1.2.1必要条件与充分条件答案

1.2.1必要条件与充分条件【学习目标】1.理解充分条件、必要条件的概念．（重点）2.能够判断命题的充分条件、必要条件。（难点）【导学流程】必要条件1.概述：一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是的必要条件．也就是说，一旦不成立，一定也不成立，即对于的成立是必要的．例如，“平面四边形的外角和是”；“若平面多边形为四边形，则它的外角和为”，所以“外角和为”是“平面多边形为四边形”的必要条件；充分条件三、充要条件四、充分条件与必要条件的判断1.若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件2.充分必要条件（1）若p⇒q且（2）若p⇏q且q⇒p（3）若p⇏q且q⇏p（4）若p⇒q且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称为充要条件【思维拓展】问题一：请问若A⊆B则答：A是B的充分条件，B是A的必要条件问题二：若A⫋B，那么A,B之间有什么条件关系？答：因为A⇒B,B⇏A，所以A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件问题三：若A=B，那么A,B之间有什么条件关系答A是B的充要条件【题型专练】判断条件1.设a,b∈R，则“a3=b3”是“3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C

【分析】本题考查了充要条件及其判断，属较易题．利用幂函数和指数函数的性质判断即可．【解答】解：根据幂函数y=x3在R上单调递增，可知

a根据指数函数y=3x在R上单调递增，可知所以a3即“a3=b2.设p：x>1，q：x2>1，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】解：若x>1，则x2>1；但由x2>1不一定得到x>1，比如x=−5．所以p是3.（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(

)A.若x，y是偶数，则x+y是偶数B.若a<2，则方程x2C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D.若ab=0，则a=0【答案】BCD

【分析】本题考察必要条件的判断，属于基础题．结合选项，逐个判断即可．【解答】解：x+y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，A不符合题意;当方程x2−2x+a=0有实根时，则有(−2)2−4a≥0⇒a≤

1，显然能推出a<2，B符合题意;因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，C符合题意;显然由a=04.“x>3”是“x>5”的

条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分

【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，是较易题．根据充分、必要条件的定义直接分析即可．【解答】解：因为x>3推不出x>5，所以x>3是x>5的不充分条件．因为x>5能推出x>3，所以x>3是x>5的必要条件．所以x>3是x>5的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．二、充分必要条件的应用1.方程ax2+x+1=0有实根的充要条件是

【答案】a≤1【分析】本题考查充要条件的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．【解答】解：当a=0时，方程为x+1=0，x=−1有实根，当a≠0时，满足a≠0,Δ=1−4a⩾0,则a≤1综上a≤12.若“x>a”的一个充分不必要条件是“x>2”，则实数a的取值范围是

．【答案】a<2

【分析】本题考查了利用充分、必要条件的定义求参数取值范围问题，需要转化为集合关系解答，属于基础题．根据“x>2”是“x>a”的充分不必要条件，得出{x|x>2}⫋{x|x>a}，即可解得a的取值范围．【解答】解：因为“x>2”是“x>a”的充分不必要条件，所以{x|x>2}⫋{x|x>a}，所以a<2，故实数a的取值范围是a<2．故答案为：a<2．3.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，m∈Z，则m取值可以是

.(填一个值即可)【答案】3(答案不唯一，m⩾3且m∈Z均可)

【分析】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．根据题意，结合“x>m且m∈Z”是“x>2”的真子集，即可求解．【解答】解：由题意，“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，m∈Z，即“x>m且m∈Z”是“x>2”的真子集，所以m取值可以是3．故答案为：3(答案不唯一，m≥3且m∈Z均可)三、充分、必要、充要条件与集合的关系1.设集合A,B是全集U的两个子集，则“A⫋B”是“(∁UA)∪B=U”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A

【分析】本题考查集合与集合的关系，并、补集的混合运算，充分条件与必要条件的判断．通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解答】解：∵若A⫋B，则(∁若(∁UA)∪B=U∴A⫋B是(∁UA)∪B=U2.已知集合A={1,a}，B={1,2,3}，则“a=3”是“A⊆B”的

(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A

【分析】先求解A⊆B的充要条件，再结合已知条件判断．本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．【解答】解：当A⊆B时，a=2或a=3.所以“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．故选：A．【当堂检测】1.

已知a∈R，则“a>1”是“1a<1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A

【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义判断即可．【解答】解：若a>1，则0<1当a=−1时，满足1a<1，但∴a>1是1a2.命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(

)A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5【答案】C

【分析】本题考查找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1,2]，即只需a≥(x2)max=4，即“∀x∈[1,2]而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．3.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=⌀”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C

【分析】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，属于中档题．通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的定义，推出结果即可．【解答】解：

由题意A⊆C，则∁UC⊆∁UA若“A∩B=⌀”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=⌀4.设集合A,B是全集U的两个子集，则“A⫋B”是“(∁UA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A

【分析】本题考查集合与集合的关系，并、补集的混合运算，充分条件与必要条件的判断．通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解答】解：∵若A⫋B，则(∁若(∁UA)∪B=U∴A⫋B是(∁UA)∪B=U5.设A，B是非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的

条件.(填“充分”或“必要”)【答案】必要

【分析】本题考查充分、必要条件的判断，属基础题．根据定义判断即可．【解答】解：由A=B⇒A∩B=A，A∩B=A⇏A=B，可知“A∩B=A”是“A=B”的必要条件．故答案为：必要．6.指出下列命题中，p是q的什么条件?(1)p:x2(2)p:a2(3)p:(x−1)2+(y−2)【答案】解：(1)p是q的必要条件．(2)p是q的充分条件．(3)p是q的充分条件．

【解析】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据题意逐项判断即可7.指出下列各题中，p是q的充分条件，还是必要条件．(1)p:x2(2)p:a2(3)p:(x−1)2+(y−2)【答案】解：

(1)因为x2=2x+1⇏x