2024-2025学年安徽省马鞍山市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省马鞍山市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={0,1,2,3}，B={x|2x<8}，则A∩B的元素个数为A.{0,1,2} B.3 C.2 D.12.已知i是虚数单位，复数z满足(2−i)z=10+5i，则z的虚部为(

)A.3 B.4 C.3i D.4i3.如果x，y是实数，那么“|x−y|=|x|+|y|”是“xy<0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把数量|a||b|sinθ叫作向量a与b的叉乘a×b的模，记作|a×b|，即A.−1 B.1 C.0 D.5.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d<0，S2024⋅S2025A.1012 B.1013 C.2024 D.20256.圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为(

)A.3π B.23π 7.已知函数f(x)=sinx+32sin2x+2x+3在[−2π,2π]上的所有极值点从小到大依次记为x1，x2，⋯，xA.12 B.15 C.18 D.248.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，且点P在第一象限，线段PFA.1 B.2 C.4 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的有(

)A.两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数r就越接近1

B.已知随机变量X～N(0,1)，若P(X>1)=p，则P(−1<X≤0)=12−p

C.数据3，4，6，7，8，9，10，11的第75百分位数为9

D.若事件A，B满足P(A)P(B)≠0，10.已知(2x−1)2025=aA.a1=2025

B.a2023=−2202111.已知平面直角坐标系中，动点P(x,y)到点O(0,0)和A(2,2)的距离的乘积为2，点P的轨迹Ω如图所示，则(

)A.Ω过点(1,1)

B.Ω关于直线x+y=2和直线y=x均对称

C.P到原点O(0,0)距离的最大值为2+2

D.直线y=−x+5与Ω三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a12<1，且loga13.若把满足a2+b2=c2(a<b<c)的正整数组14.已知实数a，b满足3a+b=2，则a+4b−1a2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.当x=A时，函数f(x)=23sinxcosx−cos2x取得最大值．

(1)求角A的大小；

(2)若边BC上中线AD=2，求△ABC16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形.PA⊥平面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点．

(1)证明：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为55，求点F到平面PBC的距离．17.(本小题15分)

已知f(x)=x2−alnx，a∈R．

(1)曲线y=f(x)与直线y=x相切，求a的值；

(2)若f(x)有两个零点，求实数a18.(本小题17分)

已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点到椭圆x24+y2=1右焦点的距离等于椭圆长半轴长．

(1)求抛物线C方程；

(2)过点P(0,−4)作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B(A在B的右侧)，点D为线段AP上的动点(不含端点)，过D作抛物线C的另一条切线，切点为E，直线DE19.(本小题17分)

在某项趣味篮球游戏中，每个参与者投篮若干次，根据投篮情况获取相应积分，得分规则如下：第一次投篮，投中得2分，未投中得1分；从第二次投篮开始，投中得上一次所得分数的2倍，未投中得1分.已知甲每次投篮投中的概率均为23，且每次投篮结果互不影响．

(1)求甲投篮3次得分总和为4分的概率；

(2)记甲第n次(n∈N∗)投篮的得分为Xn，甲投n(n∈N∗)次篮的得分总和为X．

(i)求E(X1)，E(X2)，E(X3)，并写出k≥2(k∈N∗)时，E(X答案解析1.【答案】B

【解析】解：因为A={0,1,2,3}，B={x|2x<8}={x|x<3}，

所以A∩B={0,1,2}，元素个数为3．

故选：B．

先求得集合B2.【答案】B

【解析】解：由(2−i)z=10+5i，

则z=10+5i2−i=(10+5i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+20i5=3+4i，

所以z的虚部为4．

3.【答案】B

【解析】解：若|x−y|=|x|+|y|，则xy≤0，即充分性不成立；

当xy<0时，若x<0，y>0，则x−y<0，

所以|x−y|=−(x−y)=−x+y，而|x|+|y|=−x+y，则|x−y|=|x|+|y|；

若x>0，y<0，则x−y>0，

所以|x−y|=x−y，而|x|+|y|=x−y，则|x−y|=|x|+|y|，即必要性成立，

所以“|x−y|=|x|+|y|”是“xy<0”的必要不充分条件．

故选：B．

将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件．

本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．4.【答案】D

【解析】解：由a=(0,1)，b=(3,1)，

则cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=11×4=12，

由θ∈[0,π]，

所以θ=π3，

5.【答案】A

【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，

若S2024⋅S2025<0，则有S2024⋅S2025=2024(a1+a2024)2⋅2025(a1+a2025)2=1012(a1012+a1013)⋅2025a1013<0，

变形可得：(a1012+6.【答案】A

【解析】解：由题意圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，

可设圆锥和圆柱的底面半径为r，高为ℎ，

则圆锥的母线长为l=ℎ2+r2，

则圆锥的侧面积为πrl=πr⋅ℎ2+r2，

而圆柱的侧面积为2πrℎ，则πr⋅ℎ2+r2=2πrℎ7.【答案】D

【解析】解：根据函数f(x)=sinx+32sin2x+2x+3，

那么导函数f′(x)=cosx+3cos2x+2=cosx+3(2cos2x−1)+2

=6cos2x+cosx−1=(3cosx−1)(2cosx+1)，

令导函数f′(x)=0，得cosx=13或cosx=−12．

如图，画出y=cosx图象，

结合图象可得f(x)的极值点有8个．

那么x1，x8；x4，x5；x2，x7；x3，x6互为相反数，又因为sinx+sin(−x)=0，

那么i=18sinxi8.【答案】C

【解析】解：已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，且点P在第一象限，

则F1(−c,0)，渐近线y=±bax，

设P(at,bt)，t>0，

则M(at−c2,bt2)，

由点M在C的左支上，

得(at−c)24a2−t24=1，

整理得2act=c2−4a2，

由|OF9.【答案】BD

【解析】解：对于A，两个随机变量的线性相关性越强，

则样本相关系数r的绝对值就越接近1，故A错误；

对于B，由X～N(0,1)，则μ=0，因为P(X>1)=p，所以P(X<−1)=p，

则P(−1<X≤0)=P(X≤0)−P(X<−1)=12−p，故B正确；

对于C，由8×75%=6，则第75百分位数为9+102=9.5，故C错误；

对于D，由P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，则P(AB)=P(A)P(B)，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)，故D正确．

故选：BD．

根据相关系数的性质即可判断A10.【答案】BCD

【解析】解：(2x−1)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2025x2025，

对于AB，(2x−1)2025展开式的通项公式为Tr+1=C2025r⋅(2x)2025−r⋅(−1)r=C2025r⋅(−1)r⋅22025−r⋅x2025−r，

令2025−r=1，得r=2024，

所以a1=C20252024⋅(−1)2024⋅21=4050，故A错误，

令2025−r=2023，得r=2，

所以a2023=C20252⋅(−1)2⋅22023=C20252⋅22023，

令2025−r=2，得r=202311.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，x2+y2⋅(x−2)2+(y−2)2=2，

化简得点P(x,y)的轨迹Ω的方程为(x2+y2)⋅[(x−2)2+(y−2)2]=4．

对于选项A，将点(1,1)代入得(12+12)⋅[(1−2)2+(1−2)2]=4，

那么轨迹方程Ω过点(1,1)，因此选项A正确；

对于选项B，

将(y,x)代入得(y2+x2)⋅[(y−2)2+(x−2)2]=(x2+y2)⋅[(x−2)2+(y−2)2]=4，

将(2−y,2−x)代入得[(2−y)2+(2−x)2]⋅[(2−y−2)2+(2−x−2)2]

=(x2+y2)⋅[(x−2)2+(y−2)2]=4，

所以Ω关于直线x+y=2和直线y=x均对称，因此选项B正确；

对于C，由B知，Ω关于直线x+y=2和直线y=x均对称，

则Ω的中心点为(1,1)，

结合图象可知，当P在直线y=x上，且在右上角时，

P到原点O(0,0)距离最大，设P(t,t)，t>1，

此时P到原点O(0,0)距离为2t，12.【答案】(0,1【解析】解：①因为a12<1，

即a<1，

即0≤a<1．

②因为loga12<1，

当a>1时，

则loga12<1可转化为loga12<logaa，

因为函数递增，

即12<a，

即a>1；

当0<a<1时，

此时loga12<1可转化为log13.【答案】3364【解析】解：由题意可知基本事件的总数为C143=364，

其中能组成“勾股数组”的有(3,4,5)，(6,8,10)，(5,12,13)，共3个，

故随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为3364．

故答案为：336414.【答案】5【解析】解：实数a，b满足3a+b=2，

a+4b−1a2+b2=2a+8b−22a2+b2=2a+8b−(3a+b)2a2+b2=15.【答案】π3；

4【解析】(1)根据题意可知，函数f(x)=23sinxcosx−cos2x=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

因为A∈(0,π)，所以2x−π6∈(−π6,11π6)，

则2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)取得最大值，则A=π3；

(2)因为AD为BC边的中线，则AD=12(AB+AC)，

则AD2=16.【答案】证明见解析；

25【解析】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，

在正方形ABCD中，O为AC的中点，

∵E为PC的中点，∴OE/​/PA，

又∵PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，

又∵OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD．

(2)解：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设AP=a，a>0，则P(0,0,a)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，F(0,2,a2)，

∴PB=(4,0,−a)，BC=(0,4,0)，

设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅PB=4x−az=0m⋅BC=4y=0，令x=a，得m=(a,0,4)，

∴平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0)，

∴|cos<m，n>|=|m⋅n||m||n|=aa2+16×1=55，解得a=2，

∴m=(2,0,4)17.【答案】1；

(2e,+∞)．

【解析】(1)由题意可得，f′(x)=2x−ax，x>0，

设切点为(x0,x02−alnx0)，

则f′(x0)=2x0−ax0=1，则2x02−x0=a，

又x02−alnx0=x0，所以x02−(2x02−x0)lnx0=x0，

则x0−(2x0−1)lnx0=1，即x0−1−(2x0−1)lnx0=0，

设g(x)=x−1−(2x−1)lnx，x>0，

则g′(x)=1−2lnx−(2x−1)⋅1x=1x−2lnx−1，

因为函数y=1x,y=−2lnx在(0,+∞)上单调递减，

所以函数g′(x)在(0,+∞)上单调递减，又g′(1)=0

则x∈(0,1)时，g′(x)>0；x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，

所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

因为g(1)=0，所以x0=1，则a=2x02−x0=1．

(2)由f(x)=x2−alnx，x>0，则f′(x)=2x−ax=2x2−ax，

当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)单调递增，至多有一个零点，不符合题意；

当a>0时，f′(x)=2(x+18.【答案】x2=4y；

证明过程见解析，定值为4【解析】(1)易知抛物线C的焦点为(0,p2)，

因为椭圆的方程为x24+y2=1，

所以a=2,b=1,c=3，

所以椭圆的右焦点为(3,0)，长半轴长为a=2，

因为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点到椭圆右焦点的距离等于椭圆长半轴长，

所以3+(p2)2=2，

解得p=2，

则抛物线C方程为x2=4y；

(2)证明：设过点P(0,−4)与抛物线C相切的直线方程为y=kx−4，

联立y=kx−4x2=4y，消去y并整