（第十五章轴对称03讲等腰三角形）2024-2025学年八年级上学期数学（新版人教版）

【巩固练习】【注意】③底边上行的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴．②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；【注意】②等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．:AB=AD．:△ABD是等边三角形:BD=AB．又BD=2BC，AB．由此可以得到上述结论．2．已知等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为()A．80°B．50°C．50°或65°D．50°或80°3．等腰三角形的底角比顶角大15°,求各个角的度数．4．如图，在△ABC中，线段AB=AC，BD,CE的全等三角形的对数是()5．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且(1)求证：PD=PE；(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)若上BAC=62°,求ÐAC7．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是()8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE平分ÐABC分别交AD、ACAC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值是()是()小于这条边上中线的长度；@三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和@，下列说法正确的是()A．①、@都正确B．①、@都错误C．①正确，@错误D．①错误，@正确12．下列命题的逆命题是假命题的是()EFⅡBC交AB于E，交BC于F，那么图中所有的等腰三角形的个数()14．已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分ÐABC和ÐACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB=8，AC=6．解：QBM平分ÐABC，QDEⅡBC，:上BMD=_______．:DB=DM（_______同理可得EC=_______．:△ADE周长=AD+DE+AE_______15．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，ÐABC的平分线交DE于点17．如图，在△ABC中，ÐBAC的平分线交BC于点D，过点D作DEⅡA于点E、F，连接CF．(2)过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC=10，AF=6，求△GFC的周长．19．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为(-2,4)，则线段DE的长为()22．如图，在△ABC中，AB=AC=6，点E，F，D分别在边AC，AB，BC上，EF∥AB，DF∥AC，则四边形AEFD的周长是()23．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，腰BC的垂直平分线分别交AB、BC于E、24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE平分ÐABC分别交AD、AC于点O、E，若上ABE=26°,则ÐBAD的度接EC，若上BCE的度数为()A．36°B．72°C．48°26．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．(2)若上BAC=110°,求ÐDAE的度数．分别相交于点E，F，OB与CD相交于点G．若CO丄AB，则上OGD的度数为()29．如图1，点D是△ABC的边BC的中点，点E在AB上，过点E作EFⅡBC交AC于(1)求证：AE=AF；B与点C重合，折痕交AB、BC、BD于点E、F、G，连接CE交BD于点H．(1)试说明：BH=AC；°【问题提出】【问题探究】（2）如图2，连接CF交BD于点E，请判断BD与FC是否相互垂直，并说明理由．33．如图，点C在线段AB上，ADPBE,AC=BE,AD=BC．34．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE=CF，连接AE、AF．求证：AD平分ÐEAF．35．如图1，在△ABC中，点D是BC边的中点，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处（点E在直线BC上方连接CE.(2)求证：CE∥AD；(3)如图2，过点C作AB的平行线，交AE的延长线于点F.求证：FE=FC；(4)连接DF，当AD=DF时，如果△ABD是等腰三角形，那么ÐB的度数为________.连结BC、DE，求证：S△ABC=S△ADE．(1)如图，已知：线段a,b，请利用尺规作图求作：等腰△ABC，使线段a为底，线段b为底.......(2)小明受到小聪的启发，也有了自己的想法39．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为边AB上的高线．40．如图，在直线EF上有一点A，直线外有一点B，点C在直线EF上，ΔABC是以AB、AC为腰的等腰三角形．41．如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE，若AD=AE，则上CDE的度数为()42．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．43．如图，在等边△ABC中，AB=10，D是BC边上一点，且上BAD=30°,则CD的长为44．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且45．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求上BOD46．如图，在等边△ABC中，点D、E在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F．47．下列说法中正确的是()48．如图，在Rt△ABC中，上ABC=90点E,AE=AB，连接AD,BE，交于点P．(1)求证：AD平分BE；49．下列命题的逆命题不成立的是()(1)尺规作图：过点D作DE丄BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，时，上AOB=60°,如图2，则此时A，B两点之间的距离是()A．9cmB．18cmC．253．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西43°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西17°的方向行驶100海里到C地，则A、C两地相距()54．如图，在△ABC中，AB=8，BC=13，ÐB=60°,将△ABC沿着BC的方向平移得到方法：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题；结合BC，BD之间的数量关系，并说明理由．长．小明同学的解法是：将△ABC沿AD折叠，则点C刚好落在BC边上的点E处．请你画则AB的长为__________．上BAC=60°,求ÐACE的度数．AC，则上OAC的大小为()△BOC≌△ADC，连接OD．D、E、F，连接AF．(1)点F在CB的延长线上，(2)当△ACF是等腰三角形时，请直接写出ÐC的度数．F为线段BD上一点，且FP=AP．方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．【提出问题】△ABC是等边三角形，点D在CB的延长线上，BE平分ÐABD，点M是BC边上一动点，连接AM，并以AM为边作上AMN=60°,交射线BE于点N，连接AN．猜兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量AM和MN的长度，结果如下：AM的长度(cm)MN的长度(cm)根据以上数据，猜想：△AMN是___________三角形．【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你证明：如图，在CA边上截取CP=CM，连接PM．:△APM≌△MBN:△AMN是___________三角形．如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC【尝试应用】的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，请你根据这个提示写出证明“△ADC≌△EDB”的推理过程，并求出AD的取值范围．反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，【问题处理】如图3，已知AD是△ABC中BC边上的中线，F是AB上的一点，CF交AD于点E，【拓展提升】如图4，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D在边BC上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．请直接写出CD，CE，CF之间的数量关系．图中与7A互余的角共有()71．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD．如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕定点A旋转，若点B,P在直线a的异侧，BM丄直线a于点M,CN丄直线a于点N，连接PM,PN(1)延长MP交CN于点E（如图3）①求证△BPM≌△CPE@求证PM=PN(2)若直线a绕点A旋转到图4的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．73．下列命题中，真命题是()C．一个外角是130°,与它不相邻的一个内角为50°的三角形D．有两个内角分别是70°,50°的三角形），出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是()度数为()BC于点M、N．若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则ÐABC的度上（不与O重合连结AB，下列说法错误的是()79．如图，△ABC的周长为27，ÐABC和ÐACB的平分线相交于点F，过点F作DEⅡBC交AB于点D，交AC于点E，若BC=8，BF=6，CF=4，那么△ADE的周长是()80．如图，ΔABC和ΔCDE都是等边三角形且点A，C，E在一条直线上，AD，BE相交于点O，AD与BC相交于点F，BE与DC相交于点G，连接OC，则①AD=BE；@81．如图，在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半N两点，连接MN分别交AB、BC于点D、E，连接AE．下列说法正确的是()是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，83．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD沿BD折叠，点C落在AB上的点E处，若上A=24°,则ÐADE的度数．84．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，AC平分ÐBAD，若DC=4，则AD86．如图，△ABC,AB=AC=10,BC=8，AD平分上BAC交BC于点D，E是AD的垂直平分线与AC的交点，连接DE，则△CDE的周长为．87．如图，在Rt△ABC中，上ACB=90°88．如图，在Rt△ABC中，上BAC=90°,分别以点C，B为圆心，以大于BC为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交AB,CB于点D，E，连接CD,AE相交于点P．若上B=23°,则ÐAPC的大小为．89．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高线，CE为AB边上的中线，AD，CE交于点③若AB=AC，则S△BEF=S△BDF；F分别是边BC，AC上的动点，连接AD，BD，DE，DF，EF．若△ABD的面积为2，则P按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则P10Q9的长为．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的__________，射线AE是ÐDAC的__________；95．如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M，AE=BF，(1)求证：MF=ME；97．如图．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，ÐACB=ÐADB，点F(1)求证：△ABC≌△AFD；(2)若BE=FE，求证：AC丄BD．），为一边作上MDN=90°,另一条直角边DN与边AC交于点F，连接EF．(2)若△ABC的面积为10，四边形AEDF的面积是否会随着点E的位置不同而发生变化？若不会发生变化，请直接写出四边形AEDF的面积；若会发生变化，请说明理由．(2)若点D在AB边上，证明CEⅡAB；(3)在（2）的条件下，若BC与DE交于点F，30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在Rt△ABC中，上C=90°,【深入探究】P从点B出发，沿线段BA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作PE丄BC当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类：费马(PierredeFermat，1601—1665)提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马下面来探究当点A、B、C不共线时的情况：我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以△ABC的边AB、BC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形BCE，此时CD和AE交于一点P，点P就是所求的费马点．①请找出图中与AE相等的线段，并说明理由；@为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接BP．上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能BE．求证：△ABC是等边BE．求证：△ABC是等边三:AB=AD，上BAC=上DA角求出底角的度数，用三角形的内角和定理:这个等腰三角形的顶角为50°或80°.根据三角形内角和为180°,可得:底角为50°+15°=65°.【详解】令EC和BD的交点为O．QBD,CE都是△ABC的角平分线:△ABD≌△ACE(ASA):BD=CE:△BCE≌△CBD(AAS):BE=DC:△EOB≌△DOC(AAS):BP=PC，:BD=PC=CE=BP，在△BPD和△CPE中，:△BPD≌△CPE(SAS)，:PD=PE；:上BPD=上CPE，QBD=BP，:上B=44°,:△ABC≌△ADE(SAS)；（2）解：Q△ABC≌△ADE，:上ACE=上AEC，AD平分7BAC，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点【详解】解：∵AB=AC，AD是BC:上ABC=27ABE=52°,AD，AP，由AB=AC，点D是BC边的中点，则ADTBC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，【详解】解：连接AD，AP，:ADTBC，:AD=6，:EF是线段AC的垂直平分线，:点C关于直线EF的对称点为点A，:当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值，:△CDP的周长最短形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长AP交BC于E，根据已知S△ACP△ECP，推出S△△ABC．【详解】解：延长AP交BC于E，QBP平分7ABC，:上ABP=上EBP，在△ABP和△EBP中，:△ABP≌△EBP(ASA)，:AP=PE，:S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，故选：C．等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可②如图，AD是△ABC的中线，且AB>AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接EC，:BD=CD，:EC=AB，的关系，根据等腰三角形的判定，可得BE与EO，CF与FO的关系．本题考查了等腰三角:BE=EO，CF=FO，即△BEO，△CFO都为等腰三角形．:AB=AC，且上AEF=上A:△ABC，△AEF都为等腰三角形．:OB=OC，即△BOC是等腰三角形．14．上DBM；两直线平行，内错角相等；上DBM；等角对等边；EM；14得到DB=DM，同理可得EC=EM，再根据三角形周长计算公式求解即可．【详解】解：QBM平分ÐABC，:上CBM=上DBM．QDEⅡBC，:上BMD=∠DBM．:DB=DM（等角对等边同理可得EC=EM．:△ADE周长=AD+DE+AE【详解】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，:DEⅡ∵BF平分ÐABC，:AC=6m．:上CAD=上ADE，:AE=DE，:△AED是等腰三角形；:上CAD=35°QEF垂直平分AC:FA=FC,ÐFEC=90°:ÐCAD=ÐFCE=35°,:上AFG=上BAFQAD是△ABC的角平分线:ÐBAF=ÐFAG:AG=FG，:FC=6:AG+CG=10:FG+CG=10【详解】解：∵点A的坐标为(-2,4)，ïï【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质．数，继而求得ÐADC的度数，则可判定△ACD是等腰三角形，继而求得答案．【详解】∵DE垂直平分BC，:DB=DC，:△ABD是等腰直角三角形，:AD=BD，ïï:△ADF≌△BDC(ASA)，:DF=CD，定可得DF=DB,EF=EC，由此即可得．QEFⅡAB，DFⅡAC，:DF=DB,EF=EC，:EC=EB，:EC=EB，【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，:上ABC=2ÐABE=52°,ÐA，利用垂直平分线性质及等腰三角形的判定与性质即可得到答案，熟记相关几何性质，(2)ÐDAE的度数是40°又BC=8，（2）解：:ÐBAC=110°,:ÐBAD+ÐEAC=70°,最后根据三角形内角和定理计算即可求解，掌握故选：C．识点，证明Rt△BDF≥Rt△ADC是解题的关键．由AD丄BC于点D，可以得到△BDF和△ADC是直角三角形，根据直角三角形的判定“HL”，可以证明Rt△BDF≥Rt△ADC,得到在Rt△BDF和Rt△ADC中ílDFìílDF:EFⅡBC，:D为BC的中点，:EFⅡBC，:AE=AF；:BD平分ÐABC，ïï:△BEH≌△CEA(ASA)，:BH=AC；（2）解：:EF垂直平分BC，【详解】证明：过点D作DG∥AE于点G，:△GDF≌△CEF(ASA)，:DG=CE又:BD=CE，:BD=DG，:DG∥AE，:AB=AC，:△ABC是等腰三角形．321）△AFD≌△CGD，见解析2）BD丄FC，见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，在△AFD利△CGD中，所以△AFD≌△CGD(ASA)．所以AF=CG，ïï角形的性质与判定定理和等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键:CF=AF-AC=3．:CD=CE．:△CDE是等腰三角形．:上ADE=上CFD，:AF=AD=5，:CF=AF-AC=3．性质，根据等腰三角形的性质得出BD=DC，AD丄BC，AD平分上BAC，再利用全等三【详解】证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，ïìAB=ACï(4)67.5°或45°种情况讨论：当AB=AD时，当AB=BD时，当BD=AD时，结合等腰三角:CD=DE，:△CDE是等腰三角形．:ADPCE；:EF=CF；∵ADⅡEC，∵AD=DF，:ÐB=90°（不合题意，舍去故答案为：67.5°或45°.△ACM≌△AEN(AAS)，根据全等三角形的性质得到CM=EN，根据三角形的面积公式:△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，:AD=AB，AE=AC，:△DAC≌△BAE(SAS)，:BE=CD；（2）证明：如图，过点E作EN丄AD，交DA的延长线于点N，:△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，:AB=AD，AC=AE，:上BAC=上EAN，在△ACM和△AEN中，:△ACM≌△AEN(AAS)，:CM=EN，:S△ABC=SΔADE．（1）作射线BE，在射线BE上截取线段BC，使得BC=a，作线段BC的垂直平分线ET，垂足为E，在射线ET上截取线段EA，使得EA=b，连接AB，AC，△ABC即为所求；:Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)，:AB=AC，:△ABC是等腰三角形．(2)B；AB（2）根据等腰三角形的等腰可得AB=BC，则以点B为圆心，以AB（3）作线段AB的垂直平分线，线段AB的垂直平分线与小正方形顶点的交点（A点除外）（4）作出（123）的图形即可得到答案．:AB=BC，:以点B为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的∵CD,BE分别为边AB,AC上的高线，:△BOC为等腰三角形．401）见解析2）70°或20°:∠ACB=∠ABC（180°-40°)=70°.【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨【详解】解：:△ABC是等边三角形，且AD是BC边上的中线，:AD=AE，△ABD≌△CBD；:AB=CB，又∵BD=BD，:△ABD≌△CBD．又QAB=AC，【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质．连接BE，交AD于点F，连接BP，根据等边三角形的性质得出AD是BC的垂直平分线，证明PB=PC，得出得出当点P在点F处时，EP+CP的最小值，且最小值为BE的长，【详解】解：连接BE，交AD于点F，连接BP，如图所示：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，:AD是BC的垂直平分线，:PB=PC，∵当B，P，E三点共线时，BP+PE最小，E:当点P在点F处时，EP+CP的最小值，且最小值为BE的长，:BE丄AC，:BE=AD=9，先根据SAS证明△BCE≌△CAD，再由三:△ABD≌△BCE(SAS)；C、等腰三角形的底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相(2)△ABE是等边三角形，见解析结合AE=AB，即可证明．:7ABC=7DEA=90°,:Rt△AED≌Rt△ABD(HL)，:上EAD=上BAD，:PE=PB，:AP平分BE，即AD平分BE．:上DEC=90°,:上C=30°,:上CAB=60°,D．逆命题为：等边三角形的三个角都是60°,成立，不符合题意．【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，则可证明AD=AF，据此可证明结论．:AD=AF．又:ÐDAB=60°,:△ADF是等边三角形．:△OAB是等边三角形质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理AE=AB-BE=AC-BE即可．又:AD=AB，:△ABD是等边三角形．（2）证明：:△ABD是等边三角形，:BE=AF，:BE=1，:AC=4，AB=AC，:AE=AB-BE=AC-BE=3．可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【详解】解：如图所示：连接AC．Q点B在点A的南偏西43°方向，点C在点B的北偏西17°方向，:上CBA=60°.:ΔABC为等边三角形．【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定及性质551）见解析2）AB+BC=BD，见解析（1）延长BA到点N，得BN=BC，连接DN，先证明△NBD≌△CBD，得到上BND=上C，为等边三角形，再证明△PAC≌△BAD，可得PC=BD，即【详解】解1）延长BA到点N，得BN=BC，连接DN，QBD平分ÐABC，ïï:DN=DA，:DA=DC；:△ADC是等边三角形，:△ABP为等边三角形，:△PAC≌△BAD(SAS)，:PC=BD，:AB+BC=BD．561）见解析2）AB+AC=CD，见解析3）18 :上AED=2上B，:BE=AE=5，证明：如图，在AF上截取AG=AC，连接DG，:上B=上BDG，:BG=DG，:AB+AC=CD；（3）解：①如图，在AB上截取AH=AD，连接CH，QAC平分ÐBAD，:CB=CH，:上B=60°,:BC=CH=10，:△BCH为等边三角形，:BH=10，:△ABC≌△ADE(SAS)；:△ACE是等边三角形．:上ACE=60°.【详解】解：如图，连接AB,AC,BC，:△ABC为等边三角形，（1）根据全等三角形的性质可得CO=CD，∠OCD=60°:△BOC≌△ADC，:△OCD是等边三角形．:△COD是等边三角形，:∠AOD=∠AOC-∠COD=190°-a，∠ODA=∠ADC-∠CDO=a-60°,:190°-a+2(a-60°)=180°,:FA=FB，:△ABF是等边三角形，:△ABF的周长为3AB=3BC=3；::FA=FB，:FA=FB，:a=180°-a:此情形不存在，∠APQ=∠BCQ=60°,据此可证明结论．:△ACE≌△BCD(SAS)；:∠APQ=∠BCQ=60°,又∵FP=AP，:△AFP是等边三角形．本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以:OB=OA，:△APO≌△BQO(SAS)；:ÐA=60°,:△APO为等边三角形能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关（1）等边三角形的性质推出ÐDCB=30°,垂直，进而得到AE=CE,上AEC=120°,根据AB=CB，推出BE垂直平分AC，进而得到:上BCE=90°,:上DCE=上BCE-上DCB=60°.（2）由平移可知：CDⅡEF，:上EAC=上DCA=30°,:上EAC=上ECA，又QAB=CB，:BE垂直平分AC，:上EGC=60°,:△CEG是等边三角形．（2）理解题意，结合上下已有的过程，先结合等边三角形的性质得出AP平分ÐABD以及进行角的等量代换得ÐBMN=ÐPAM，再证明△APM≌△MBN，然后进行角的整理，得ÐAMN=ÐANM=ÐNAM=60°,即可作答．【详解】解：[提出问题]:根据所测的数据得出AM=NM:△AMN是等边三角形；在CA边上截取CP=CM，连接PM．:上ABD=120°:AC-CP=BC-CM:AP=BM．QBE平分ÐABD:ÐNBM=120°:ÐCMP=ÐCPM=60°:ÐAPM=ÐNBM:ÐBMN=ÐPAM．在△APM和△MBN中，:△APM≌△MBN:AM=MN．:上MAN=上ANMQÐAMN+ÐANM+ÐNAM=180°:ÐAMN=ÐANM=ÐNAM=60°:△AMN是等边三角形．（3）在CD上截取CH=CE，证明△DEH≌△FEC，得到DH=∵AB-BE<AE<AB+BE，∵AE=2AD，:CE=AB，:CG=CE，:AF=FE；拓展提升：在CD上截取CH=CE，:△ABC为等边三角形，:△CEH为等边三角形，:等边△DEF，:△DEH≌△FEC(SAS)，:DH=FC，角形的性质，根据三角形内角和定理求出上B=70°,根再结合DETAC根据三角形内角和定理求出上CDE=7:CD为AB边上的中线，:CD=AD=BD，:DETAC，:MD=MB；:MN丄BD．形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵在Rt△ABC中，E是AB的中点，AB=8，:△ACE是等边三角形，【详解】解：如图所示，连接DE，CE，:DF=DE，CF=CE，:△FDC为等边三角形．情况，①点F在线段AH上时，证明Rt△OHF≌Rt△OGD，得FH=DG=1，则AF=AH-FH=1；②点F在线段CH上时，同理可证Rt△OHF≌Rt△OGD，得:点O为BC中点，:OE=OD；①点F在线段AH上时，在Rt△OHF和Rt△OGD中，:Rt△OHF≌Rt△OGD(HL)，:AF=AH-FH=1；②点F在线段CH上时，质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的（2）延长MP交NC于点F，方法同（1）证明即可．:BMⅡCN，:点P为BC边中点，:PB=PC，:△BPM≌△CPE(ASA)；②由①得△BPM≌△CPE(ASA)，:PE=PM，:PM=PN=PE．延长MP交NC于点F，如图所示，:BMⅡFN，:点P为BC边中点，:PB=PC，:△BPM≌△CPF(ASA)；:PF=PM，:PM=PN．【详解】A．两个等边三角形全等：错误．等边三角形对应边相等且每个角均为60°,但若C：外角130°对应内角为50°,与它不相邻的内角为50°,根据三角形外角的性质，另一不个端点的距离相等等知识点，由题意得直线DE是AC的垂直平分线，推出FA=FC，【详解】解：由尺规作图知，直线DE是:FA=FC，:上BAF=上FAC-上BAC=12°.直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到ÐMAP=ÐMPA,ÐCPN=ÐPCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得ÐBMÐBMN+ÐBNM=132°,根据三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：:M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，:AM=PM，PN=CN，:ÐMAP=ÐMPA,ÐCPN=ÐPCN，:ÐBMN=2ÐMPA,ÐBNM=2ÐCPN，:ÐBMN+ÐBNM=2(ÐMPA+ÐCPN)=2(180°-上APC)=132°,:上ABC=180°-(ÐBMN+ÐBNM)=48°,质等知识，结合题意，作出图形，由中垂线的判定与性质确定A:OP是等腰△APB的角平分线，【详解】解：∵BF平分ÐABC，:BD=DF，故选：B．理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形:AD=BE，故①正确；:ÐAOB=ÐACB=60°,故②正确；:ΔACF@ΔBCG(ASA)，:AF=BG，故@正确；过点C分别作CM丄AD，CN丄BE于点M:ΔACM@ΔBCN(AAS)，:CM=CN，\OC平分7AOE，【详解】解：由作法可知，MN垂直平分AB，:AE=BE，AD=AB，QVACE的周长为8，:AB=2AD=10，:点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE丄OF，:ÐBOC不一定等于ÐAOB，故②错误，:点E，F分别是底边AB，CD的中点，:将△BCD沿BD折叠，点C落在AB上的点E处，故答案为：54°.【详解】解：:AB∥CD:AC平分ÐBAD，【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平:AB∥CD，DE=AE，进而问题可求解．∵点E为AD的垂直平分线与AC的交点，:DE=AE，故答案为：40°.【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知AD=BD，【详解】解：由作图可知MN是BC的垂直平分线，:CD=BD，:上CAP=90°-上BAE=90°-23°=67°,:上ACD=上ACB-上DCB=67°-23°=44°,:上APC=180°-上ACP-上PAC=180°-4故答案为：69°.:CE为AB边上的中线，:AD为BC边上的高线，且三角形的三条高线交于一点，:AD为BC边上的高线，CE为AB边上的中线，若AB=AC，:AD为BC边上的高线，:AD为BC边上的中线，:CE为AB边上的中线，:SBCE=1SABC,SBEF=:S△BCE=S△ABD，:S△BCE-S四边形BDFE=S△ABD-S四边形BDFE，:S△AEF=S△CDF，: