2026版红对勾一轮复习讲与练高考数学第七章　7．4　空间直线、平面的垂直

7．4空间直线、平面的垂直1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.(2)判定定理与性质定理项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a∥b(3)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角是eq\f(π,2)；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0．②范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．平面与平面垂直(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，二面角的平面角的取值范围是[0，π]Ｗ．(2)判定定理与性质定理项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直3.空间距离(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离Ｗ．(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．4．垂直、平行关系的相互转化教材拓展1．三垂线定理若平面内的一条直线和平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理若平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)2．（人教A版必修第二册P151例3改编）已知直线a，b和平面α，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：必要性：若a∥α，则存在直线m⊂α，a∥m，由于b⊥α，m⊂α，得b⊥m，因为b⊥m，a∥m，所以b⊥a，必要性成立；充分性：如图，若平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线a，直线B1C1为直线b，满足a∥α，b⊥a，但B1C1∥平面ABCD，即b∥α，充分性不成立．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选B.3．（人教A版必修第二册P158例7改编）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(C)A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PAB解析：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.4．（人教A版必修第二册P162练习T1改编）已知直线a，b，l和平面α，则下列命题正确的是(B)A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a∥b，a⊄α，b⊄α，a∥α，则b∥αC．若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥αD．若a⊥b，a⊥α，则b∥α解析：若a∥b，a∥α，则可能b⊂α，所以A错误；若a∥b，a⊄α，b⊄α，a∥α，则b∥α，所以B正确；若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，当a∥b时，l与α不一定垂直，所以C错误；若a⊥b，a⊥α，则可能b⊂α，所以D错误．故选B.考点1直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.(1)若D是AC的中点，且DA＝DB，求证：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周长．【解】(1)证明：∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.(2)如图，延长BC至点E，使BC＝CE，连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E綉B1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE⊂平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝2eq\r(3)，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝eq\r(CE2＋C1E2)＝4，BC1＝eq\r(BE2＋C1E2)＝2eq\r(7)，∴△BCC1的周长为2＋4＋2eq\r(7)＝6＋2eq\r(7).证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α；a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；③面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．【对点训练1】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点（不与点A，B重合），AN⊥PM，N为垂足．(1)若PA＝AM＝BM＝2，Q为PB的中点，求三棱锥Q­ABM的体积；(2)求证：AN⊥平面PBM；(3)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM，又AM＝BM＝2，∴S△ABM＝eq\f(1,2)AM·BM＝2，又PA垂直于⊙O所在的平面，PA＝2，∴VP­ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·PA＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3)，∵Q为PB的中点，∴VQ­ABM＝eq\f(1,2)VP­ABM＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).(2)证明：由(1)知AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.又PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，∴AN⊥平面PBM.(3)证明：由(2)知AN⊥平面PBM，∵PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴NQ⊥PB.考点2平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝eq\r(2).求证：平面ACB1⊥平面BB1C1C.【证明】如图，连接BC1，交B1C于点D，则D为BC1，B1C的中点，连接AD.因为AC＝AB1，所以AD⊥B1C.因为侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝eq\r(2)，所以BD＝eq\r(3)，AD＝1，所以AB2＝BD2＋AD2，即AD⊥BD.因为B1C∩BD＝D，B1C，BD⊂平面BB1C1C，所以AD⊥平面BB1C1C.因为AD⊂平面ACB1，所以平面ACB1⊥平面BB1C1C.1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理．2．面面垂直性质的应用(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．【对点训练2】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD中点，所以PE⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PE⊥BC.(2)由(1)知，PE⊥平面ABCD，因为CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD.又因为AD∩PE＝E，AD，PE⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AP⊂平面PAD，所以CD⊥AP.因为PA⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD.因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.考点3垂直关系的综合应用【例3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB.(2)若E为棱BC的中点，则棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解】(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)存在，当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，EF∥PB.又EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，∴PB∥平面DEF.在菱形ABCD中，GB∥DE，又DE⊂平面DEF，GB⊄平面DEF，∴GB∥平面DEF，又PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.1．三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．【对点训练3】如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝eq\r(3)，M为AC的中点．(1)求证：平面PBC⊥平面PAB.(2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN？若存在，求eq\f(PN,PC)的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为平面PAC⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，PA⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以PA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA＝1，PC＝eq\r(3)，PA⊥AC，所以AC＝eq\r(PC2－PA2)＝eq\r(2)，又AB＝BC＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC，又PA⊥BC，PA，AB是平面PAB内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.(2)存在．过点M作MN⊥PC，垂足为N，如图，连接NB，由(1)知PA⊥平面ABC，因为MB⊂平面ABC，所以PA⊥MB，又M为AC的中点，AB＝BC＝1，所以MB⊥AC，又PA⊥MB，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以MB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以MB⊥PC，又MN⊥PC，MB，MN是平面BMN内的两条相交直线，所以PC⊥平面BMN，由已知得sin∠PCA＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(MN,MC)，又MC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(MN,\f(\r(2),2))⇒MN＝eq\f(\r(6),6)，所以CN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)))2)＝eq\f(\r(3),3)，所以PN＝PC－CN＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，所以eq\f(PN,PC)＝eq\f(2,3)，即线段PC上存在点N使得PC⊥平面BMN，且eq\f(PN,PC)＝eq\f(2,3).课时作业481．（5分）（2024·山东泰安模拟）已知两条不同的直线m，n和平面α，β，α⊥β，α∩β＝m，则n⊥β的必要不充分条件是(C)A．m∥n B．n∥αC．m⊥n D．n⊥α解析：因为α∩β＝m，所以m⊂β，当n⊥β时，由线面垂直的定义可知n⊥m；只有当m⊥n且n⊂α或n∥α时才能得到n⊥β.所以n⊥β的必要不充分条件是m⊥n.故选C.2．（5分）设l1，l2为两条不同的直线，α1，α2为两个不同的平面，下列说法正确的是(D)A．若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，则α1⊥α2B．若l1，l2与α1所成的角相等，则l1∥l2C．若α1⊥α2，l1∥α1，l2∥α2，则l1⊥l2D．若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，则l1⊥l2解析：若l1∥α1，l2∥α2，l1⊥l2，则α1，α2可能相交，也可能平行，故A错误；l1，l2与α1所成的角相等，则l1，l2可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误；若α1⊥α2，l1∥α1，l2∥α2，则l1，l2可能平行、相交或异面，故C错误；若α1⊥α2，l1⊥α1，l2⊥α2，则l1⊥l2，故D正确．故选D.3．（5分）（2024·天津卷）若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是(C)A．若m∥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m与n相交解析：若m∥α，n∥α，则m与n可能异面、平行或相交，故A，B错误；若m∥α，n⊥α，则m与n垂直，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误．故选C.4．（5分）（2024·山东济南二模）已知正方体ABCD­A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(C)A．A1D∥D1B，MN∥平面ABCDB．A1D∥D1B，MN⊥平面BB1D1DC．A1D⊥D1B，MN∥平面ABCDD．A1D⊥D1B，MN⊥平面BB1D1D解析：如图，连接AD1，由已知AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，则AB⊥A1D，又AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，排除A，B；因为M，N分别为AD1，BD1的中点，所以MN∥AB，又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，C正确；若MN⊥平面BB1D1D，则MN⊥BD，又MN∥AB，所以AB⊥BD，显然不成立，D错误．故选C.5．（5分）（2024·四川广安二模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF是△BCD的中位线，AC与EF交于点G，已知△PEF是△CEF绕EF旋转过程中的一个图形﹐且P∉平面ABCD.给出下列结论：①BD∥平面PEF；②平面PAC⊥平面ABCD；③“直线PF⊥直线AC”始终不成立．其中所有正确结论的序号为(B)A．①②③ B．①②C．①③ D．②③解析：由EF是△BCD的中位线，得EF∥BD，而EF⊂平面PEF，BD⊄平面PEF，因此BD∥平面PEF，①正确；如图，连接PG，由菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，得BD⊥AC，则EF⊥AG，EF⊥PG，而AG∩PG＝G，AG，PG⊂平面PAC，则EF⊥平面PAC，又EF⊂平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，②正确；显然∠PGA是二面角P­EF­A的平面角，△PEF由△CEF绕EF旋转过程中，∠PGA从180°逐渐减小到0°（不包含180°和0°），当∠PGA＝90°时，AG⊥PG，PG∩EF＝G，PG，EF⊂平面PEF，则AG⊥平面PEF，而PF⊂平面PEF，因此PF⊥AG，③错误．故选B.6．（5分）（2024·四川眉山三模）如图，该组合体由一个正四棱柱ABCD­A1B1C1D1和一个正四棱锥P­A1B1C1D1组合而成，已知AB＝2，AA1＝eq\r(2)，PA1＝2，则(C)A．PA1∥平面ABC1D1B．PB1∥平面ABC1D1C．PC1⊥平面BDC1D．PD1⊥平面BDC1解析：如图，因为PA1＝PC1＝2，A1C1＝2eq\r(2)，OC＝CC1＝eq\r(2)，在平面ACC1PA1中有∠PA1C1＝∠A1C1O＝∠C1OC＝eq\f(π,4)，所以PA1∥OC1，又OC1⊂平面BDC1，PA⊄平面BDC1，所以PA1∥平面BDC1，则PA1与平面ABC1D1不平行，故A错误；同理PB1∥OD1，PB1与平面ABC1D1不平行，故B错误；PO＝eq\r(2)＋eq\f(\r(2),2)×2＝2eq\r(2)，PC1＝C1O＝2，有PCeq\o\al(2,1)＋C1O2＝PO2，所以PC1⊥C1O，又BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面PC1O，所以BD⊥平面PC1O，又因为PC1⊂平面PC1O，所以PC1⊥BD，又BD∩C1O＝O，BD，C1O⊂平面BDC1，所以PC1⊥平面BDC1，故C正确；又因为PC1∩PD1＝P，且过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，所以PD1不垂直于平面BDC1，故D错误．故选C.7．（6分）（多选）（2024·河北保定三模）已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，l为空间内的一条直线，且l⊄平面ABCD，则下列说法正确的是(AC)A．若l∥AB，则l∥平面ABCDB．若l∥AD，则l∥BCC．若l⊥AD，l⊥BC，则l⊥平面ABCDD．若l⊥AB，l⊥CD，则l⊥平面ABCD解析：因为l∥AB，且AB⊂平面ABCD，l⊄平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故A正确；因为AD与BC是等腰梯形的腰，二者不平行，故若l∥AD，则l与BC不平行，故B错误；因为直线AD与BC能相交，所以若l⊥AD，l⊥BC，AD⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则l⊥平面ABCD，故C正确；因为AB∥CD，两者不相交，所以若l⊥AB，l⊥CD，推不出l⊥平面ABCD，故D错误．故选AC.8．（6分）（多选）（2024·安徽马鞍山三模）已知四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，则(AC)A．若PC⊥BD，则AC⊥BDB．若AC⊥BD，则PB＝PDC．若PB＝PD，则AB＝ADD．若AB＝AD，则PC⊥BD解析：如图，因为PA⊥平面ABCD，AB，AD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BD，若PC⊥BD，且PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，可得BD⊥平面PAC，且AC⊂平面PAC，所以AC⊥BD，同理，若AC⊥BD，则可得PC⊥BD，由AB＝AD不能推出AC⊥BD，即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正确，D错误；若PB＝PD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以AB＝AD，反之，若AB＝AD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以PB＝PD，即PB＝PD等价于AB＝AD，由AC⊥BD不能推出AB＝AD，即AC⊥BD不能推出PB＝PD，故B错误，C正确．故选AC.9.（5分）（2024·陕西咸阳三模）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的序号是①②④．①AE⊥CE；②BE⊥DE；③DE⊥平面BCE；④平面ADE⊥平面BCE.解析：因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是底面圆的直径，BC，AD都是母线．又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，则BC⊥AE.因为BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，则AE⊥平面BCE，因为CE⊂平面BCE，所以AE⊥CE，①正确；同理可证BE⊥DE，②正确；点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE，则与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为AE⊥平面BCE，而AE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCE，④正确．10．（5分）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1（答案不唯一）时，有AB1⊥BC1.（填上一个你认为正确的条件即可）解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，AA1⊥平面ABC，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）11．（15分）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AD，BC1的中点，棱长为1.(1)求证：EF∥平面C1CDD1.(2)在线段A1B上是否存在点G，使EG⊥平面A1BC1？若存在，求点G到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，取BC的中点M，连接EM，FM，∵E，F分别是AD，BC1的中点，∴EM∥DC，FM∥C1C，又EM⊂平面EFM，FM⊂平面EFM，EM∩FM＝M，DC⊂平面C1CDD1，C1C⊂平面C1CDD1，DC∩C1C＝C，∴平面EFM∥平面C1CDD1，又EF⊂平面EFM，∴EF∥平面C1CDD1.(2)存在．如图，取A1B的中点G，连接EG，AG，EA1，EB，易知EA1＝EB，而G为A1B的中点，∴EG⊥A1B，连接FG，则FG∥A1C1，∵正方体棱长为1，在△A1BC1中，FG＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△FME中，EF＝eq\f(\r(5),2)，在Rt△EAG中，EG＝eq\f(\r(3),2)，∴FG2＋EG2＝FE2，即EG⊥FG，故EG⊥A1C1，又A1B，A1C1⊂平面A1BC1，A1B∩A1C1＝A1，∴EG⊥平面A1BC1.易得点G到平面ABCD的距离为eq\f(1,2).12．（15分）如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，M，O分别为AA1，BC1的中点．求证：(1)MO∥平面ABC；(2)MO⊥平面B1BCC1.证明：(1)如图，取BC的中点D，连接OD，AD，因为O为BC1的中点，所以OD∥CC1且OD＝eq\f(1,2)CC1，又因为AM∥CC1且AM＝eq\f(1,2)CC1，所以OD∥AM且OD＝AM，所以四边形AMOD为平行四边形，所以MO∥AD，又因为MO⊄平面ABC，AD⊂平面ABC，所以MO∥平面ABC.(2)因为ABC­A1B1C1为正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，因为△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，又BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1，又MO∥AD，所以MO⊥平面B1BCC1.13．（6分）（多选）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠A1AC＝∠ACB，P为线段BB1的中点，N为线段A1B1上靠近B1的三等分点，则(ABD)A．AC⊥BCB．AC⊥CB1C．AC⊥平面NPCD．平面ACP⊥平面BCC1B1解析：因为∠CAB＝∠CBA＝45°，故∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，A正确；因为∠A1AC＝∠ACB＝90°，所以侧面AA1C1C为矩形，故AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面CC1B1B，所以AC⊥平面CC1B1B，而CB1⊂平面CC1B1B，故AC⊥CB1，B正确；平面NPC与平面CC1B1B不平行，所以AC平面NPC不垂直，C错误；因为AC⊂平面ACP，AC⊥平面CC1B1B，所以平面ACP⊥平面CC1B1B，D正确．故选ABD.14．（6分）（多选）（2024·山东聊城二模）已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是(BC)A．“AB＝PB”与“PB＝BD”B．“PA⊥PC”与“PB⊥PD”C．“PB⊥CD”与“PC⊥AB”D．“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”解析：当AB＝PB时，底面ABCD是正方形，AB≠DB，所以PB＝BD不成立，故A错误；如图，设底面正方形的中心为O，则P在以O为球