2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|log3(x−1)>0},B={x|3A.A=B B.A⊇B C.A∪B=B D.A∩B=⌀2.已知命题p：∃x>1，x2−1>0，那么¬p是(

)A.∀x>1，x2−1>0 B.∀x>1，x2−1≤0

C.∃x>1，x23.下列命题是假命题的是(

)A.若a>b>0>c>d，则ab>cd B.若ac2>bc2，则a>b

C.若a>b>0且c<0，则ca2>4.已知a>0，b>0，则(

)A.a2+b2>2ab B.1a5.已知函数f(x)=(3−a)x+2,x≥2ax,x<2，则“1<a<3”是“f(x)在RA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.函数f(x)=x+lnx的图象大致为(

)A. B.

C. D.7.香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即C=Wlog2(1+SN)，其中C是信道容量，单位bps；W为信道带宽，单位Hz；SN代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频(FHSS)技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的(    )倍．

A.5 B.6 C.7 D.88.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈(0,+∞)时，都有x2f(x1)−A.(−∞,−2025)∪(2025,+∞) B.(−2025,0)∪(2025,+∞)

C.(−2025,2025) D.(−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，1a+2bA.ab的最小值为8 B.a+b的最小值为3+22

C.a2+b2的最小值为10.已知函数f(x)=3x−13A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(−1,1)

C.函数f(x)的图象关于y轴对称 D.函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增11.设函数f(x)的定义域为R，满足f(−1+x)=−f(−1−x)，f(1+x)=f(1−x).当x∈(−1,1]时，f(x)=−x2+1，则下列结论正确的是A.f(72)=−34

B.f(x)在(6,8)上为减函数

C.f(x+7)为奇函数

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若两个正实数x，y满足1x+4y=2，且不等式xy>13.已知函数f(x)=x2−2ax−3,g(x)=ax，其中a>0.对任意的x1∈[−2,−1]，存在x14.已知函数f(x)=|ex+2−1|,x≤0,lnx+1,x>0,若方程[f(x)]2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|−1<x<5}，B={x|a<x<2a−1}，C={x|x2−5ax+6a2=0}．

(1)若B⊆A，求实数a的取值范围；

(2)16.(本小题15分)

已知函数f(x)=1+f(1x)⋅log2x．

(1)求函数f(x)的解析式；

17.(本小题15分)

2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=168−x−1；当4<x≤10时，y=5−12x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．

(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？

(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.118.(本小题17分)

已知f(x)=1−a4x+1为奇函数，g(x)=2x2+b2x−b．

(1)求实数a的值；

(2)求函数19.(本小题17分)

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinℎ(x)=ex−e−x2和双曲余弦函数cosℎ(x)=ex+e−x2双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类重要的初等函数，令f(x)=sinℎ(x)=ex−e−x2，g(x)=cosℎ(x)=ex参考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.B

6.A

7.B

8.B

9.ABD

10.ABD

11.ACD

12.(−1,4)

13.(414.(15.(1)当B=⌀时，a≥2a−1，

解得a≤1，

当B≠⌀时，则2a−1>aa≥−12a−1≤5，

解得1<a≤3，

综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤3}；

(2)A={x|−1<x<5}，C={x|(x−2a)(x−3a)=0}，

若a>0，则2a≥5，

解得a≥52，

若a<0，则2a≤−1，

解得a≤−12，

若a=0，不符合题意，

16.(1)由题意知，函数f(x)=1+f(1x)⋅log2x的定义域为(0,+∞)，

在等式f(x)=1+f(1x)⋅log2x中，

用1x替代x，得f(1x)=1+f(x)⋅log21x=1−f(x)⋅log2x，

所以f(x)=1+f(17.解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，

所以其浓度为f(x)=4y=648−x−4,0≤x≤420−2x,4<x≤10，

当0≤x≤4时，648−x−4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4，

当4<x≤10时，20−2x≥4，解得x≤8，此时4<x≤8，

综上0≤x≤8，

所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；

(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后，

其浓度为g(x)=2(5−12x)+a(168−(x−6)−1)=10−x+16a14−x−a=14−x+16a14−x−a−4，

因为14−x∈[4,8]，a∈[1,4]，

所以14−x+16a14−x−a−4≥2(14−x)⋅16a18.(1)根据题意，函数f(x)定义域为R，

因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，即1−a40+1=0,a=2，

可得f(x)=1−24x+1=4x−14x+1，f(−x)=4−x−14−x+1=1−4x1+4x=−f(x)，满足条件，

综上所述，实数a的值为2；

(2)根据4x>0，可得4x+1>1，所以0<14x+1<1，

可得0<24x+1<2，f(x)=1−24x+119.(1)证明：因为g(x)=cosℎ(x)=ex+e−x2，f(x)=sinℎ(x)=ex−e−x2，

所以g(2x)=e2x+e−2x2，

2[f(x)]2+1=2×e2x−2+e−2x4+1=e2x+e−2x2，

2[g(x)]2−1=2×e2x+2+e−2x4−1=e2x+e−2x2，

所以g(2x)=2[f(x)]2+1=2[g