2023年九年级中考数学一轮复习-相似 练习题

2023年九年级中考数学一轮复习一相似练习题

一、单选题

nA1

1.12022•广西梧卅中考真题）如图，以点。为位似中心，作四边形A8C。的位似图形ABC'。，三知会二；，

OA3

若西边形A8CD的面积是2,则四边形A8CD的面积是（）

A.4B.6C.16D.18

2.（2022.广西贵港.中考真题）如图，在边长为1的菱形ABCQ中，ZABC=60°,动点E'在八H边上（与

点A、B均不重合），点户在对角线AC上，CE与环相交于点G,连接AG,OF,若AF=BE,则下列结

论错误的是（）

A.DF=CEB.ZBGC=120°C.AF2=EGECD.AG的最小值为也

3

3.（2022・广西贺州•中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后,

开始倒转“沙漏”，"沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）."沙漏''是由一个圆锥

体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm,高是6cm：圆

柱体底面半径是女m,液体高是7cm.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）

图（1）图（2）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

4.（2022•广西贺州•中考真题）如图,在y中，DE//BC,DE=2,5c=5,则S^：SABC的值是（）

5.（2021・广西来宾•中考真题）如图，矩形纸片ABC。，AD:"=应：1,点E,尸分别在4%BC上,

FF

把纸片如图沿EF折叠，点A,8的对应点分别为N,B',连接4r并延长交线段。。于点G,则二厂的值

AG

D.亚

3

F、G、H,AB=2G，BC=2,M为

上一动点，过点M作直线/LAB,若点M从点A开始沿着A8方向移动到点B即停（直线/随点M移

动），直线/扫过矩形内部和四边形EFG”外部的面积之和记为S.设AM=x,则S关于x的函数图象大致

是（）

7.（2021•广西贵港•中考真题）如图，在正方形A3CO中，E,F是对角线AC上的两点，且EF=14£=2CR

S

连接。石并延长交A"于点M，连接。〃并延K交“C于点M连接贝IJ皆m-（）

,△MBN

3?।

A.-B.C.1D.g

432

8.（2021・广西贺州•中考真题）如图，在Rt.；A8C中，ZC=90°,A/?=5,点。在A8上，05=2,以OB

为半径的。与AC相切于点。，交8c于点E,则CE的长为（）

9.（2021・广西贵港•中考真题）下列命题是真命题的是（）

A.同旁内角相等，两直线平行B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.两角分别相等的两个三角形相似

10.（2022•广西百色•二模）如图，在48C中，8c=120,高AQ=60,正方形£FG”一边在8c上，点日尸

C.15D.18

二、填空题

14.（2021•广西百色・中考真题）如图，aABC中，AB=AC,ZB=72°,NAC8的平分线CO交AB于点。,

则点。是线段A8的黄金分割点.若AC=2,则8。=.

15.（2022・广西贺州・二模）如图，己知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是4个全等的等腰三角形，底边

BC,CE,EG,GI在同一条直线上，且AB=2,BC=1.连接AI,交FG于点Q,则

16.（2022•广西•靖西市教学研究室三模）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCQ与正方形是以点。

为位似中心的位似图形，且相似比为：，两个正方形在原点O同侧，点A、8、E在x轴上，其余顶点在

第一象限，若正方形ABCD的边长为2,则点〃的坐标为.

7

17.（2021•广西•马山县教研室一模）在平面直角坐标系中，将MOA以点O为位似中心，§为位似比作位

似变换，得到反。片.已知A（2,3）,则点A的坐标是.

18.（2021•广西南宁•一模）如图，在平面直角坐标系中，RL/8C的直角顶点人在工轴的正半轴上，点8（-2,/

在反比例函数＞=-9。＜0）的图象上，AB与丁轴交于点。.且A8:AC=4:3.8C〃x轴，若反比例函数

x

三、解答题

19.（2022・广西河池・中考真题）如图、在平面直角坐标系中，&A8C的三个顶点的坐标分别为A（4,1）,

B(2,3),C(1,2).

(1)画出与44关于)，轴对称的AA/B/C/：

(2)以原点。为位似中心，在第三象限内画一个△4&C2,使它与AABC的相似比为2:1,并写出点&的坐

标.

20.(2022•广西贵港•中考真题)如图，已知抛物线%-丁+加+c经过A(0,3)和两点，直线加

与x轴相交于点C，P是直线A3上方的抛物线上的一个动点，釉交A8于点£).

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若正〃x轴交48于点E,求PD+庄的最大值；

(3)若以A,P,。为顶点的三角形与，工OC相似，请直接写出所有满足条件的点P,点。的坐标.

21.(2022•广西桂林.中考真题)如图，抛物线y=-f+3x+4与x轴交于A,B两点(点4位于点B的左侧)，

与y轴交于C点，抛物线的对称轴/与x轴交于点N,长为1的线段PQ(点P位于点Q的上方)在x轴上

方的抛物线对称轴上运动.

(1)直接写出A,B,C三点的坐标；

(2)求CP+PQ+Q8的最小值；

(3)过点。作轴于点M,当2cpM和$Q8N相似时，求点。的坐标.

22.(2022・广西玉林・中考直题)如图.在矩形4水7)中,AB=8.AO=4.点E是。C边卜的任一点(不包

括端点。，C),过点A作交C8的延长线于点F,设=

⑴求所的长(用含。的代数式表示)；

⑵连接£尸交A8于点G,连接GC,当GC〃A£时，求证：四边形AGCE是菱形.

23.(2022・广西贵港•中考真题)已知：点C,。均在直线/的上方，AC与3。都是直线/的垂线段，且4。

在AC的右侧，BD=2AC,4/)与8C相交于点O.

,.的值为

(1)如图1,若连接C。，则△5C。的形状为

(2)若将8。沿直线/平移，并以力。为一边在直线/的上方作等边VAOE.

3

①如图2,当人石与AC.重合时，连接。若AC=5，求。七的长；

②如图3,当NACA=60。时，连接用并延长交直线/于点尸，连接8.求证：O〃_LA4.

24.（2022.广西梧州.中考真题）如图，以A8为直径的半圆中，点。为圆心，点C在圆上，过点C作CQ〃AB,

且8=08.连接AQ,分别交0C8C于点E,F,与：O交于点G,若NA8C=45.

⑴求证：①&A斯sDCF；

②C。是。的切线.

（2）求芸FF的值.

rG

25.（2022・广西河池・中考真题）如图，/W是。。的直径，石为。O上的一点，的平分线交。。于点

C,过点C的直线交84的延长线于点P,交BE的延长线于点D.且NPCA=NCBO.

（1）求证：尸。为。。的切线；

（2）若。C=2近40,PB=\2,求。。的半径及的长.

26.（2021.广西贵港・中考真题）已知在“8C中，。为8C边的中点，连接AO,将，4OC绕点。顺时针方

向旋转（旋转角为钝角），得到.EOF,连接AE,CF.

（I）如图1,当NBAC=90。且/W=AC时，则AE与C尸满足的数量关系是；

（2）如图2,当NBAC=90。且48朝。时，（I）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不

成立，请说明理由；

（3）如图3,延长40到点Q,使。。=04连接。E,当AO=C/=5,8c=6时，求。E的长.

图1图2图3

27.(2021•广西桂林・中考真题)如图，四边形ABC。中，N8=NC=9()。，点七为8C中点，于点

2点O是线段4E上的点，以点。为圆心，OE为半径的。。与相切于点G,交BCF点、F,连接OG.

(2)求证：。。与AO相切；

(3)若BC=6,A8=3Q,求。。的半径和阴影部分的面积.

28.(2021.广西梧州.中考真题)如图，在正方形A8CD中，点E,2分别为边5C,CO上的点，且AE_L8F

于点P,G为4。的中点，连接GP,过点P作P7/JLG尸交人H于点，，连接G".

(2)若人8=6,BE.BC,求G”的长.

29.(2021•广西柳州•中考真题)在平面直角坐标系宜独中，已知抛物线：y=aF+bx+c交.1轴于

(3

A(—l,0),8(3,0)两点，与)，轴交于点C0,--

yy

图1图2

(I)求抛物线的函数解析式；

(2)如图1,点。为第四象限热物线卜一点.连接过点8作4E_LOr>.垂足为若BE=2OE,

求点。的坐标；

(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一-动点，连接交8c于点N,连接8M,记.8MN的面积为

_ABN的面程为求白勺最大值.

30.(2021•广西玉林•中考真题)如图，在_A8C中，。在AC上，DE/IBC,DF//AB.

(I)求证：ADFCs公AED；

⑵若CQ=：AC,求沁1的值.

31.(2021•广西贵港・中考真题)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)，如图，已知..A8C,且

AB>AC.

(I)在A4边上求作点。，使DB=DC；

(2)在4c边上求作点E,使.MOES.ACB.

32.(2022•广西钦州•模拟预测)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如

下美丽的圆.如图，线段AB是。0的直径，延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点，DEXAB

交30于点D,点P是。O上一动点(不与点A,B重合)，连接CD,PE,PC.

(1)求证：CD是。O的切线；

PR

(2)小明在研究的过程中发现二是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以

33.(2022.广西玉林.一模)如图，在边长为4的正方形人〃CO中，点E为对角线人C上一动点(点E与点

A,C不重合)，连接OE,作E7DLOE交射线84于点巴过点石作MN〃/?C分别交CO,AR于点M、N,

作射线。尸交射线。八于点G.

(1)求证：EF=DE；

(2)当A尸=2时，求GE的长.

34.(2021・广西崇左•三模)如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与

点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线1交抛物

线于点Q，交直线BD于点M.

<1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)已知点F(0,g),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？

若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.

35.(2021・广西百色・一模)已知△48C,以A8为直径的。。分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC

(I)求证：A8=AC：

(2)若A8=4,8c=26，求CD的长.

D

BEC

参考答案:

1.D

【解析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解.

解：由题意可知，四边形A8CZ)与四边形ABC。相似，

由两图形相似面积比等于相似比的平方可知

四边形A8C。的面积是2,

・•・四边形ARC'D'的面积为18,

故选：D.

本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键.

2.D

【解析】先证明△小产g/XDA/gCBE,AANC是等边三角形，得DF=CE,判断4项答案

正确，由NGCB+NG8c=60",得N8GG120°,判断B项答案正确，证△BEGs△

RFCF

得，即可判断C项答案正确，由NBGC=120。，BC=T,得点G在以线段BC为

GEBE

弦的弧8。上，易得当点G在等边aABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG二

立，即可判断。项错误.

3

解：•・•四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

：.AB=AD=BC=CD,ZBAC=ZDAC=^ZBAD=^x(180。-N4BC)=60。=ZABC,

•••△ZMr丝△D4尸丝△CBE,△A6C是等边三角形，

工DF=CE,故A项答案正确，

ZABF=ZBCE,

VZABC=ZABF+ZCBF=60°,

：・NGCB+NGBC=60°,

/.ZBGC=180(NGC8+NGBC)=120°,故B项答案正确，

VZABF=ZBCE,ZBEG=ZCEB,

：ABEGSACEB,

.BECE

"'GE~HE'

/.BE?=GE，CE,

VAF=BE,

:.AF2=GE・CE,故C项答案正确，

VZ«GC=120°,BC=1,点G在以线段BC为弦的弧BC上，

••・当点G在等边△A8C的内心处时，AG取最小值，如人图，

「△ABC是等边三角形，BC=1,

/.BF1AC.A尸二;ZGAF=30°,

.\AG=2GF,AG2=GF2+AF2,

AAG2=(-AG],解得AG=且，故D项错误，

(2)⑴3

故应选：D

本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的

性质是解题的关键.

3.B

【解析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm,高是6cm,可得CD=QE,根据园锥、圆柱体积

公式可得液体的体积为637rcm3,圆锥的体积为72忒设此时“沙漏”中液体的高度AZXicm,

则。E=CQ=(6-x)cm,根据题意，列出方程，即可求解.

解:如图，作圆锥的高AC,在上取点石，过点石作于点/),则AA=6cm,AC=6，m,

•••△A8C为等腰直角三角形,

•••△(?/)£为等腰直角三角形,

:・CD=DE,

圆柱体内液体的体积为：乃x3?x7=63/rcm,

圆锥的体积为g乃x6?x6=72;rcnI'，

设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm,则。E=CQ=(6-x)cm,

■(6-x)2-(6-x)=72乃-63乃,

•・.（6-x）3=27,

解得：x=3,

即此时“沙漏”中液体的高度3cm.

故选：B.

本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程

解决问题.

4.B

【解析】根据相似三角形的判定定理得到ADEA8C,根据相似三角形的面积比等于相

似比的平方计算，得到答案.

解：DE〃BC、DE=2,BC=5

A^ADE^ABC，

故选：B.

此题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题

的关键.

5.A

【解析】根据折叠性质则可得出£尸是A4'的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质

可得/FHE=ND=90。,根据相似三角形判定推出△石FHS/\G4。，再利

用矩形判定及性质证得产即可求得结果.

解：如图，过点尸作于点从

•・•点A,8的对应点分别为A,8',

A£A=£Ar,FB=FB，

・•・£/是AV的垂直平分线.

N4OE=90。.

•・•四边形ABCD是矩形，

/./BAD=ZB=ZD=90°.

，NOAE+NAEO=NOAE+ZAGD,

，ZAEO=ZAGD.

YFHLAD,

：,ZFHE=ZD=90°.

:.△EFHS^GAD.

.EF_FH

••茄一丽•

*/ZAHF=ZBAD=ZB=90°,

・•・四边形ABF”是矩形.

：.FH=AB.

.EF_FHABI41

••茄一茄一而一双一万；

故选：A.

本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关

键.

6.D

【解析】把M点的运动过程分为人E段（OWxwG）和BE段（GC426）两个过程,

然后根据题意可知在AE段5=SAHAE+S&GHD-S&EOM-S4GPS，分别表不出四个二角形的面

积即可用X表示出S；同理当在BE段时SMS^AE+SAGED+S.OM+SM、,，分别表示出四

个三角形的面积即可用x表示出5；最后根据x与5的函数关系式对图像进行判断即可

解：如下图所示，当M点的运动过程在AE段

则由题意可知S=SdHAE+SdGHD—S△EOM~^^GPS

•••四边形48C。是矩形，直线/J_A4,H、E、F、G为AD、AB.BC、8的中点

••S4HRE=S&GHD，S^EOM=S'GPU

••S=2s△HAE-2s△EOM

VS=-AE»AH,AH=-AD=-BC=\AE=-AB=>/3

AHAE2222f

,,SAHAE=*AE.AH=与

•••直线ILAB

・•・NOME=NA=90。

.•.△HAESAOME

.AHOM

**~AE~~ME

・•・OM=—ME

3

又•:ME=AE-AM=43-X

如下图所示，当股点的运动过程在8£段

同理当在8E段时S=s*+Sfm+S.'△EO|M+S&GP&

艮[]S=2s△“"：+2s△F°N、

同理可以得到GM

MiE=—AE=x—y{3

・•・=

••・*EOM=5°M•用山="一可

••S=2s△“八£+2s△£OM=国名叫2

综上所述当M点的运动过程在4E段时S=2S^E-2S&S”=百-二次函数

开口向下；当M点的运动过程在8E段时S=6+¥(X-G『，二次函数开口向上

故选D.

木题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够

熟练掌握相关知识点进行求解运算.

7.A

【解析】设•=">=8c=6=肛首先证明AM=CN,再利用平行线分线段成比例定理求

出CN=a,推出BM=BN=2。,可得结论.

解：l^AB=AD=BC=CD=3a,

四边形48CO是正方形，

.•.ND4E=/DC〃=45。，/DAM=NDCN=哪,

在4ME和△£),中，

DA=DC

<NDAE=NDCF,

AE=CF

:.MME^MX：F(SAS)f

\?ADE?CDF,

在AZMM和ADCN中，

ZADM=4CDN

<DA=DC,

ADAM=4DCN

:.M)AM三M)CN(ASA),

:.AM=CN,

-AB=BC,

BM=BN,

\-CN//AD,

.CN_CF

"~AD~~AF~3"

,-.CN=AM=a,BM=BN=2a,

ri—,AD•AMcc

.=2________:3a>a=3

S^BMNL.BM-BN2ax2a4

2

故选：A.

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题

的关键是学会利用参数，设正方形的边长为3〃，求出BM=BN=2a.

8.B

【解析】连接O。，EF,可得0/)〃8C,EF//AC,从而得段=空，工笔,进而即

BCBABABC

可求解.

解：连接OD，EF,

：。与4c相切于点。，BF是。的直径,

•・OOJ_AC,FE1BC,

：ZC=90°,

\OD//BC,EF//AC,

.OP_OABFBE

・正一诟‘~BA~~BCf

.*AB—5,OB-2>

•・OD=OB=2,AO=5-2=3,B产=2x2=4,

•2_34―石

故选：B.

本题主要考查圆的基本性质，平行线分线段成比例定理，掌握圆周角定理的推论，添加辅助

线，是解题的关键.

9.D

【解析】利用平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分别判断

后即可确定正确的选项.

解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，

故选：D.

本题考杳了命题与定理及相似三角形的知识，解题的关键是了解平行线的判定方法、矩形及

菱形的判定方法、相似三角形的判定方法，难度不大.

10.B

【解析】证明△AEFsaABC,根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得.

解：.••四边形EFGH是正方形,

••・EF〃BC,

/.△AEF^AABC,

.EFAN

设AN=x,则EF=FG=DN=60-x,

.60-x_x

120-60

解得：x=20

所以，AN=20.

故选：B.

本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键.

11.D

解：方法一：:△ABO和△AP6关于原点位似

QA,1

/.△ABO^AA'B'O且——=-

OA3

.AE0E1

...————

AD0D3

/.A,E=1AD=2

OE="D=1

3

AA*(-1,2)

同理可得A”(1,-2)

方法二：•・•点A(-3,6)且相似比为g

・••点A的对应点A，的坐标是(-3x1,6x1),

AA*(-1,2)

•••点A"和点A’关于原点O对称

(1,-2)

故选：D.

【解析】先由。(-2,3),AD=5,求得A(2,0),即得AO=2；设AO与y轴交于£求得

E(0,1.5),即得£0=1.5；作8"垂直于x轴于F,求证△AOEs/XCDE,可得8A=CD=^-,

QOQ

求证可得AF=2,BF、,进而可求得8(4,])；将B(4,])代入反比

k

例函数y=e,即可求得上的值.

X

解：如图，过。作。H垂直工轴于从设A。与y轴交于E,过4作8F垂直于x轴于R

,:点D(-2,3),40=5,

:.DH=3,

,AH=VAD2-D^2=>/52-32=4，

，A(2,0),即AO=2,

'：D(-2,3),A(2,0),

33

・・・A。所在直线方程为：)，=-：x+；,

42

：,E(0,1.5),即EO=1.5,

:.AE=[AO2+EO?=bb藁=|

ED=AD-AE=5--=—,

22

*ZAOE=ZCDE,ZAEO=ZCED,

，ZMOES/XCDE,

.EO_AO

••而一而‘

ACD=AO?——,

EO3

，在矩形ABCD中，BA=CD=—,

3

VZEAO+ZBAF=90°,

又NEAO+NAEO=90°,

AZAEO=ZBAF,

又・・・/AOE二NBFA,

.BA_AF_BF

**7E~~EO~~AO'

Q

・••代入数值，可得A/「=2,/?/=1，

：.OF=AF+AO=4,

Q

：.B(4,-),

，将B(4,；)代入反比例函数)，=人，得女=一,

3x3

故选：D.

本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩

形的性质等知识.解题关键是通过求证△AOEs/XCDE,匕AOEsXBFA,得到B点坐标,

将8点坐标代入反比例函数，即可得解.

13.D

【解析】由4N=NM=OM,NQ//PM〃O8得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到

三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案.

解：AN=NM=OM、NQUPMHOB,

:.」ANQS_AM匕一AV尸s.AON,

2

.S&ANQ(AN]二1

一二-1初一"

四边形M/VQP的面积为3,

S&wp=4,

AMfAOB、

.S&\°B[AO）9、

,•SMOB=9,

.「&=2sA408=18.

故选D.

本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题

的关键.

14.3-5/5

【解析】先根据AB=4C,NB=72。求出NA的度数，再根据。力是NCA8的角平分线得到

ZA=ZACD,UPAD=CD,再根据大角对大边得到4A最后利用黄金分割公式计算求

解即可.

解：'：AB=AC,NB=72。

/.ZACB=ZB=72°

，NA=I8O0-N8-NACB=36°

TCO是NC4B的角平分线

・•・ZACD=ZBCD=-ZACB=36"

2

ZA=ZACD

：.AD=CD

在△人8。与4C8O中

N4=N4CD=36。，NB=NB

/.△ASS△CM

.ABBC

在三角形CQ8中，/B=72。，ZBCD=36°

ZCDB=72°

JZCDB=ZB=72°

：.AD=CD=BC

.AB_AD

••茄一丽

即AD2=BDAB

工。点为AB的黄金分割点

在三角形。8中，N8=72。，ZBCD=36°

：.CD>RD（大角对大边）

；・AD>BD

•・•。是44的黄金分割点，AD>BD

・•・==

2

，BD=AB-AD=3-逐

故答案为：3-逐.

本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解即的关键在

于能够熟练掌握相关知识进行求解.

15.

3

试题分析：过点A作AM_LBC.根据等腰三角形的性质，得MC=3BC=g,

7]15

/.MI=MC+CE+EG+GI=一.在RtAAMC中，AM2=AC2-MC2=22-(-)2=—.AI=

224

JAM2+M/2={?+(3)2=4.易证AC〃GQ,则△IACS/MQG,•••岩=号，即与=；，

44

・・・QI=：故答案为

考点：相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.

16.(9.6)

【解析】更接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出石。的长，即可得出

答案.

解：正方形A8C。与正方形4比6是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为g,

.BC08\

"不一南一丁

BC=2,

:.EF=BE=6,

.OB081

''~EO~OB+BE~3'

.OB1

..---------=—，

08+63

解得：08=3,

..EO=O8+BE=9,

1点坐标为:（9,6）,

故答案为：（9.6）.

此题主要考查了图形的位似变换，根据题意正确得出5。的长是解题关键.

,7-M

【解析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可.

解：•・•将△AOB以点。为位似中心，（为位似比作位似变换，得到△AQB,A（2,3）,

•••点Ai的坐标是：住X2,（X3）,

即在｝

故答案为：.

此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

18.—

4

【解析】分别过8、。作x轴的垂线，垂足记为F、E,先由点8在丁=-Ax＜0）上求得

x

的值，再据8C〃x轴求得CE的值；由△/，胡S/XAEC求得人尺AE的值，从而得到0E的

长，从而求得点。的坐标，把之代入到N=&（攵＞（）/＞。）中求得k值.

X

如下图，分别过8、。作工轴的垂线，垂足记为足E,

・・•点8(-2,a)在反比例函数)，="(x<0)的图象.上，

x

ci=——,得a=3

^2

:・BF=3

又BC〃x

：・CE=BF=3；

*/ZBAC=900

・・・NA4〃与/E4C互余

乂/尸A4与NBA/互余

：,ZFBA=ZEAC

乂NB的=NAEC=90。

.BFAFAB4

••===-

AECEAC3

.3”4

..==一

AE33

9

AE=—,AF=4

4

917

，OE=FE-FO=AF+AE-FO=4+--2=—

44

17k

・•・C(—,3),把之代入至l]>=上(A>0,x>0)中得

4x

,51

k=—.

4

故答案为：.

4

此题考查了反比例函数和相似三角形的相关知识，熟悉相关知识求得所的长是关键.

19.(1)作图见解析

⑵作图见解析

【解析】(I)根据关于)，轴对称的点的坐标得到48©的坐标，然后描点连线得到A/bB/C/.

(2)把A、B、C的坐标都乘以-2得到A?、3、G的坐标，然后描点连线即可.

(1)如图，AA4G为所作.

(2)如图，/2c2为所作，点4的坐标为(-4,-6).

本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴.

20.(l)y=—x?+2x+3

⑵最大值为2安45

48

(3)P(2,3),Z)(2,0)或P已引，。件1)

【解析】(1)直接利用待定系数法，即可求出解析式；

(2)先求出点C的坐标为(2,0),然后证明用△£>尸照-用△AOC,设点P的坐标为

6?‘标12〃"3),其中〃>0,则点O的坐标为(加，］?।3),分别表示出尸O和尸E,再

由二次函数的最值性质，求出答案；

(3)根据题意，可分为两种情况进行分析：当MOCSMP。时；当分

别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案.

(1)

(79、

解：•・•抛物线)，=7+以+0经过A(0,3)和B弓,一1两点，

\.乙一/

<?=3

・H,7、，7,9

224

解得：b=2,c=3,

•••抛物线的表达式为y=r2+2x+3.

(2)

解：・.・A((),3),科考，

**•直线AB表达式为＞'=-1x+3,

•・•直线A/3与x轴交于点C,

・••点。的坐标为（2,0）,

•・・/V）JLx轴，PEix轴，

；・R於DPEsRjOC,

.PDOA3

••-~~,

PEOC2

JPE=-PD,

3

2S

则PD+PE=PD+-PD=-PD,

33

设点。的坐标为（，九一〃/+2〃?+3）,其中〃2>0,

则点O的坐标为（小，-Tm+3），

・・・—『耳时4+空

314J48

3

7245

・•・当机==时，9+尸£有最大佰，H最大俏为胃.

448

（3）

解：根据题意，

3

在一次函数丁=-5犬+3中，令y=0,则尤=2,

・••点C的坐标为（2,0）；

当A4OCS△/加4时，如图

此时点。与点C重合，

・••点。的坐标为（2,0）；

VPDJLx轴,

，点P的横坐标为2,

・••点P的纵坐标为:），=-2、2x2+3=3,

・••点P的坐标为（2,3）；

当A40CS&MP时，如图，则人尸_1_八6,

-nr4-2m+3),

-m2+2m+3-3.

：■L--------------=-m+2,

in-0

VAP±AB,

3

1，k,、B

2

3

(T〃+2)X(——)=-1,

，点D的坐标为点P的坐标为

・•・满足条件的点P,点。的坐标为P(2,3),D(2,0)或呜斜呜)

本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是

熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析.

21.(1)A(-I,0),B(4,0),C(0,4)

Q)6

⑶弓，£)或0，募)或S，

【解析】(1)由)=・.P+3x+4可得A(-1,0),B(4,0),C(0,4)；

(2)将。(0,4)向下平移至C,使CC=PQ,连接AC交抛物线的对称轴/于Q,可知四

边形CCQP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ=CQ+PQ+BQ=BC+PQ,而B,Q,C共线,

故此时CP+PQ+bQ最小，最小值为8C+PQ的值，山勾股定理可得8c=5,即得CP+PQ+BQ

最小值为6：

3333

(3)由在y=・f+3x+4得抛物线对称轴为直线x=・设/),则。(：，

7+1),M(0,r+1),7V(-.0),知8N=2,QN=t,PM=-fCM=\t-3\,①当察=也

222QNBN

3

2-315315CMPM卜一12

寸-

5，可解得2(；，y)或(：，y);②当事=市时，1=2,得

2-

QE上W

22

(1)

解：在y=~『+3.什4中，令1=0得y=4,令y=0得x=・1或x=4,

：.A(-1,0),B(4,0),C(0,4).

(2)

将C(0,4)向下平移至。，使CC'=PQ,连接8C交抛物线的对称轴/于Q,如图所示:

,:CC=PQ,CC〃PQ,

・••四边形CCQP是平行四边形，

:.CP=CQ,

CP+PQ+BQ=C'Q+PQ+BQ=BC'+PQ,

VB,Q,C共线，

，此时b+PQ+BQ最小，最小值为5C+P0的值,

VC(0,4),CC=PQ=\,

，C'(0,3),

•:B(4,0),

：♦8c=^7^=5,

・•・8C'+F-5+1=6,

••・CP+PQ+8Q最4、值为6.

(3)

如图：

33

由尸-.P+3x+4得，抛物线对称轴为直线x=-5=受

—22

333

设Q（；，。，则P(一，什1),M(0,r+1),N(一，0),

22

,:B(4,0),C(0,4)；

53

:.BN=Q,QN=hPM=~,CA/=k-3|,

•:/CMP=/QNB=9a0,

CMp\iCMPM

•••△CPM和△QBN相似，只需二7="或

QNBNBNQN

3

PM|r-3|2

①当丽一曲时，下一5’

2

解得或/=葭,

315315、

:Q((y)或(丁7）；

②嚼嚼时，k-

5

2

解得亚或尸三尬（舍去）,

22

,Q(33+2〉).

22

综上所述，Q的坐标是弓3，£15）或弓3，三15）或《3，3+2指

本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相

似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用.

22.(l)BF=2a

(2)见详解

【解析】（1）根据矩形的性质可得NR4O=N46C=ND=90。，然后可证AAO£S_A5尸，进

而根据相似三角形的性质可求解；

（2）如图，连接AC,由题意易证四边形AGCE是平行四边形，然后可得绘=要=：,

ABBF2

进而可证.力比…F皮;，则可证AC_LGE,最后问题可求证.

（1）解：•••四边形/WCD是矩形，

，/BAD=ZABC=ZD=9O",

VAF±AE,

・•・Z.FAB+/BAE=NBAE+NEAD=90°,

‘^FAB=ZEAD,

*/ZABF=ND=90。,

..ADE^..ABF,

.ADDE

••=f

ABBF

；A8=8,AO=4,DE=u,

DEAB

・•・BF==2a

AD

(2)证明：由题意可得如图所示:

连接AC,

在矩形A8CD中，AB//CD,AD=BC=4,AB=CD=^^ABC=90°,

：.NABC=NFBG=9()。,

,/GC//AE,

・•・四边形AGCE是平行四边形,

AG=CE,

BG=DE=a,

,/BF=2a,

.GBa\

..--=—=—,

BF2a2

..BC_\

•----——，

AB2

•.•BC=_BG=_\一,

ABBF2

ZABC=ZFBG=90°,

-ABCS/BG,

・•・NFGB=AACB,

•/4GFB+ZFGB=90°,

:.4GFB+ZACB=3)。,

，ACA.GE,

・•・四边形4GCE是菱形.

本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的

性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键.

23.(1)等腰三角形，!

(2)①。E=2将：②见解析

【解析】(1)过点。作于〃，可得四边形是矩形，即可求得AC=BH,进而

可判断△BCO的形状，AC、8D都垂直于/,可得△40Cs/\80D,根据三角形相似的性质

即可求解.

(2)①过点、E作EFJ.AD于点、H,AC,8。均是直线/的垂线段，可得AC//3Z),根据等

边三角形的性质可得/以。=30°,再利用勾股定理即可求解.

②连接CO，根据4C〃8D,得NC4O=NAC8=60。，即△BCD是等边三角形，把△ABQ

AF