高中数学苏教版必修5学案2.2.3等差数列的前n项和（二）

2.2.3等差数列的前n项和(二)[学习目标]1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.知识点一等差数列前n项和及其最值1.前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n.2.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定.(2)因为Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.知识点二数列中an与Sn的关系对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))思考若Sn＝n2＋n，则an＝.答案2n解析n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2＝2×1，∴an＝2n.题型一已知Sn求an例1已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列.解∵Sn＝2n2＋3n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝5＝4×1＋1.∴n＝1时，适合an＝4n＋1.∴数列的通项公式是an＝4n＋1.故数列{an}是等差数列.反思与感悟(1)an与Sn的关系：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))当n＝1适合于an时，则a1可以统一到an(n≥2，n∈N*)的形式中，而不用写成分段函数形式.若n＝1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式.(2)等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列.跟踪训练1例1中，若Sn＝2n2＋3n＋1，试判断该数列是不是等差数列.解∵Sn＝2n2＋3n＋1.∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n＋1－2(n－1)2－3(n－1)－1＝4n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝6≠4×1＋1.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,4n＋1n≥2，))故数列{an}不是等差数列.题型二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.解方法一∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋eq\f(99－1,2)d＝17×25＋eq\f(1717－1,2)d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝25>0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝－2n＋27≥0，,an＋1＝－2n＋1＋27≤0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2)))又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法三∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0.∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法四设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，∴二次函数对称轴为x＝eq\f(9＋17,2)＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值169.反思与感悟(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法：①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0,an＋1≥0))来寻找.②运用二次函数求最值的方法.跟踪训练2已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋eq\f(nn－1,2)·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值.方法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤eq\f(11,2).∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值.题型三求数列{|an|}的前n项和例3已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(205,2)n，求数列{|an|}的前n项和Tn.解a1＝S1＝－eq\f(3,2)×12＋eq\f(205,2)×1＝101.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(205,2)n))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n－12＋\f(205,2)n－1))＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(205,2)n；(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)×342＋\f(205,2)×34))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(205,2)n))＝eq\f(3,2)n2－eq\f(205,2)n＋3502.故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(205,2)nn≤34且n∈N*，,\f(3,2)n2－\f(205,2)n＋3502，n≥35且n∈N*.))反思与感悟等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.跟踪训练3已知等差数列{an}中，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S2＝16，S4＝24得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋\f(2×1,2)d＝16，,4a1＋\f(4×3,2)d＝24.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝16，,2a1＋3d＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2.))所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*).①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10nn≤5且n∈N*，,n2－10n＋50n≥6且n∈N*.))已知Sn求an忽略n＝1的情况例4已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－1，则数列{an}的通项公式为an＝.错解an＝Sn－Sn－1＝(n2－1)－[(n－1)2－1]＝2n－1.答案2n－1错因分析运用an＝Sn－Sn－1求通项公式时，要求n≥2，只有验证n＝1满足通项公式后，才能用一个式子来表示，否则必须分段表示.正解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－1)－[(n－1)2－1]＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，不符合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n＝1，,2n－1，n≥2))误区警示根据前n项和Sn＝an2＋bn＋c判断{an}是不是等差数列时，只有当c＝0时是等差数列，否则不是.1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an＝.答案2n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又因a1＝1符合an＝2n－1，所以，an＝2n－1(n∈N*).2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是.答案①②解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确.又S11＝eq\f(11,2)(a1＋a11)＝11a6>0，②正确.S12＝eq\f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确.{Sn}中最大项为S6，④不正确.故正确的是①②.3.已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是.答案6或7解析由|a5|＝|a9|且d＞0得a5＜0，a9＞0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小.4.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋2)2＋t，则t的值为.答案－4解析等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴t＝－4.5.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.解当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2).又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5n＝1，,2n－1n≥2.))1.因为an＝Sn－Sn－1在n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的