】D【解析】因为位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，所以投影三角形的对应边长为：510（cm）．故选D．【点睛】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为1：2，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．【点睛】由平行光线形成的投影是平行投影．解决本题要熟知投影的基本知识才能准确地做出判断．8．【答案】A【解析】在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同．A、影子方向相同，且物体的物高和影长成比例，正确；B、影子方向相反，错误；C、物体的物高和影长不成比例，错误；D、影子方向相反，错误．故选A．【点睛】本题考查了平行射影，解题的关键是：利用“在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同．”这个理论来分析四个选项．9．【答案】平行光线【解析】在平行光线的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与其影长成比例．【点睛】本题考查了平行投影的定义，解题的关键是熟练地掌握平行投影的性质．10．【答案】4.8【解析】设此树的高度是hm，则解得h=4.8(m).故答案为：4.8.【点睛】考查平行投影的特点，掌握同一时刻物高与影长成正比是解题的关键.11．【答案】变短；变长【解析】人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会变短；当人远离灯光时，其影子的长度就会变长．故答案为：变短；变长．【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．12．【解析】如图所示：【点睛】考查中心投影的特点与应用，解决本题的关键是根据光源和两根木棒的物高得影子长．13．【解析】（1）如图，点P即为灯泡所在位置；（2）如图所示，线段EF即为所求．【点睛】本题主要考查作图——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握中心投影的定义和性质．14．【解析】（1）如图所示，DF是乙木杆的影子（2）∵即解得AB=2.4．答：甲木杆的高度是2.4m.15．【答案】D【解析】因为位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，所以投影三角形的对应边长为：8÷=20（cm）cm．故选D．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为1：2，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键.16．【答案】B【解析】①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；③物体在路灯