2024-2025学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足iz=1+2i，则复数z在复平面上的第(    )象限．A.一 B.二 C.三 D.四2.已知向量a=(x,1)，b=(2,−3).若a//b，则实数A.−23 B.23 C.−3.已知sin(α+π6)=1A.223 B.13 C.4.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，高为2，则该三棱台的体积为(

)A.1423 B.14335.先将函数y=tanπx的图象上所有点的横坐标扩大为原来3倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移34个单位长度得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的对称中心为(

)A.(3k2−34,0)，k∈Z B.(3k−34,0)，k∈Z

6.圆锥SO中，轴截面为正三角形，AB、CD为底面圆的两条相互垂直的直径，点P为BS的中点，则异面直线SA与PD所成角的正弦值为(

)A.13 B.12 C.27.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，b=32，cosB=3A.2 B.22 C.528.在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=2，点E在线段CD上，则AC⋅A.(2,8) B.[2,8] C.(4,16) D.[4,16]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某学校调查学生对学校食堂意见情况，该学校分高一，高二，高三三个年级，统计可得这三个年级的人数比例为4：3：3.现用分层随机抽样的方法从这些学生中抽取n名学生进行调研，若高一年级抽到80人，则(

)A.高二年级抽到60人 B.高三年级抽到90人

C.n=200 D.抽取的高二与高三人数之和比高一多40人10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=23，B=π3，∠CBA的平分线交AC于点DA.△ABC外接圆的而积为16π

B.若△BCD与△ABC的面积比为1：3，则AB=2BC

C.若CD=2AD，则△ABC为直角三角形

D.△ABC周长的最小值为611.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N，P分别是AA1，CC1，C1A.直线PQ与MN所成角的余弦值的最大值为22

B.三棱锥Q−PBC的体积为定值

C.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面

D.三棱锥C−BMN的外接球的表面积为9π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共12.现用随机数表的方法选出5名学生参与班级工作，该班级一共50名学生，学生编号分别为01，02，…，50，随机数表的第1行和第2行如下：

66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90

57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10

若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则抽取得到的第5名学生的编号是______．13.已知梯形ABCD用斜二测画法得到的直观图为A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′=2，A′B′=B′C′=1，则梯形ABCD的面积为______．14.已知四面体ABCD中，AB=4，BC=2，点O为该四面体ABCD外接球的球心，则BO⋅AC的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a⋅b=1．

(1)求向量a，b夹角的大小；

(2)求|a16.(本小题15分)

已知函数f(x)=−2sin2ωx+2sinωxcosωx+1(ω>0)，且函数f(x)为最小正周期为π的周期函数．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在[0,π2]上的值域；

(3)若f(α)=17.(本小题15分)

某市举行了数学竞赛选拔考试，参加的学生众多，为了解本次考试的成绩分布情况，抽取出100名学生的成绩进行分析，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)估计这100名学生成绩的平均数和第85百分位数；

(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人，若成绩在[55,65)中的平均数和方差分别为62和40，成绩在[75,85)中的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这两组成绩总体的方差．

(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x1−；s12；n，x2−，s218.(本小题17分)

如图，在平面凸四边形ABDC中，对角线AD与CB相交于点O，sin∠ACB=sin∠BCD=155，AC=5，CD=4，BC=BD．

(1)求cos∠ACD的值；

(2)求CO19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=π3，PB=2AB=2，PB⊥BD，CD⊥平面PBD，点N在棱PC上．

(1)求PA；

(2)若PA//平面BDN，求三棱锥N−PAD的体积；

(3)若二面角N−BD−C的大小为π4，求PN

参考答案1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】BC

11.【答案】BCD

12.【答案】09

13.【答案】3

14.【答案】−6

15.(1)由于平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a⋅b=1，

故cos<a,b>=a⋅b|a||b|=216.(1)函数f(x)=−2sin2ωx+2sinωxcosωx+1

=2sinωxcosωx+(1−2sin2ωx)

=sin2ωx+cos2ωx

=2sin(2ωx+π4)，

因为函数f(x)的最小正周期为T=π，所以2ω=2πT=2，解得ω=1，

所以函数f(x)=2sin(2x+π4)；

(2)因为x∈[0,π2]，所以2x+π4∈[π4,5π4]，

根据正弦函数的图象与性质知，17.(1)由图可得(0.005+a+0.045+0.020+0.005)×10=1，解之可得a=0.025；

(2)根据题意知x=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5，

0.05+0.25+0.45=0.75<0.85，0.75+0.2=0.95>0.85，

设第85百分位数为x，所以x∈(75,85)，0.75+0.02×(x−75)=0.85，解之可得x=80，

故这100名学生的成绩平均数为69.5，第85百分位数为80；

(3)设[55,65)，[75,85)中成绩的平均数、方差分别为x1−=62，x2−=80，s12=40，s22=50，

且两组的频率之比为0.250.2=54，

则[55,65)，[75,85)中成绩的平均数为w−=5×62+4×8018.(1)因为sin∠ACB=sin∠BCD=155，且∠ACB+∠BCD<π，

所以∠ACB=∠BCD，CB为∠ACD的平分线，可得cos∠ACD=1−2sin2∠ACB=−15；

(2)由(1)可知cos∠ACD=−15，所以sin∠ACD=1−125=265，

因为S△ACD=S△ACD+S△DCO，

可得119.(1)证明：因为CD⊥平面PBD，CD⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，

又因为PB⊥BD，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，所以PB⊥平面ABCD，

又因为AB⊂平面ABCD，所以PB⊥AB，所以三角形PAB为直角三角形，

所以PA2=PB2+AB2=5，即PA=5．

(2)连接AC与BD交于点O，连接NO，

因为P//平面BDN，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDN=NO，

所以PA//NO，可知N为PC的中点，而CD⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，因此CD⊥BD，

在三角形BCD中，CD=AB=1，∠BCD=∠BAD=π3，∠BDC=π2，

所以BD=3，AD=BC=2，∠ADC=2π3，

所以VN−P