2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【02-暑假预习】素养拓展03 直线与圆中的距离最值（范围）问题（5知识点+7大题型+思维导图+过关检测）（教师版）

素养拓展03直线与圆中的距离最值（范围）问题

知识点01：常用距离公式

、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：22．

1P1x1,y1P2x2,y2P1P2x1x2y1y2

AxByC

、点到直线的距离公式：点到直线的距离00．

2Px0,y0l:AxByC0d

A2B2

、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距

3l1:AxByC10l2:AxByC20C1C2

CC

离为：d12．

A2B2

知识点02：三点共线最值问题

1、点、在直线同侧，点在直线上，则(当点、、共线时取到)，点是点关

于直线�的�对称点.�����+��𝑚�=��'���'�'�

�

2、点、在直线同侧，点在直线上，则(当点、、共线时取到).

�����|��−��|𝑚�=�����

3、点、在直线异侧，点在直线上，则(当点、、共线时取到)，点是点关于

直线的�对�称点.���|��−��|𝑚�=��'����'�

�

1

知识点03：点与圆的位置关系最值（范围）问题

1、若点在圆内，则，；

���𝑚�=��1=�−����𝑚�=��2=�+��

2、若点在圆外，则，；

���𝑚�=��1=��−���𝑚�=��2=�+��

3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值

若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离，

为圆半径�，则⊙��，�𝑃�.���

𝑃𝑚�=�1�=�−�𝑃𝑚�=�2�=�+�

知识点04：代数式的几何意义最值（范围）问题

yb

1、形如y，可以转化为过点(x,y)和点(a,b)的动直线斜率；

xa

2、形如z(xa)2(yb)2，可以转化为点(x,y)和点(a,b)的距离的平方；

3、形如zaxby，可以转化为动直线纵截距

知识点05：直线与圆的位置关系最值（范围）问题

设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直

22

的弦弦长为2r|CM|.

一、单选题

1．（24-25高二下·浙江·月考）若P为圆x2y24内的一个动点，且A2,0,B2,0，则PAPB的最小

2

值为（）

A．2B．22C．42D．4

【答案】D

【分析】根两点之间线段最短可得线段和的最小值.

【详解】由题意知AB为圆的直径，根据两点之间线段最短，

PAPBAB4,PAPB的最小值为4

故选:D.

2．（2025·北京·三模）经过点0,0，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线xy20的距离最大值为

（）

A．2B．22

C．22D．32

【答案】B

【分析】先确定圆心A的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心A到直线xy20的距离最大

值.

【详解】已知圆经过点(0,0)，半径为2，设圆心A的坐标为(x,y)，

可得圆心A到点(0,0)的距离为2，

即(x0)2(y0)22，化简可得x2y24，

所以圆心A的轨迹是以原点(0,0)为圆心，2为半径的圆.

002

d2

可得原点(0,0)到直线xy20的距离为：02，

121

所以点A到直线xy20的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即dmax=22.

故选：B.

二、填空题

3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线l:2xy20上运动，且MN25，点P在圆

2

C:x4y25上，则PMN的面积的最大值为．

【答案】15

【分析】设圆心C到直线l:2xy20的距离为d，P到直线l的距离为d1，当d1最大时，则d1d5，

最后由三角形的面积公式即可求解.

【详解】设圆心C到直线l:2xy20的距离为d，P到直线l的距离为d1，

82

又圆心坐标为C4,0，所以d25，

5

3

又半径为5，则当d1最大时，d1d525535，

1

此时PMN的面积也最大，最大值为253515．

2

故答案为：15.

4．（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆C:x2y22y30上两点，且|MN|23，

点P在直线3xy50上，点Q为线段MN中点，则PQ的最小值为

【答案】2

【分析】根据题意可得Q在以C0,1为圆心，1为半径的圆上，求PQ的最小值，转化为求PC的最小值

即可.

2

【详解】由题意，圆C:x2y22y30可化为x2y14,

∴圆C是以0,1为圆心，半径r2的圆，

∵|MN|23，点Q为线段MN中点，

2

2MN

∴|CQ|r1，

2

即Q在以C0,1为圆心，1为半径的圆上，

∴求PQ的最小值，转化为求PC的最小值，

015

∵圆心C0,1到直线距离d3，

2

∴，

PCmin3

∴，

PQmin312

故答案为：2.

5．（23-24高二上·重庆·期中）已知Pm,n在直线3x4y150上，则m2n2的最小值为．

【答案】3

【分析】根据m2n2，即表示直线3x4y150上的点P到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即

可得结果.

【详解】因为m2n2表示点P到原点0,0的距离，而点P在直线3x4y150上，

304015

所以m2n2的最小值即为原点0,0到直线3x4y150的距离，d3.

3242

所以m2n2的最小值为3.

故答案为：3.

22

6．（24-25高二下·上海·期中）已知Px0,y0为圆x1y24上一动点，则4x03y0的最大值

为．

4

【答案】8

22

【分析】设4x03y0t，由题意直线4x3yt与圆x1y24有公共点，通过圆心到直线的距离

与半径的关系可以求解.

【详解】设4x03y0t，则Px0,y0在直线4x3yt上，

22

又因为Px0,y0在圆x1y24上，

22

所以直线4x3yt与圆x1y24有公共点，

2t

所以圆心1,2到直线4x3yt的距离d2，解得12t8.

5

所以4x03y0的最大值为8.

故答案为：8.

一、单选题

1

1．（24-25高二上·四川绵阳·期末）x,yR，函数fx,y(x1)2(y4)23x4y5的最小值为

5

（）

121416

A．2B．C．D．

555

【答案】C

【分析】根据距离公式，利用fx,y的几何意义求最小值.

22

【详解】x1y4表示的几何意义为平面内的点Px,y到定点A1,4的距离，

3x4y5

表示的几何意义为平面内的点Px,y到定直线3x4y50的距离，

5

所以fx,y表示的几何意义是动点Px,y到定点A1,4和到定直线3x4y50的距离和，

如图，过点A作直线3x4y50的垂线，垂足为点B，当点P在线段AB时，fx,y最小，最小值为

316514

AB.

55

故选：C

5

二、填空题

2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数x,y满足x2y21，则(x1)2(y1)2的最大值是．

【答案】21/12

【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.

【详解】设点P(x,y)，由实数x,y满足x2y21可得：

点P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，

设点A(1,1)，则(x1)2(y1)2的几何意义为动点P到定点A(1,1)的距离AP，

22

由121221，则点A在圆xy1外，

结合图形可知，

APmaxOA121.

(x1)2(y1)2的最大值是21.

故答案为：21.

3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线l1：xmy20与直线l2：mxy20交于点Q，m是实数，O

为坐标原点，则OQ的最大值是．

【答案】22

【分析】利用两点间距离公式求出OQ，再分析得到最值即可.

22m，22m

【详解】因为l1：xmy20与直线l2：mxy20的交点坐标为Q，

1m21m2

222

22m22m81m22

所以OQ222，

1m1m1m21m2

若OQ最大，则1m2最小，则1m2最小，

而2，当且仅当时取等，此时，

1m1m0OQmax22

所以OQ的最大值是22．

故答案为：22

4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知0x2，0y2，则

2222

x2y2x22y2xy22x2y的最小值为.

6

【答案】42

【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解.

2222

【详解】x2y2x22y2xy22x2y

222222

x0y0x2y2x2y2x2y2.

记点O0,0、点A2,0、点B2,2和点C2,0，

因为0x2，0y2，

2222

所以x2y2x22y2xy22x2y的几何意义为：表示正方形OABC内的点

Px,y到点O、点A、点B和点C四点的距离之和.

222222

因为x2y22x2yx0y0x2y2的几何意义为：正方形OABC内

的点P到点O和点B的距离之和.

所以当点P在线段OB（不包含点O和点B）上时，点P到点O和点B的距离之和最小，即

2222

x2y22x2y取得最小值，为OB202022.

2222

因为x22y2xy2x2y2x2y2的几何意义为：正方形OABC内的点P到

点A和点C的距离之和.

所以当点P在线段AC（不包含点A和点C）上时，点P到点A和点C的距离之和最小，即

2222

x22y2xy2取得最小值，为AC022022.

2222

综上可得：当点P是线段AC与OB的交点时，x2y22x2y和x22y2xy2

同时取得最小值，均为22.

2222

所以x2y2x22y2xy22x2y的最小值为42.

故答案为：42.

一、单选题

7

1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知P,Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则PQ的

最小值为（）

33

A．3B．C．D．3

22

【答案】B

【分析】由题意可得|PQ|的最小值即为两平行直线3x4y50与6x8y50的距离，代公式计算可得．

【详解】38460，

直线3x4y50与6x8y50平行，

|PQ|的最小值，即为两平行直线3x4y50与6x8y50的距离，

化直线方程3x4y50为6x8y100，

1053

由平行线间的距离公式可得d

62822

故选：B．

2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知A，B两点的坐标分别为1,0，1,2，若两平行直线l1，l2分别

过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（）

A．1B．2C．2D．22

【答案】D

【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析l1，l2间的距离

的最大值为AB，即可求得.

【详解】解：由题可知A(1,0)，B1,2，如图，两平行直线l1，l2分别过点A，B，

∥

因为l1l2，所以l1，l2间的距离即点A到直线l2的距离d，由图可知，dAB

当l1，l2垂直AB时，l1，l2间的距离取最大值，即最大值为AB，

又由两点间的距离公式可知，AB(11)22222.

故选：D．

3．（24-25高二下·上海·月考）已知实数a,b,c,d满足3a4b30，3c4d70，则(ac)2(bd)2

的最小值为（）

8

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，a,b是直线3x4y30上的点，

c,d是直线3x4y70上的点，则两直线平行，

(ac)2(bd)2的最小值是平行直线之间的距离的平方，

2

37

可得最小值为4.

22

34

故选：D

二、填空题

4．（23-24高二上·云南临沧·月考）设mR，已知直线l1:m2x2my2m0，过点3,4作直线l2，

且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是.

【答案】5

【分析】求出直线l1恒过点1,1，从而得到两平行线的最大距离为点1,1与点3,4的距离，得到答案.

【详解】由于直线l1:m2x2my2m0，整理得：x2y1m2x20，

x2y10x1

故，解得，

2x20y1

即直线l1恒过点1,1，则过点3,4作直线l2，

且l1∥l2，则最大距离为点1,1与点3,4的距离，

即d(31)2(41)25.

故答案为：5

三、解答题

0,5

5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线l1与l2分别过点P11,0与点P2，l1、l2之间的距

离为d，求d的最大值，并指出此时l1、l2的方程．

【答案】d的最大值为26，此时l1:x5y10，l2:x5y250.

【分析】由两直线平行且过定点，可知dP1P2，根据取等时直线l1、l2与直线P1P2的位置关系可得直线方

程.

0,5

【详解】因为两条平行直线l1与l2分别过点P11,0与点P2，

所以两平行线间的距离dP1P212526，

9

当且仅当直线l1、l2均与直线P1P2垂直时等号成立，

501

此时k5，所以kk，

P1P201l1l25

1

所以l:yx1，也即x5y10；

15

1

l:yx5，也即x5y250.

25

一、单选题

1．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏

饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置

为B(2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为xy2，则“将军饮马”的最短总

路程为（）

A．29B．5C．17D．15

【答案】C

【分析】作点A(1,0)关于直线xy2的对称点为Px,y，则最短路程为BP.根据点关于

直线的对称问题，列方程组，可求得P2,1，再应用两点间的距离公式求BP即可.

【详解】如图，作点A(1,0)关于直线xy2的对称点为Px,y，

1xy

2

22x2

则，解得，

y0y1

11

x1

所以P2,1.

22

则“将军饮马”的最短总路程为BP221017.

故选：C.

2．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点A1,5,B2,10，直线l:yx1，在直线l上找一点P使得

10

PAPB最小，则这个最小值为（）

A．34B．8C．9D．10

【答案】D

【分析】利用对称求A关于直线l对称点为A(m,n)，结合将军饮马模型求PAPB最小值.

n5

1

m1m4

【详解】令A关于直线l对称点为A(m,n)，则，可得，

n5m1n2

1

22

由|PA||PA|，则PAPBPAPBAB(42)2(210)210，

当且仅当B,P,A共线时取等号，故PAPB最小值为10.

故选：D

3．（24-25高二上·河南·月考）已知A0,3，B4,1，点P是直线l:xy20上的一点，则当PAPB

取得最小值时，点P的坐标为（）

13314251

A．,B．,C．,D．,

22223333

【答案】B

【分析】求出点A关于直线l的对称点A，则P为直线AB与直线l的交点时，满足条件，进而可求得答案.

【详解】设点A0,3关于直线l的对称点为Aa,b，

ab3ab3

则AA中点C,在直线l:xy20上，即20①，

2222

b3

直线AA与直线l垂直，即kk11②，

AAla

解得a1,b2，即点A0,3关于直线l的对称点为A1,2，

213

又B4,1，所以k，

AB145

3

所以直线AB的方程为y1x4，即3x5y70，

5

11

3x5y7031

由，解得x，y，

xy2022

31

所以当PAPB取得最小值时，点P的坐标为,．

22

故选：B．

2222，、

4．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆C1:x3y21，圆C2:x6y54MN分

别是圆C1、C2上的动点，P为y轴上的动点，则PMPN的最小值为（）

A．32B．1C．3103D．55

【答案】C

【分析】作出圆C1关于y轴对称的圆C0，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值.

【详解】圆C1的圆心C1(3,2)，半径r11，圆C2的圆心C2(6,5)，半径r22，

22

作圆C1关于y轴对称的圆C0:(x3)(y2)1，其圆心C0(3,2)

因此|PM||PN||PC1|1|PC2|2|PC0||PC2|3|C0C2|33103，

当且仅当P是线段C0C2与y轴的交点时取等号，

所以PMPN的最小值为3103.

故选：C

2

5．（2025·辽宁·三模）函数fxxx28x25（0x4）的最小值（）

2

7273

A．4B．C．5D．

23

【答案】B

【分析】当0x4时，将函数转化为直线y3上点P到直线xy30的距离与到点A(4,0)的距离之和，

作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可.

2x

【详解】当0x4时，fxxx28x25(x4)2(30)2，(x4)2(30)2可视为

22

xx33

A(4,0)与P(x,3)两点间的距离，则P是直线y3上的动点，，可视为点P(x,3)到直线

22

xy30的距离，设xy30与y轴交于点C(0,3)，过点P作PBCB，垂足为B，画出示意图如下：

12

则待求为PBAP的最小值，当A,P,B三点共线，且APCB时，点A到直线xy30的距离为所求的

4372

最小值，此时，d.

22

故选：B.

6．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知动点P在直线l:xy10上，点O是坐标原点，点Q是圆

(x3)2(y1)21上的动点，则PQPO的最大值为（）

5

A．2B．C．3D．4

2

【答案】C

【分析】求出点C关于直线l的对称点C，把|PQ|的最大值转化为点P到圆心距离加半径，再求出到两个

定点距离差的最大值即可作答.

【详解】点P在直线l:xy10上，

22

圆(x3)(y1)1的圆心C(3,1)，半径r1，而点Q在圆C上，则|PQ|maxPCr，

因此(PQPO)maxr(PCPO)max，令点C关于直线l对称点C(a,b)，PCPC，

b1

1

a3

则有，解得a0,b2，即C(0,2)，

a3b1

10

22

因此PCPOPCPOOC2，当且仅当点P,O,C共线，且点O在线段PC上时取等号，

x0x0

直线OC方程为x0，由，解得，即直线x0与直线l交于点P(0,1)，

yx1y1

13

所以当点P与P重合时，(PCPO)max2，(PQPO)max123.

故选：C

一、单选题

1．（24-25高二下·浙江·月考）若P为圆x2y24内的一个动点，且A2,0,B2,0，则PAPB的最小

值为（）

A．2B．22C．42D．4

【答案】D

【分析】根两点之间线段最短可得线段和的最小值.

【详解】由题意知AB为圆的直径，根据两点之间线段最短，

PAPBAB4,PAPB的最小值为4

故选:D.

2．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点Px,y满足y4xx2，点A2,3，则PA的最大值为（）

A．3B．25C．35D．6

【答案】C

【分析】根据函数解析式，分析出点P的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度.

【详解】

因为y4xx2，变形得(x2)2y24(y0)，所以P轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆的上半部分，

如图所示，则当P与点(4,0)重合时线段PA长度最大，

可知当P与点(4,0)重合时，AQ2,PQ6,在△PQA中根据勾股定理可知PA93635.

故选：C.

3．（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(2,2)，若点P为圆C:x2y21

上的动点，则|ABAP|的最大值为（）

A．3B．13C．5D．221

【答案】D

22

【分析】设P(x,y)为圆C:x2y21上任意一点，利用向量的坐标运算得|ABAP|x2y2，进

14

22

而利用x2y2的几何意义可求得|ABAP|的最大值.

【详解】设P(x,y)为圆C:x2y21上任意一点，

因为A(2,0)，B(2,2)，所以AB(0,2)，AP(x2,y)，

22

所以ABAP(x2,y2)，所以|ABAP|x2y2，

22

x2y2表示点P(x,y)到点D(2,2)的距离，

22

又C:x2y21的圆心C0,0到点D(2,2)的距离为d020222，

又圆C:x2y21的半径为r1，

所以P(x,y)到点D(2,2)的距离的最大值为dr221，

所以|ABAP|的最大值为221.

故选：D.

二、填空题

4．（23-24高二上·广东东莞·月考）已知A6,8与圆(x3)2(y4)24上的动点B，则A,B两点间距离的

取值范围是.

【答案】3,7

【分析】根据点点距离即可求解.A6,8到圆心3,4的距离,进而结合圆的半径即可求解.

【详解】由于点A6,8在圆(x3)2(y4)24外，

22

所以A6,8到圆心3,4的距离为63845，

而圆的半径为r2，所以5rAB5r，

故AB3,7,

故答案为：3,7

22

5．（24-25高二下·浙江·期中）已知圆C:x1y21，点A7,6，B为圆C上的动点，Q为x轴上

的动点，则QAQB的最小值为．

【答案】9

【分析】作出点A关于x轴的对称点为A7,6，由圆的几何性质可得出QAQBQAQBCAr，

即可得解.

【详解】如下图所示：

15

点A关于x轴的对称点为A7,6，圆C的圆心为C1,2，半径为r1，

由于Q为x轴上的动点，由对称性知QAQA，

22

所以QAQBQAQBCAr716219，

当且仅当B、Q分别为线段AC与圆C、x轴的交点时，等号成立，

因此，QAQB的最小值为9.

故答案为：9.

一、单选题

1．（24-25高二下·四川南充·月考）记HP,表示点P到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆

22，圆22，若点为圆上的一点，则的最大值为（）

O1:x(y3)1O2:(x4)y4MO1HM,O2

A．4B．5C．8D．3

【答案】A

【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得.

22

【详解】由圆O1:x(y3)1，得圆心O10,3，半径r11，

由圆22，得圆心，半径，

O2:(x4)y4O24,0r22

因为O1O25r1r2，所以两圆外离，

因为点M为圆O1上的动点，所以HM,O2MO2r2，

所以HM,O2的最大值为O1O2r1r25124.

故选：A.

2．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线l:(3a2)xay20（其中a为常数），圆

C:x22xy22y230，则直线l被圆C截得的弦长最小值为（）

A．15B．17C．25D．21

【答案】C

【分析】确定直线l经过定点P已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线

16

l被圆C截得的最短弦长，即可得得答案．

【详解】直线l:(3a2)xay20，整理可得3xya22x，

3xy0

令，解得x1,y3，故直线l过定点P1,3，

22x0

又圆C:x22xy22y230，则圆心C1,1，半径圆r=5，

根据圆的性质，当直线l与PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，

结合PC224225，可得直线被圆截得的最短弦长等于2r2|PC|22252025.

故选：C.

3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆C:(x3)2(y4)28，直线l:mxym30，若直线l被圆

C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则ab（）

A．4223B．423C．2223D．223

【答案】A

【分析】先求出直线l过定点A1,3，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即

可得解.

【详解】由题意直线l可化为mx1y30，则直线过定点A1,3，

22

点A1,3代入圆C:(x3)2(y4)28可得13348，所以点A在圆C内，

22

又圆C半径r22，圆心C3,4，AC31435

所以当ACl时，直线l被圆C截得弦长最短，即b2r2AC223，

当l过圆心C时，直线l被圆C截得弦长最长，即a2r42，

所以ab4223，

故选：A

2

4．（2025·安徽·模拟预测）已知点A，B为圆x6y216上两点，AB43，点P为线段AB的中点，

点Q为直线x3y40上的动点，则PQ的最小值为（）

A．3B．4C．5D．33

【答案】A

17

【分析】先根据垂径定理得出CP2，即可得出点P的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的

距离的最小值.

2

【详解】圆x6y216的圆心坐标为C6,0，半径R4，

因为点P为线段AB的中点，AB43，

2

2

21

则CPRAB16232，

2

所以点P的轨迹是以C6,0为圆心，半径为r2的圆，

点Q在直线x3y40上，

10

可得圆心C6,0到直线x3y40的距离d5，

13

所以PQ的最小值为dr523.

故选：A

二、填空题

5．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线l:2xy20上运动，且MN25，点P在圆

2

C:x4y25上，则PMN的面积的最大值为．

【答案】15

【分析】设圆心C到直线l:2xy20的距离为d，P到直线l的距离为d1，当d1最大时，则d1d5，

最后由三角形的面积公式即可求解.

【详解】设圆心C到直线l:2xy20的距离为d，P到直线l的距离为d1，

82

又圆心坐标为C4,0，所以d25，

5

又半径为5，则当d1最大时，d1d525535，

1

此时PMN的面积也最大，最大值为253515．

2

故答案为：15.

22

6．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C：x3y41，直线2xy120上点P，过点

18

P作圆C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），则四边形PACB面积的最小值为.

【答案】19

【分析】根据勾股定理可得，即可根据面积公式即可求解

PBmin20119.

【详解】

四边形PACB的面积SCBPBPB,

6412

当CP与直线垂直时，此时CP取最小值，故最小值为25，

41

又半径，所以，则四边形面积的最小值为

r1PBmin20119PACB19.

故答案为：19

22

7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点P作圆C:x4y33的切线PQ，点Q为切点，若

PQPO（O为坐标原点），则PQ的最小值是.

11

【答案】

5

【分析】设P的坐标为m,n，由题意结合圆的切线的几何性质推出P在直线8x6y22上，继而将PQ的

最小值转化为点O到直线8x6y22的距离，即可求解.

22

【详解】根据题意，设P的坐标为m,n，圆x4y33的圆心为N，则N4,3.

222222

PQ为圆x4y33的切线，则有PNPQNQPQ3，

2222

又由PQPO，则有PNPO3，即m4n3m2n23，

变形可得：8m6n22，即P在直线8x6y